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2024 高考数学
点睛密卷
新高考 I 卷(A)
高中数学终极冲刺必备资料
以基为本 一单在手 数学无忧
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高途高中数学高考研究院
绝密★启用前
2024 年高考数学点睛密卷(新高考 I 卷 A)
数 学
本试卷共5页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡
右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在
试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的60%分位数为
2
( )
A．6 B．7 C．8 D．7.5
8
2．已知全集U =A B，集合A={1，3，4}，B=xN| N，则( )
x
A．集合A的真子集有8个 B． { 1 } U
C． U 中的元素个数为7 D． AB
U
3．已知 s in ( )
1
3
− =
1
，cossin= ，则
6
c o s ( 2 2 ) ( + = )
7
A． B．
9
1
9
1 7
C．− D．−
9 9
4．已知向量 a = (1 , 2 ) ， b = ( 3 ,1 ) ，向量c满足c⊥a，a∥(c+b)，则c =( )
A． ( − 2 , − 1 ) B．(2,−1) C．(−2,1) D．(2,1)
2
5．如图，在直三棱柱ABC−ABC 中，△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC= AA =1，
1 1 1 2 13
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则异面直线
3
A B
1
与AC所成角的正弦值为
1
( )
A．
2
3
B．
3
5
C． −
3
3
D．
3
3
6．已知函数 f(x)满足 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) + 2 x y ， f
1
2
=
3
4
，则 f (1 0 0 ) = ( )
A．10000 B．10082 C．10100 D．10302
7．已知圆 C : ( x + 1 ) 2 + y 2 = 2 ，点 P 在直线 l : x − y − 3 = 0 上运动，直线PA， P B 与圆 C 相切，
切点为 A ， B ，则下列说法正确的是 ( )
A． | P A | 的最小值为2
B． | P A | 最小时，弦 A B 长为 6
C． | P A | 最小时，弦 A B 所在直线的斜率为 − 1
D．四边形 P A C B 的面积最小值为 3
8．某学校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为
1
1 1
，从第二题开始，若甲同学前
1
一题答错，则此题答对的概率为 ；若前一题答对，则此题答对的概率为
4
1
3
，记甲同学回答
第n题时答错的概率为P ，当n 2时，
n
P
n
M 恒成立，则 M 的最小值为( )
97 49 47 49
A． B． C． D．
132 132 66 66
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线 l : m x − y + 2 − 4 m = 0 ( m R ) 与圆D:x2 +y2 −2x−24=0交于A， B 两点，则
( )4
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A．圆D的面积为
4
2 5 B． l 过定点(4,2)
C． △ A B D 面积的最大值为 2 3 9 D． 4 3 | A B | 1 0
10．在平面直角坐标系 x O y 中，角的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边
过点 P (1 , − 3 ) ，函数 f ( x ) s in ( 2 x ) = + ，则( )
A． f(x)的图象关于直线 x = −
1
2
对称
B． f(x)的图象关于点
1 2
, 0
对称
C． f ( x ) 在
−
6
,
3
内恰有一个极大值点
D． f ( x ) 在
2
,
5
6
内单调递减
11．如图，在棱长为2的正方体 A B C D − A
1
B C1
1
D
1
中，已知 M ， N ， P 分别是棱 C
1
D
1
， A A
1
，
B C 的中点， Q 为平面PMN上的动点，且直线QB 与直线DB 的夹角为
1 1
3 0 ，则 ( )
A． D B
1
⊥ 平面PMN
B．平面PMN截正方体所得的截面面积为 3 3
C．点 Q 的轨迹长度为π
D．能放入由平面 P M N 分割该正方体所成的两个空间几何体内部(厚度忽略不计)的球的
半径的最大值为
3 −
2
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知 i 是虚数单位，若复数z满足(2+i)z=i，则
2
z
− i
= ．
a
13．已知 f(x)=ex − x4有两个极值点，则实数a的取值范围为 ．
4
x2 y2
14．已知A，B分别为椭圆C: + =1的左、右顶点，P 为椭圆C上异于A，B 的点，
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若直线PA，PB与直线
5
x = 6 交于M ，N两点，则 | M N | 的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)在 △ A B C 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ，b， c ，且
c o s
C
a
+
3 π
2
=
2 s in B
c
c o s C
．
(1)若c=2 S ，求角
△ABC
C 的大小；
(2)求证：
ta
1
n A
，
ta
1
n C
，
ta
1
n B
成等差数列．
16．(15分)如图，在几何体 A B C D E 中，底面 A B C 为以 A C 为斜边的等腰直角三角形．已知
平面 A B C ⊥ 平面 A C D ，平面 A B C ⊥ 平面BCE， D E ∥ 平面 A B C ， A D ⊥ D E ．
(1)证明：DE ⊥平面 A C D ；
(2)若 A C = 2 C D = 2 ，设 M 为棱 B E 的中点，求当几何体 A B C D E 的体积取最大值时 A M 与
C D 所成角的正切值．
17．(15分)已知函数 f ( x ) = e x − a x + e 2 ．
(1)讨论 f ( x ) 的单调性；
(2)当 a = 0 时，直线 y = b x 与 f ( x ) 的图象有两个不同的交点，交点横坐标分别为 x
1
, x
2
，且
0 x
1
x
2
，证明: x
1
+ x
2
2 ln b ．
5
18. (17 分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P0,− ，过椭圆
3
C
x2
： + y2 =1(a1)的上
a2
顶点 A 作两条动直线l ：y=k x+1，
1 1
l2 ： y = k
2
x + 1 ( 0 k
1
k
2
) 分别与C交于另外两点 M ，
2
N. 当k = 时，|AM |=|PM |.
1 26
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(1)求
6
a 的值；
(2)若 k
1
k
2
= 1 ，
| M
| N
N
P
|
|
=
9
8
，求 k
1
和 k
2
的值．
19．(17分)在信息论中，熵 ( e n tr o p y ) 是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为
信息熵、信源熵、平均自信息量．这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件、样本或
特征．(熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大)
来自信源的另一个特征是样本的概率分布．这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它
发生了，会提供更多的信息．由于一些其他的原因，把信息(熵)定义为概率分布的对数的
相反数是有道理的．事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机
变量的均值(即期望)就是这个分布产生的信息量的平均值(即熵)．熵的单位通常为比特，但
也用 S h 、 n a t 、 H a r t 计量，取决于定义用到对数的底．采用概率分布的对数作为信息的量
度的原因是其可加性．例如，投掷一次硬币提供了 1 S h 的信息，而掷m次就为m位．更一
般地，你需要用log n位来表示一个可以取n个值的变量．在1948年，克劳德
2
艾尔伍德
香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为“香农熵”．而正是信息熵的发现，使
得1871年由英国物理学家詹姆斯 麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想
的“麦克斯韦妖理论”被推翻．设随机变量所有取值为1，2， ， n ，定义的信息熵
H ( )
n
i 1
P
i
lo g
2
P
i
(
n
i 1
P
i
1 , i 1 , 2 , , n ) = −
=
=
= = ．
(1)若n=2，试探索的信息熵关于P的解析式，并求其最大值；
1
(2)若 P
1
= P
2
=
2
1
n − 1
, P
k + 1
= 2 P
k
( k = 2 , 3 , , n ) ，求此时的信息熵．
