文档内容
高 三 数 学 试 题
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1. 的虚部是
A． B． C． D．
2. 设全集 ， ，则集合 等于
A． B． C． D．
3. 已知双曲线 的实半轴长为 ，焦距为 ，则 的离心率为
A． B． C． D．
4. 已知 是函数 的一个零点，则 的最小值为A． B． C． D．
5. 已知函数 是 上的偶函数，若对于 ，都有 ，且当
时， ，则 的值为
A． B． C． D．
6. 如图，飞机飞行中的地面速度（GS）是指飞机相对于地面的实际速度，由飞机相对于
周围空气的实际运动速度（TAS）向量加减风速（WS）向量得出，其中风速顺风为正，
逆风为负，DA为偏流角. 已知某飞机逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为
，地面速度对应的向量为 ，则飞机在该时刻的实际飞
行速度（单位： ）为
（参考数据： ， ， ）
A． B． C． D．
7. 已 知 圆
2√2
上至少有三个不同的点到直线 的距离为 ，则
的取值范围是
A． B．C． D．
8. 已知 ，则 ， ， 的大小关系不可能为
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 如图， 为正方体，则
D C
1 1
A B
1 1
D
C
A
B
A． // 平面 B．
C． 平面 D．异面直线 与 所成的角为
10. 斜率为 的直线与抛物线 相交于 ， 两点， 为坐标原点， ，
直线 ， 的斜率分别为 ， . 设直线 与 轴交于点 ，过 作 的平
行线交 于点 ，则
A. B.C. ､ ､ ､ 四点共圆 D. 面积的最大值为4
11. 已知 的面积为 ，若 ， ，则
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若直线 是曲线 的切线，则 ▲ .
13. 设等比数列 的前 项和为 ， 则 的公比 ▲ .
14. 袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的
是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子. 记 为取了 次
后白球恰好全部取出的概率，则 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （13分）
为了解南、北方消费者对新能源汽车的认可度，随机对南、北方共500位消费者进行
问卷调查，得到如下列联表：
对新能源汽车的认可度 合计
认可 不认可
南方消费者 150 150 300
北方消费者 75 125 s合计 225 t 500
（1）求s，t；
（2）根据小概率值α=0.01
的独立性检验，能否认为南、北方消费者对新能源汽车
的认可度有差异？
p ，p p ，p
（3）记南、北方消费者中对新能源汽车认可的概率分别为 1 2，给出 1 2的估
p ，p
计值，并根据 1 2求4位消费者（2位南方消费者和2位北方消费者）中认可新能源汽
车的人数X的分布列与期望.
P(χ2 ≥k) 0.005 0.010 0.001
附： k 3.841 6.635 10.828
n(ad−bc) 2
χ2 = .
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
16. （15分）
已知数列 中， ， ， .
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）给定正整数 ，设函数 ，求 .17. （15分）
在直三棱柱 中， ， ， .
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若点 在棱 上，且 ， ， ， 均在球 的球面上.
（i）证明：点 在平面 内；
（ii）求直线 与平面 所成角的大小.
18. （17分）
x2 y2
已知椭圆
C:
a2
+
8
=1(a>2√2)
的左顶点为A，右焦点为F，且
|AF|=4.
（1）求C的方程；
Q
（2）过A且不与x轴重合的直线与C的另一个交点为P，与直线x=9交于点 ，
QF
过A且平行于 的直线与直线 PF 交于点R .
|PQ|=2|PA|
（ⅰ）若
，求ΔAFR
的面积；
（ⅱ）证明：存在定点G，使得
∠ARG=∠FRQ
.19. （17分）
（1）当 时，证明： ；
（2）已知函数 ， . 记 ： ，使得对 ，
都有 ； ： ，使得对 ，都有 .
（ⅰ）证明： 是 的充要条件；
（ⅱ）若 成立，求实数 的取值范围.
