2025届广东省广州市高三一模普通高中毕业班综合测试(一)数学试题（含解析）_2025年3月_2503192025年广州市普通高中毕业班综合测试（一）（全科）

2025年广州市普通高中毕业班综合测试(一)
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答
题卡的相应位置填涂考生号。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上
要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1.若复数z满足1+iz=i，则z的虚部为 ( )
A. -1 B. 1 C. -i D. i
2.已知集合A={x∣0≤x≤a},B=x∣x2-2x≤0
1
 ，若B⊆A，则实数a的取值范围是 ( )
A. 0,2  B. (0,2] C. 2,+∞  D. [2,+∞)
  
3.在平行四边形ABCD中，点E是BC边上的点，BC =4EC，点F是线段DE的中点，若AF =
 
λAB+μAD，则μ= ( )
5 7 3
A. B. 1 C. D.
4 8 4
4.已知球O的表面积为4π，一圆台的上、下底面圆周都在球O的球面上，且下底面过球心O，母线
π
与下底面所成角为 ，则该圆台的侧面积为 ( )
3
3 3 3 3 3
A. π B. π C. π D. 3π
4 2 2
x2 y2
5.已知点P在双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
 上，且点P到C的两条渐近线的距离之积等于
a2
，则C的离心率为 ( )
2
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
6.已知实数a,b满足3a=4b，则下列不等式可能成立的是 ( )
A. b<a<0 B. 2b<a<0 C. 0<a<b D. 0<2b<a
π
7.已知ω>0，曲线y=cosωx与y=cosωx-
3
 相邻的三个交点构成一个直角三角形，则ω=
( )
3 2
A. π B. π C. 2π D. 3π
3 28.定义域为 R 的偶函数 f x
2
 在 (-∞,0] 上单调递减，且 f 3  = 0，若关于 x 的不等式
mx-2  fx-2  ≥nx+3  f2-x  的解集为[-1,+∞)，则em-2n+en+1的最小值为 ( )
A. 2e3 B. 2e2 C. 2e D. 2 e
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.某位射击运动员的两组训练数据如下：
第一组：10，7，7，8，8，9，7；第二组：10，5，5，8，9，9，10．则 ( )
A. 两组数据的平均数相等
B. 第一组数据的方差大于第二组数据的方差
C. 两组数据的极差相等
D. 第一组数据的中位数小于第二组数据的中位数
10.已知函数fx 
4-x
=ln +ax在x=3处取得极大值，fx
x
 的导函数为fx  ，则 ( )
4
A. a=
3
B. 当0<x<1时，fx  >fx2 
C. f2+x  =f2-x 
D. 当1≤x 1 ≤x 2 ≤3且x 1 +x 2 <4时，fx 1  +fx 2 
16
< 3
11.如图，半径为1的动圆C沿着圆O:x2+y2=1外侧无滑动地滚动一周，圆C上的点Pa,b  形成的
外旋轮线Γ，因其形状像心形又称心脏线．已知运动开始时点P与点A1,0  重合．以下说法正
确的有 ( )
A. 曲线Γ上存在到原点的距离超过2 3的点
B. 点1,2  在曲线Γ上
C. 曲线Γ与直线x+y-2 2=0有两个交点
3 3
D. b≤
2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知cosαsinα-β  -sinαcosβ-α 
3
= ，则sinβ= ．
5
13.将1,2,3,⋯,9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字
依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有 种．
14.在正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3 2,AB=6，点D在△ABC内部运动(包括边界)，
点D到棱PA,PB,PC的距离分别记为d ,d ,d ，且d2+d2+d2=20，则点D运动路径的长度为
1 2 3 1 2 3
．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分)
在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=a1+2cosB
3
 ．
(1)求证：B=2A；
(2)若a=3,b=2 6，求△ABC的面积．
16.(15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，AB=2BC=2，侧面PCD是等边三角形，三
3
棱锥A-PBD的体积为 ，点E是棱CP的中点．
3
(1)求证：平面PBC⊥平面PCD；
(2)求平面BDE与平面ABCD夹角的余弦值．
17.(15分)
nn∈N∗,n≥3  个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等
可能地将球传给另外的n-1个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第kk∈N∗  次传
球后，球在甲手中的概率记为A nk  ，球在乙手中的概率记为B nk  ．
(1)求A 52  ,B 52  ,A 53  ,B 53  ；
(2)求A nk  ；
(3)比较B nk+1 
n-2
与
n-1
A nk  的大小，并说明理由．18.(17分)
1
已知动点P到点F ,0
2
4

1
的距离等于它到直线x=- 的距离，记动点P的轨迹为曲线C．
2
(1)求C的方程；
(2)O为坐标原点，过点M2,0  且斜率存在的直线l与C相交于A,B两点，直线AO与直线x=
-2相交于点D，过点B且与C相切的直线交x轴于点E．
(i)证明：直线DE⎳l；
(ii)满足四边形ABDE的面积为12的直线l共有多少条？说明理由．
19.(17分)
已知 n ∈ N∗且 n ≥ 3，集合 A = a,a ,⋯,a
n 1 2 n
 ，其中 0 < a < a <⋯< a ．若存在函数
1 2 n
fx  fx   ≠x  ，其图象在区间D= a 1 ,a n  上是一段连续曲线，且 fa i   ∣a∈A i n  =A ，则称 n
fx 
2
是A 的T变换函数，集合A 是D的T子集．例如，设A = ,1, 2,2,3 n n 5  3  ，此时函数fx 
2 2
= 是A 的T变换函数，A 是  ,3
x 5 5  3
 的T子集．
(1)判断集合{1,2,8,9}是否是1,9  的T子集？说明理由；
(2)判断fx 
2
=ln1+ ex  是否为集合A 的T变换函数？说明理由； n
(3)若a i <a ji,j∈N∗,1≤i<j≤n 
a
，则 a j ∈A n ，试问是否存在函数 fx
i
 ，使得集合A 是D= n
a 1 ,a n  的T子集？若存在，求fx  的解析式；若不存在，说明理由．