2011年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（文）
本试卷共5页，150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效
.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分
（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项.
1．已知全集U=R,集合P=｛x︱x2≤1｝,那么
A．(-∞, -1] B．[1, +∞）
C．[-1，1] D．（-∞，-1] ∪[1，+∞）
i-2
2．复数 =
1+2i
4 3 4 3
A．i B．-i C．- - i D．- + i
5 5 5 5
3．如果log x log y 0,那么
1 1
2 2
A．y< x<1 B．x< y<1
C．1< x<y D．1<y<x
4．若p是真命题，q是假命题，则
A．p∧q是真命题
B．p∨q是假命题
C．﹁p是真命题
D．﹁q是真命题
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是
A．32
B．16+16 2
C．48
D．16+32 2
6．执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为
A．2 B．3
C．4 D．5
7．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元.若每批生产
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x件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均没见产品的生产
8
准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
8．已知点A（0,2），B（2,0）．若点C在函数y =
x的图像上，则使得ΔABC的面积为2的点C的个数为
A．4 B．3 C．2 D．1
第二部分
（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.
p 1
9．在DABC中.若b=5，ÐB= ，sinA= ，则a=___________________.
4 3
y2
10．已知双曲线x2 - =1（b＞0）的一条渐近线的方程为y =2x，则b= .
b2
11．已知向量a=（ 3，1），b=（0，-1），c=（k， 3）.若a-
2b与c共线，则k=________________.
1
12．在等比数列{a }中，a = ，a =4，则公比q=______________；a +a +…+a =
n 1 4 1 2 n
2
_________________.
ì2
ï , x³2
13．已知函数 f(x)=íx 若关于x
ï î(x-1)3,x2
的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_______
14．设A（0,0）,B（4,0）,C（t+4,3），D（t,3）（tÎR）.记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含
边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）=
N（t）的所有可能取值为
三、解答题6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15．（本小题共13分）
p
已知函数 f(x)=4cosxsin(x+ )-1.
6
（Ⅰ）求 f(x)的最小正周期：
é p pù
（Ⅱ）求 f(x)在区间 - , 上的最大值和最小值.
ê ú
ë 6 4û
第2页 | 共4页16．（本小题共13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确
认，在图中以X表示.
（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；
（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的
概率.
1
（注：方差s2 = [(x -x)2 +(x -x)2 + (x -x)2],其中x为x ,x , ,x 的平均数）
n 1 2 n 1 2 n
17．（本小题共14分）
如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.
（Ⅰ）求证：DE∥平面BCP；
（Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；
（Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.
18．（本小题共13分）
已知函数 f(x)=(x-k)ex .
（Ⅰ）求 f(x)的单调区间；
（Ⅱ）求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.
第3页 | 共4页19．（本小题共14分）
x2 y2 6
已知椭圆G: + =1(a>b>0)的离心率为 ，右焦点为（2 2,0），斜率为I的直线
a2 b2 3
l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3,2）.
（I）求椭圆G的方程；
（II）求DPAB的面积.
20．（本小题共13分）
若数列A :a ,a ,×××,a (n³2)满足 a -a =1(k =1,2,×××,n-1)，则称A 为E数列，记
n 1 2 n k+1 k n
S(A )=a +a +×××+a .
n 1 2 n
（Ⅰ）写出一个E数列A 满足a =a =0；
5 1 3
（Ⅱ）若a =12，n=2000，证明：E数列A 是递增数列的充要条件是a =2011；
1 n n
（Ⅲ）在a =4的E数列A 中，求使得SA =0成立得n的最小值.
1 n n
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