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2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷
（江苏专用）
（时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：苏教版2019必修第一册第一章~第三章。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ， ，
所以 .
故选：B.
2．设命题 ，则 的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【解析】因为命题 是存在量词命题，
所以其否定是全称量词命题，即为 ．故选：C.
3．一元二次方程 （ ）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为一元二次方程 （ ）有一个正根和一个负根，
所以 ，解得 ，
所以一元二次方程 （ ）有一个正根和一个负根的充分而不必要条件可以是 .
故选：C.
4．设 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由于 ，故
对于A, ,故A错误，
对于B，由于 故 ，B错误，
对于C， 故 ，C正确，
对于D，若 时， ，故D错误，
故选C.
5．已知 ， ， ，则 的最大值是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，则 ， ，
可得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最大值是 .
故选：A.
6．若命题“ ， ”为真命题，则实数 可取的最小整数值是（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】B
【解析】由题意得 在 上有解，当 时， 取最小值，
则 ，故 可取的最小整数值为0，
故选：B.
7．集合 或 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】①当 时， ， ，故 ，解得 ，
故 ；
②当 时， ，满足 ；
学科网（北京）股份有限公司③当 时， ， ，故 ，解得 ，
故 .
综上所述： .
故选：A.
8．已知 ， ，且 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：设 ，
则 ，解得 ，
则
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为2，
又因为对 ， ，且 恒成立，
所以 ，
故选D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
学科网（北京）股份有限公司选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B． 是 的必要不充分条件
C．若a，b， ，则“ ”的充要条件是“ ”
D．若a， ，则“ ”是“ ”的充要条件
【答案】BD
【解析】当 时，有 ，也有 ，因此 不能得出 ，
反之当 时， ，但 ，即由 也不能得出 ，
所以两者既不充分也不必要，故A错误；
当 时， ，但 ，
当 时， ，故B正确；
当 时，可得 ，
反之， 时，若 ，则 ，
所以两者不是充要条件，故C错误；
不同时为0 ，D正确，
故选：BD．
10．已知全集 ， ，
则下列选项正确的为（ ）
A． B．A的不同子集的个数为8
C． D．
【答案】ABC
【解析】由题意得 ，
根据 ， , ， ， ,
学科网（北京）股份有限公司得 .
作出Venn图，如图，
则 ，A正确；
集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为 ，B正确；
由于 则 ，C正确；
因为 ，且 ，故 ，D错误，
故选：ABC.
11．已知 ，若关于 的不等式 只有一个整数解，则 的可能取值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】AD
【解析】关于 的不等式 即 ，
即 ，
当 时， 即 ，解集为空集，不合题意；
当 时， 的解满足 ，
要使得关于 的不等式 只有一个整数解，需 ，
由于 ，故 ；
当 时， 的解满足 ，
要使得关于 的不等式 只有一个整数解，需 ，
由于 ，故 ，
综上得 的可能取值为 ，
故选：AD.
学科网（北京）股份有限公司第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．设全集 ，集合 或 ，集合 ，若 ，则实数
的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为集合 或 ，集合 ，
若 ，则 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
13．如图所示，将一矩形花坛 扩建为一个更大的矩形花坛 ，要求点 在 上，点 在
上，且对角线 过点 ，已知 ，当 时，矩形花坛 的面积最小．
【答案】4
【解析】设 ，因为 ∥ ，
所以 ，所以 ，解得 ,
所以矩形 的面积为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
学科网（北京）股份有限公司故当 时，矩形花坛 的面积最小．
故答案为：4.
14．已知集合 ，集合 ，且 为假命题，则实数 的取值范
围为 .
【答案】
【解析】因为 为假命题，所以 为真命题，即 ，
又因为集合 ，集合 ，
所以当 时， ，即 ，此时满足 ；
当 时， 或 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知 ， 或 ．
(1)若 ，求 的取值范围；
(2)若 ，求 的取值范围．
【解析】（1）①当 时， ，∴ ，∴ ．（2分）
②当 时，要使 ，必须满足 ，解得 ．（5分）
综上所述， 的取值范围是 ．（7分）
（2）∵ ， ， 或 ，
学科网（北京）股份有限公司∴ ，解得 ，（10分）
故所求 的取值范围为 ．（13分）
16．（15分）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相
等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为 ，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为
，两个宣传栏之间的空隙的宽度为 ，设海报纸的长和宽分别为
(1)求 关于 的函数表达式；
(2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少?
【解析】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为 ，宽为 ，（2分）
所以有 ，（4分）
整理得 .（6分）
（2）由（1）知 ，即 ，（8分）
因为 ，所以由基本不等式可得 ，
令 ，则 ，解得 （舍去）或 .（11分）
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，（13分）
所以海报长 ，宽 时，用纸量最少，最少用纸量为 .（15分）
17．（15分）已知命题 方程 没有实数根.
学科网（北京）股份有限公司(1)若 是假命题，求实数 的取值集合A；
(2)在（1）的条件下，已知非空集合 ，从①充分而不必要，②必要而不充分，这
两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数 ，使得若 是
的______条件.若存在，求 的取值范围.若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由方程 没有实数根，得 ，解得 ，（3分）
由 是假命题，则 是真命题，（5分）
所以实数 的取值集合 .（6分）
（2）由（1）知， ，
由集合 非空，得 ，解得 ，（8分）
选①， 是 的充分而不必要条件，则 ，（10分）
于是 或 ，无解，（13分）
所以不存在实数 ，使得 是 的充分而不必要条件. （15分）
选②， 是 的必要而不充分条件，则 ，（10分）
于是 或 ，而 ，解得 ，（13分）
所以存在实数 ，使得 是 的必要而不充分条件， 的取值范围是 .（15分）
18．（17分）已知实数 、 满足： .
(1)求 和 的最大值；
(2)求 的最小值和最大值.
【解析】（1）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，（2分）
当且仅当 、 或 、 时等号成立，∴ 的最大值为 ，（4分）
学科网（北京）股份有限公司∵ ，∴ ，
∵ ，（6分）
∴ ，∴ ，
∴ ，当且仅当 、 时等号成立，∴ 的最大值为 ；（8分）
（2）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，即 ，（11分）
当且仅当 、 或 、 时等号成立，∴ 的最小值为 ，（12分）
又 ，∴ ，即 ，（14分）
当且仅当 、 或 、 时等号成立，
∴ 的最大值为 .（17分）
19．（17分）已知命题：“ ，使等式 成立”是真命题.
(1)求实数 的取值集合 ；
(2)设不等式 的解集为 ，若 是 的必要条件，求 的取值范围.
【解析】（1）由题意，方程 在(−1,1)上有解，（2分）
令 ，只需 在y的取值范围内，（4分）
当 时， ，当 时， ，（6分）
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
的取值集合为 ；（8分）
（2）由题意， ，显然 不为空集. （10分）
①当 ，即 时， ，
， ；（12分）
②当 ，即 时， ，不合题意舍去；（14分）
③当 ，即 时， .
， ；（16分）
综上可得 或 .（17分）
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