高一数学第一次月考卷（全解全析）（测试范围：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式）_1多考区联考试卷

2024-2025 学年高一数学上学期第一次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：集合与常用逻辑用语+一元二次函数、方程和不等式。 5．难度系数：0.70。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 ， ，所以 .故选：B. 2．命题： 的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】命题： 是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以命题： 的否定是： ，故选：C 3．已知 、 、 ，则下列选项可能成立的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司A． 、 、 、 B． 、 、 、 C． 、 、 、 D． 、 、 ， 【答案】C 【解析】因为 、 ，故 ，排除BD； 因为 ，所以 ， ，又 ，所以 ，故A错误，C正确. 故选：C. 4．已知不等式 对任意的实数x恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因不等式 对任意的实数x恒成立，则 ①当 时，不等式为 ，恒成立，符合题意； ②当 时，不等式在R上恒成立等价于 ，解得： . 综上可得：实数k的取值范围为 . 故选：C. 5．“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 时，由 ，解得： ， 时，解得： ，不是必要条件， 反之 也推不出 ，比如 ，不是充分条件， 故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司6．设集合 ， ，若 ，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，集合 ， ，若 ， 则 .故选：C. 7．若关于x的不等式 对于任意 恒成立，则a的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【解析】 ，即 ， ，故 ， 则 ， ，当且仅当 ， 时等号成立，故 . 故选：A. 8．已知方程组 的解集为 ，且 ，则 （ ） A．1或 B． 或 C． 或 D．2或 【答案】B 【解析】由题设 ，则 ，且 ， 所以 ， ， 而 ，即 ， 整理得 ，可得 . 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司9．若两个正实数 满足 ，且存在这样的 使不等式 有解，则实数 的取值 范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ， ，可得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时等号成立． 所以 ，解得 或 ， 所以实数 的取值范围是 ． 故选：C． 10．已知甲､乙､丙三人组成考察小组，每个组员最多可以携带供本人在沙漠中生存36天的水和食物，且计 划每天向沙漠深处走30公里，每个人都可以在沙漠中将部分水和食物交给其他人然后独自返回.若组员 甲与其他两个人合作，且要求三个人都能够安全返回，则甲最远能深入沙漠公里数为（ ） A．1080 B．900 C．810 D．540 【答案】C 【解析】甲、乙、丙三人一起出发，设 天后，乙丙两人同时把水和食物交给甲，乙丙分别给甲 天的水和食物，于是 ，解得 ，甲全程共有水和食物的天数 ， 因此从出发点甲最多往前走 天，最远能深入沙漠 公里； 甲、乙、丙三人一起出发，设 天后乙丙之一独自返回，不妨令丙返回，丙扣除2 天的水和食物后， 把剩余的水和食物的一半分别分给甲乙，则由 ，得 ， 从出发甲乙带的水和食物的天数都为 ，当且仅当 时取等号， 要使前行天数最多，则取 ，甲乙均有36天的水和食物，甲乙继续前行，再行 天后，乙独自返回， 学科网（北京）股份有限公司乙扣除 天的水和食物后，把剩余的水和食物给甲，则由 ，解得 ， 此时甲全程共有水和食物的天数是 ， 因此从出发点甲最多往前走27天，最远能深入沙漠 公里，显然 ， 所以甲最远能深入沙漠公里数为810.故选：C. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知集合 ， ，且 ，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为 ，所以 .故答案为： . 12．某班共42人，其中20人喜爱篮球运动，25人喜爱乒乓球运动，12人对这两项运动都不喜爱，则喜爱 篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 . 【答案】5 【解析】设集合 表示：喜爱篮球运动的学生，集合 表示：喜爱乒乓球运动的学生，整个班级学生为 集合 ,则由题可知， 的元素个数为20， 的元素个数为25， 则 的元素个数为12，所以 的元素个数为 ， 所以 的元素个数为 ， 所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 人，故答案为:5. 13．已知正实数 满足 ，则 的最小值为 . 【答案】 【详解】正实数 且 得 ， 所以 ， 所以 ， 学科网（北京）股份有限公司当且仅当 ，即 时等号成立. 的最小值为 . 故答案为： 14．“ ， ”为真命题，请写出一个满足条件的实数a的值 ． 【答案】5（答案不唯一） 【详解】若 ，则 ， 当 时，不等式 可化为 ， 解得 ，此时不等式的解集为 ，不合题意， 当 时，不等式 可化为 ， 此时不等式的解集为 ，符合题意， 当 时，由不等式 的解集为 ， 可得 ，即 ， 即 ，解得 或 ， 综上可知，实数a的取值范围是 ， 所以一个满足条件的实数a的值可以为：5. 故答案为：5. 15．设集合M为实数集 的非空子集．若对任意 ，都有 ，则称M为封闭集．有 以下结论： ① 为封闭集； 学科网（北京）股份有限公司②若M为封闭集，则一定有 ； ③存在集合 ，A不为封闭集； ④若M为封闭集，则满足 的任意集合T也是封闭集． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【解析】①设 ， ，其中 ． 则 ，∵ ， ，∴ ； ，∵ ， ，∴ ； ， ∵ ， ， ． ∴M为封闭集，故①正确； ②若 为封闭集，则 ，取 ，得 ，故②正确； ③取 ，∵ ，故A不为封闭集，故③正确； ④取 ， 满足条件 ，但 ， 不是封闭集，故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（13分） 已知关于 的不等式 ． （1）若 时，求不等式的解集； （2）求不等式的解集. 【解析】（1）当 时， ， ，得 ， 所以不等式的解集为 ，-------------------------------------------4分 （2）由 ，得 ，-------------------------------------------6分 学科网（北京）股份有限公司当 ，即 时，不等式的解集为 ，-------------------------------------------8分 当 ，即 时，不等式的解集为 ，-------------------------------------------10分 当 ，即 时，不等式的解集为 ，-------------------------------------------12分 综上，当 时，不等式的解集为 ，当 时，不等式的解集为 ，当 时，不等式的 解集为 -------------------------------------------13分 17．（14分） 已知集合 ， ． （1）若 ，求 ， ； （2）若 ，求实数a的取值范围． 【解析】（1）解：当 时，集合 ， 因为 ， 所以 ，-------------------------------------------2分 且 或 ，-------------------------------------------4分 则 .-------------------------------------------6分 （2）解：由集合 ， ， 若 ，可得 ，-------------------------------------------8分 则满足 ，解得 ，-------------------------------------------13分 所以实数 的取值范围为 .-------------------------------------------14分 学科网（北京）股份有限公司18．（13分） 已知 ， 是方程 的两个实数根，且 ． （1）求k的取值． （2）求 的值． 【解析】（1）由题意知， ， ，----------------------------------4分 则 ， 解得 ，所以 的值为 ；-------------------------------------------7分 （2）由 ， 得 ，-------------------------------------------10分 由（1）知，当 时， ，则 . 所以 的值为50.-------------------------------------------13分 19．（15分） 甲、乙两地相距1000km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100（km/h），若货车每小时的 运输成本（以元为单位）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度 的平方的 倍，固定 成本为 元. （1）将全程运输成本 （元）表示为速度 的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶? 【解析】（1）由题意得可变成本为 元，固定成本为a元， 所用时间为 ， 则 ，定义域为 ．-------------------------------------------5分 学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）得 ， 当且仅当 ，即 时取等号，-------------------------------------------9分 易知函数 在 上单调递减，在 上单调递增.----------------------------11分 又 ， 所以当 时，货车以 km/h的速度行驶，全程运输成本最小；------------13分 当 时，货车以100km/h的速度行驶，全程运输成本最小．-------------------15分 20．（15分） 已知不等式 的解集为 . （1）求实数 ， 的值； 2 1  （2）若 ， ，且 ，求 的最小值. n m  1  x  x1 【解析】（1）因为ax2(ab)x1a0的解集为 2 ， 1 x  所以 1 2 和x 2 1为方程 ax2(ab)x1a0 的两个实根，二次项系数a不为0，  ab 1 x x     1 2 a 2 根据韦达定理，则有 1a 1 ，解得a2.-------------------------------------------5分 xx     1 2 a 2 b3  1  x  x1 当a2,b3时，ax2(ab)x1a2x2 x10的解集为 2 ，符合题意.--------------6分 a2,b3 综上， .-------------------------------------------7分 （2）由（1）可知，ambn2m3n1， 因为m0，n0， 学科网（北京）股份有限公司2 1 2 1 4m 3n 4m 3n  (  )(2m3n)  82  84 38 所以n m n m n m n m ，--------------------------------------12 分 4m 3n 31 3 3  m ,n 当且仅当 n m ，即 4 6 时取等号，-------------------------------------------14分 2 1  所以 的最小值为 .-------------------------------------------15分 n m 4 38 21．（15分） 已知 ， 是 的子集，定义集合 ，若 ，则称集合A是 的恰当子集．用 表示有限集合X 的元素个数． （1）若 ， ，求 并判断集合A是否为 的恰当子集； （2）已知 是 的恰当子集，求a，b的值并说明理由； （3）若存在A是 的恰当子集，并且 ，求n的最大值． 【解析】（1）若 ，有 ，由 ，则 ， 满足 ，集合A是 的恰当子集；-------------------------------------------3分 （2） 是 的恰当子集，则 ， ，由 则 或 ， 时， ，此时 ， ，满足题意； 时， ，此时 ， ，满足题意； ， 或 ， .-------------------------------------------7分 （3）若存在A是 的恰当子集，并且 ， 学科网（北京）股份有限公司当 时， ，有 ，满足 ， 所以 是 的恰当子集，-------------------------------------------9分 当 时，若存在A是 的恰当子集，并且 ，则需满足 ，由 ， 则有 且 ；由 ，则有 或 ，-------------------------------------------11分 时，设 ，经检验没有这样的 满足 ； 当 时，设 ，经检验没有这样的 满足 ，-------------------------------------------13分 因此不存在A是 的恰当子集，并且 ， 所以存在A是 的恰当子集，并且 的n的最大值为10.-------------------------------------------15分 学科网（北京）股份有限公司