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2025 年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅰ卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
B D D D D C A B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
ACD ABC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．1 13．2 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）取AD的中点O，连接QO，QC，因为 ，所以 ，...........................2分
又 ， ，所以 ，在正方形ABCD中， ，
所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，即 ，...................................................................................................4分
又 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以四棱锥 的体积为 ；...................................................6分
（2）过O作 交BC于M，则 ，
结合（1）中 平面 ，故可建以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐
标系，如图所示，
1 / 8
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ， ，
故 ， ，..................................................................................................8分
设平面BQD的法向量为 ，则 ，
故 ，取 ，则 ， ，
故平面 的一个法向量为 ，.............................................................................10分
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，
所以 ，..................................................................................................12分
由图可知 为锐角，所以 ，
所以 ，
所以二面角 的平面角的正弦值为 .....................................................................................13分
16．（15分）
【详解】（1） ， ， ，
2 / 8
学科网（北京）股份有限公司所以原式可化为 ，.....................................................................................2分
由正弦定理得： ，由余弦定理得： ，
.....................................................................................6分
（2）设 中点为 ，则 ，
且 三点共线，
同理可得点 为 三条中线的交点，点 为 的重心，........................................................8分
为 中点， ，
，平方得： ，..................................................10分
①，
又由余弦定理得： ，即 ②..........................................................12分
由①②得： ，
.....................................................................................15分
17．（15分）
【详解】（1）记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到另一件为不合格品，
，....................................................................................2分
，....................................................................................4分
.....................................................................................5分
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学科网（北京）股份有限公司（2）（i）由题：若 ，则 ， .........................................6分
又 ，
所以 ................................8分
由切比雪夫不等式可知，
所以 ....................................................................................10分
（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为 ，假设厂家关于产品合格率为95%的说法成立，则
，所以 ， ....................................................................................12分
由切比雪夫不等式知，
....................................................................................13分
即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过0.021，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说
在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信........................................15分
18．（17分）
【详解】（1）由题意 故 ，所以抛物线方程为 ........................................3分
（2）设 ， ， ，
由 得 ，故切线 ： ，即 ，
同理可得切线 ： ，....................................................................................6分
在两条切线，则 ，所以直线 ，即 ，
因 ，故 ，故直线 恒过定点 ........................9分
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学科网（北京）股份有限公司（法二）当直线 斜率存在时，设 ，
联立 ，得 设 ， ， ，
， ， ，
由 得 故切线 ，即
同理切线 ，...................................................................................6分
联立得 ，故 ，
代入直线 得 ，
直线 ，所以恒过定点
当直线 斜率不存在时，由对称性知 ，直线 ，也过定点
综上：直线 恒过定点 . ....................................................................................9分
（3）联立 ，得 ，
由韦达定理可得 ， ， ....................................................................................12分
.........14分
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学科网（北京）股份有限公司到直线的距离 ..............................................15分
....................................................................................16分
当 时， 最小值为 ....................................................................................17分
（法二）当直线 斜率不存在时，直线 ， ， 到直线距离为8，
....................................................................................12分
当直线 斜率存在时
，....................................................................................14分
所以 到直线的距离 ， ................................15分
，
当 时， 的最小值为3，故 ，
所以 的面积的最小值为 .....................................................................................17分
19．（17分）
【详解】（1）对A选项：取 ： ， ；取 ： ， .
则 和 是数列1，2，3，4的一对“完美互补子列”.......................................................1分
对B选项：因为 ，......................................................2分
假设该数列存在一对“完美互补子列” 和 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 和 的各项和为 ，但 中各项均为偶数，
所以 和 的各项和为 不可能成立.
故数列2， ， ， ， ， 不存在“完美互补子列”........................................4分
（2）（i）当 时，因为 ，
所以 … .................................................................5分
不妨令 中的各项为： ， ；
中的各项为： .则 与 中所有项的和均为 .......................6分
所以 时，数列 存在“完美互补子列”..................................................................7分
当 时，只需将 中， 中的 移到 中，
将 放入 中，将 放入 中，此时 与 中的和均在原来的基础上增加了 ，
所以 ，数列 存在“完美互补子列”....................................................................9分
（ii）当 时，数列 有 对“完美互补子列”，
对 的一对“完美互补子列”，比如：
中的各项为： ， ；
中的各项为： ......................................................................................11分
①将 中的 移到 中，将 放入 中，将 放入 中，
此时 与 中的和均在原来的基础上增加了 ，可得 的一对“完美互补子列”；......13
分
②将 中的 移到 中，将 放入 中，将 放入 中，
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学科网（北京）股份有限公司此时 与 中的和均在原来的基础上增加了 ，可得 的一对“完美互补子列”；
③将 中的 移到 中，将 放入 中，将 放入 中，................15分
此时 与 中的和均在原来的基础上增加了 ，可得 的一对“完美互补子列”；
所以 时的一对“完美互补子列”， 时，都至少有三队“完美互补子列”与之对应.
所以 ......................................................................................17分
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