山东省济宁市2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学PDF版含答案_2025年1月_250108山东省济宁市2024-2025学年高三上学期1月期末考试（全科）

{#{QQABJYIAggAAABAAABhCEwESCkKQkgCAAQgGwAAEMAAAyBFABCA=}#}{#{QQABJYIAggAAABAAABhCEwESCkKQkgCAAQgGwAAEMAAAyBFABCA=}#}{#{QQABJYIAggAAABAAABhCEwESCkKQkgCAAQgGwAAEMAAAyBFABCA=}#}{#{QQABJYIAggAAABAAABhCEwESCkKQkgCAAQgGwAAEMAAAyBFABCA=}#}学年度第一学期高三质量检测 2024—2025 数学试题参考答案 一、单项选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分。 8 5 40 1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 6.B 7.D 8.A 二、多项选择题:本题共 小题,每小题 分,共 分。全部选对的得 分,部分选对得部分分, 3 6 18 6 有选错的得 分。 0 9.BC 10.ACD 11.BCD 三、填空题:本题共 小题,每小题 分,共 分。 3 5 15 7 33 12.2 13. 14. 8 2 四、解答题:本题共 小题,共 分。 5 77 解 由余弦定理得a2 c2 b2 ac B 15. :(1) + - =2 cos a B 所以 A 2cos 即b A a B 分 1-2cos = b , (1-2cos )=2cos , ………………………………… 3 由正弦定理得 B A A B 分 sin (1-2cos )=2sin cos …………………………………………… 5 所以 B A B A B A B C. 分 sin =2sin cos +2cos sin =2sin( + )=2sin ………………………… 7 由 知b c. 分 (2) (1) =2 ………………………………………………………………………… 9 π 由余弦定理得a2 b2 c2 bc A 即 c2 c2 c c = + -2 cos , 9=4 + -2×2 × ×cos 3 解得c b . 分 = 3,=23 ……………………………………………………………………… 11 π 所以 ABC的面积为S 1bc A 1 33. 分 △ = sin = ×23× 3×sin = ………………… 13 2 2 3 2 16 .解 :(1) 因为b n +1- b n =(-1) n +1 · a n +1-(-1) n · a n n a a 分 =(-1)·(- n +1- n)=2,…………………………………… 4 所以数列b 是以 为公差的等差数列. 分 n 2 ………………………………………………… 6 因为b a 所以b n n 分 (2) 1=- 1=1, n=1+2(-1)=2 -1,………………………………… 8 所以a n n 分 n=(-1)·(2 -1),……………………………………………………………… 9 所以c n=- n 1 n =- 1􀭠 n 1 -n 1 (2 -1)(2 +1) 2􀭡2 -1 2 +1 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 分 , ……………………………… 12 所以S n =- 1􀭠 (1- 1 )+( 1 - 1 )+( 1 - 1 )+…+(n 1 -n 1 ) 2􀭡 3 3 5 5 7 2 -1 2 +1 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 1􀭠 1 =- 1-n 2􀭡 2 +1 􀪁􀪁 􀭤 􀭥 􀪁􀪁 n . 分 =-n ………………………………………………… 15 2 +1 数学试题参考答案 第 页 共 页 1 ( 5 ) {#{QQABJYIAggAAABAAABhCEwESCkKQkgCAAQgGwAAEMAAAyBFABCA=}#}.解 证明 连接BC交BC 于点E 则E为BC的中点 连接ED 分 17 :(1) : 1 1 , 1 , ……………… 2 D为棱AC的中点 ∵ ED BA 分 ∴ // 1 ………………………………………………………………………………… 3 又ED 平面CBDBA 平面CBD ⊂ 1 ,1 ⊄ 1 , 所以BA 平面CBD 分 1 // 1 …………………………………………………………………… 4 解 方法一 D为棱AC的中点 (2) :( )∵ , 直线BA到平面CBD的距离即为点C到平面CBD的距离 ∴ 1 1 1 , 点C到平面CBD的距离等于25 ∴ 1 5 V V 分 ∴ C - BDC 1 = C 1- BDC ……………………………………………………………………… 5 设AA AC a 则CD aBD aDC aBC a 分 1 = =2 , = , = 3 , 1= 5 , 1=22 …………………… 6 BC2 BD2 DC2 分 ∴ 1 = + 1 , …………………………………………………………………… 7 1 1 a a 25 1 1 a a a ∴ × × 3 × 5 × = × × 3 × ×2 3 2 5 3 2 a 分 ∴ =1 ……………………………………………………………………………………… 8 过点D作DE AA 则DE 平面ABC // 1, ⊥ , 如图所示 以D为坐标原点 DCDBDE所在直线分别为x轴y轴z轴 建立空间直角 , , , , , , , 坐标系 则A B C D 分 , 1(-1,0,2), (0,3,0),1(1,0,2), (0,0,0) ………………………… 9 所以DB→ DC→ AB→ =(0,3,0), 1=(1,0,2), 1 =(1,3,-2), AC→ 分 1 1=(2,0,0)………………………………………… 10 设平面ABC 的法向量为m x y z 1 1 =(1,1,1) 则 m · A 1 B→ =0 即 x 1+ 3 y 1-2 z 1=0 , m AC→ x · 1 1=0 2 1=0 令y 则x z 1=2, 1=0,1= 3, 所以平面ABC 的一个法向量m 分 1 1 =(0,2,3),………………………………………… 12 设平面CBD的法向量为n x y z 1 =(2,2,2), 则 n · DB→ =0 即 3 y 2=0 , n DC→ x z · 1=0 2+22=0 令x 则y z 2=2, 2=0,2=-1, 所以平面CBD的一个法向量n 分 1 =(2,0,-1),………………………………………… 13 m n 所以 mn · - 3 105 分 cos< ,>= m n = =- ……………………………………… 14 7× 5 35 所以平面ABC 与平面CBD夹角的余弦值为 105 分 1 1 1 ………………………………… 15 35 数学试题参考答案 第 页 共 页 2 ( 5 ) {#{QQABJYIAggAAABAAABhCEwESCkKQkgCAAQgGwAAEMAAAyBFABCA=}#}解 方法二 过点D作DE AA 则DE 平面ABC 如图所示 (2) :( ) // 1, ⊥ , , 以D为坐标原点 DCDBDE所在直线分别为x轴y轴z轴 建立空间直角坐标系 , , , , , , , 设AA AC a 则BD a 1 = =2 , = 3 , 所以A a A a a B a C a a D 分 (- ,0,0),1(- ,0,2 ), (0,3 ,0),1(,0,2 ), (0,0,0)…………… 6 所以 DB→ a DC→ a a AB→ a a a AC→ a , =(0,3 ,0), 1=(,0,2 ),1 =(,3 ,-2 ),1 1=(2 ,0,0), DA→ a 分 =(- ,0,0),…………………………………………………………………………… 7 设平面CBD的法向量为m x y z 1 =(1,1,1), 则 m · DB→ =0 即 3 ay 1=0 , m DC→ ax az · 1=0 1+2 1=0 令x 则y z 1=2, 1=0,1=-1, 所以平面CBD的一个法向量m 分 1 =(2,0,-1),………………………………………… 8 DA→ m a 所以点A到平面CBD的距离d · 2 25 1 = m = = , 5 5 a 分 ∴ =1 …………………………………………………………………………………… 10 平面CBD的一个法向量m 分 ∴ 1 =(2,0,-1)…………………………………………… 11 设平面ABC 的法向量为n x y z 1 1 =(2,2,2), 则 n · A 1 B→ =0 即 x 2+ 3 y 2-2 z 2=0 , n AC→ x · 1 1=0 2 2=0 令y 则x z 2=2, 2=0,2= 3, 所以平面ABC 的一个法向量n 分 1 1 =(0,2,3),………………………………………… 13 m n 所以 mn · - 3 105 分 cos< ,>= m n = =- ,…………………………………… 14 7× 5 35 所以 平面ABC 与平面CBD夹角的余弦值为 105 分 , 1 1 1 ……………………………… 15 35 .解 当a 时fx x 所以fx 的零点个数为 分 18 :(1) =0 ,()=e, () 0;……………………………… 1 x2 当a 时 由fx x ax2 得 1 ≠0 , ()=e+ =0 -a= x, e x2 x x 令gx 则g'x 2- 分 = x, = x , …………………………………………………… 2 e e 所以 当x 或x 时g'x gx 单调递减 , <0 >2 , <0, ; 当 x 时g'x gx 单调递增 0< <2 , >0, ; 当x 时gx 当x 时gx gx →-∞ , →+∞; →+∞ , >0, →0; g g 4 分 0 =0, 2 = 2 ,………………………………………………………………… 3 e 数学试题参考答案 第 页 共 页 3 ( 5 ) {#{QQABJYIAggAAABAAABhCEwESCkKQkgCAAQgGwAAEMAAAyBFABCA=}#}所以 当 1 即a 时 没有交点 分 , -a<0 >0 , ; ………………………………………………… 4 2 当 1 4即a e时 有 个交点 分 0<-a< 2 <- , 3 ;……………………………………………… 5 e 4 2 当 1 4即a e时 有 个交点 分 -a= 2 =- , 2 ; ………………………………………………… 6 e 4 2 当 1 4即 e a 时 有 个交点 分 -a> 2 - < <0 , 1 ;……………………………………………… 7 e 4 2 综上所述 当a 时 函数fx 有 个零点 当 e a 时 函数fx 有 个零点 , ≥0 , () 0 ; - < <0 , () 1 ; 4 2 2 当a e时 函数fx 有 个零点 当a e时 函数fx 有 个零点. 分 =- , () 2 ; <- , () 3 ……… 8 4 4 若f'x ax b 则 x ax b (2) -3 ≥ , e- - ≥0, 令hx x ax b 则h'x x a 分 =e- - , =e- ,………………………………………………… 9 当a 时 则h'x x a 此时hx 在R上单调递增 <0 , =e- >0, , 当x 时hx 不符合题意 分 →-∞ , →-∞, ;……………………………………………… 10 当a 时hx x b 只需b 所以ab 分 =0 , =e- ≥0 ≤0, =0;………………………………… 11 当a 时 则当x a时h'x 此时hx 单调递增 >0 , >ln , >0, ; 当x a时h'x 此时hx 单调递减 0, = -2ln = 1-2ln , 易知当x 时 φ'x 此时 φx 单调递增 ∈ 0,e , >0, , 当x 时 φ'x 此时 φx 单调递减 分 ∈ e,+∞ , <0, ,…………………………… 15 所以 φx φ e ≤ e = , 2 所以ab a2 a2 a e 分 ≤ - ln ≤ ,………………………………………………………………… 16 2 当且仅当a b e时 ab e =e,= , max= , 2 2 所以ab的最大值为e. 分 …………………………………………………………………… 17 2 数学试题参考答案 第 页 共 页 4 ( 5 ) {#{QQABJYIAggAAABAAABhCEwESCkKQkgCAAQgGwAAEMAAAyBFABCA=}#}.解 由题目条件dM N 可得b 分 19 :(1) ( , )=1, =1,…………………………………………… 2 c 又因为离心率为e 22 所以c2 8a2 8b2 c2 8 c2 =a= , = = + = 1+ , 3 9 9 9 所以c2 a2 分 =8, =9,………………………………………………………………………… 3 x2 所以椭圆C的方程为 y2 . 分 + =1 ………………………………………………………… 4 9 设圆心O到直线AB的距离为d. (2) 当AB的斜率存在时 设AB的方程为y kx m ① , = + , x2 􀮠 y2 联立 + =1 􀮡9 y kx m 􀮢 = + 􀪁􀪁 􀪁􀪁 消去y得 k2 x2 kmx m2 9 +1 +18 +9 -9=0, 由直线AB与椭圆C相切 得Δ km 2 k2 m2 , = 18 -4 9 +1 9 -9 =0, 整理得m2 k2 分 =9 +1, ……………………………………………………………………… 5 m k2 则d 9 +1 8 分 = k2 +1 = k2 +1 = 9-k2 +1 ∈ 1,3 ,……………………………………… 6 则 PAB的面积为 △ S ΔPAB≤ 1 AB · d +4 = 16- d2 · d +4 2 d2 d 2 d d 3 = 16- +4 = 4- +4 , 设fd d d 3d 分 = 4- +4 ,∈ 1,3 , ………………………………………………… 7 则f'd d d 2 =4 2- +4 , 当 d 时f'd 函数fd 单调递增 1≤ <2 , >0, ; 当 d 时f'd 函数fd 单调递减 2< <3 , <0, ; 因此当d 时fd 取得最大值 此时S 的最大值为 分 =2 , , ΔPAB 123, …………………… 9 当AB的斜率不存在时 由 知 AB的方程为x AB , (1) , =±3, =27, S 1 分 ΔPAB≤ ×27× 3+4 =77, ……………………………………………………… 10 2 由于 所以 PAB的面积最大时d . 分 123>77, △ ,=2 ………………………………… 11 对于线段AB上任意点E 连接OE并延长与圆O交于点F 则F是圆上与E最近的点 , , , 当E为线段AB的中点时 EF取得最大值 所以dG H . 分 , 2, ( , )=2 …………………… 13 对于线段AB上任意点E 连接OE并延长与圆O交于点F 则F是圆O上与E ② , , 距离最近的点 , 当E为线段AB的中点时 EF取得最大值 d 所以dG H d 分 , 4- , ( , )=4- ,…………… 14 对于圆O上任意点R 由R向线段AB引垂线 垂足为S 当S在线段AB上时 , , , , 则S是线段AB上与R距离最近的点 当S不在线段AB上时 则线段AB上的点 , , 与点R距离最近的点的距离小于 d 所以当RS经过圆心O时 RS取得最大值 d 2 , , 4+ , 所以dH G d 分 ( , )=4+ ;…………………………………………………………………… 16 所以dG H dH G . 分 ( , )+ ( , )=8 …………………………………………………………… 17 数学试题参考答案 第 页 共 页 5 ( 5 ) {#{QQABJYIAggAAABAAABhCEwESCkKQkgCAAQgGwAAEMAAAyBFABCA=}#}