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2024-2025 学年高二数学上学期第一次月考卷 01
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B A C D B B C A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BD BC ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 13． 14． /
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【详解】（1）由题意得 ，则直线 的斜率为 ，
所以过点 且与直线 垂直的直线 的方程为： ，
即 ．····································5分
（2） 的中点坐标为 ，
由（1）可知线段 垂线的斜率为 ，所以线段 垂直平分线的方程为 ，
即 ．
因为 是以 为顶点的等腰直角三角形，
所以点 在直线 上，
故设点 为 ，
由 可得： ，
解得 或 ，·······························10分
所以点 坐标为 或 ，
学科网（北京）股份有限公司则直线 的方程为 或 ．····································13分
16．（15分）
【详解】（1）连接 、 交于 ，连接 ，由正四棱锥的性质可得 平面 ，底面 为
正方形，则 ，
所以以 为坐标原点， 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ，
则 ， ，则 ，
所以 .····································7分
（2）由（1）知 ， ，
， ，
又 ，得 ，
，所以 ，
所以 、 、 、 四点共面，即点 在平面 内．····································15分
17．（15分）
【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直线l的方程为 ，符合题意；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，即 ．
因为直线l与圆C相切，所以 ，解得 ．
故直线l的方程为 或 ．····································6分
（2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在，
设直线l的方程为 ．
学科网（北京）股份有限公司联立 ，解得 ，即 ．················9分
因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直，
故直线CP方程为 ，
联立 ，解得 ，即 ．··············12分
则
．
故 为定值2． ····································15分
18．（17分）
【详解】（1）取 的中点 ， 的中点 ，由题意知， ，
直角梯形 中 ， 四边形 为正方形，
为 的中点，
，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 不在面 内，
平面 .····································6分
（2）连接 ，则 ，以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
， 面 ，
平面 ，
学科网（北京）股份有限公司， ··············8分
， ，
，∵二面角 为锐二面角， 为等边三角形，
则 ，
设 为平面 的法向量，易知 为平面 的法向量，
，令 ··································12分
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
平面 与平面 的夹角的正切值为 .····································17分
19．（17分）
【详解】（1）如图所示，设公路所在直线为 ，过 点作 的垂线，垂直为 ， m.
因为圆的半径为35m，圆心 到地面的距离为40m，所以 m.
从甲看乙的最大俯角与 相等，由题意得 ，则 .
····································7分
（2）如图所示，设甲位于圆 上的 点处，直线 垂直于 且交圆 于 点，射线 可以看成是射
线 绕着 点按逆时针方向旋转 角度得到.
学科网（北京）股份有限公司过 点正下方的地面 点向 作垂线，垂足为 .
当 取得最大值时， 即为从乙看甲的最大仰角.
题意得： ,
其中， 表示点 和点 构成的直线 的斜率，
当直线 的斜率取得最小值时， 取最大值.································11分
因为点 在单位圆 上，
所以当直线 与单位圆相切时，斜率取得最大值或最小值.
设过点 的直线方程为： ，
由相切可得 ，解得 ，····································15分
则直线 的斜率最小值为 ，代入可得 取最大值是 .····································17分
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