文档内容
试卷类型：A
高三诊断性调研监测考试
数学试题
2025．2
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答随卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写
在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合U =1,2,3,4,5，A=1,5，B=1,2,4，则 ( ð A ) B=（ ）
U
A．1,3 B．2,4 C．1,3,4 D．1,2,3,4
−1+3i
2．若z = ，则|z|=（ ）
3+i
1
A． B．1 C．3 D． 10
2
3．已知向量a =(3,−1)，b =(1,−2)，则a与b 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
6 4 3 2
4．若圆锥的母线与轴的夹角为45，高为2 2，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．16 2 B．12 2 C．8 2 D．6 2
5．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间 0, 上单调递增的是（ ）
2
x
A． y =|sinx| B．y =|cosx| C．y =cos2x D．y =tan
2
6．从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中有放回地随机抽取3次，每次取一张，则抽到的3张卡片上
的数字之和大于9的概率为（ ）
3 7 5 3
A． B． C． D．
32 64 32 16
x2 y2
7．已知双曲线C： − =1(a0,b0)的左、右焦点分别为F ，F ，P为C在第一象限内的点，
a2 b2 1 2
学科网（北京）股份有限公司且PF ⊥ PF ，点P关于x轴的对称点为Q，若△FPQ为等边三角形．则C的离心率为（ ）
1 2 1
3+1 3 3 4 3
A． B． 3+1 C． D．
2 4 3
8．已知函数 f (x)及其导函数 f(x)的定义域均为(0,+)， f ( x2 + y2) = f 2(x)+ f 2(y)+x2y2，且
1
f(1)=1， f(1)= ，则 f(5)=（ ）
2
9 11 13 15
A． B． C． D．
4 4 4 4
二、多项选择题：本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项
中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分．
9．某学校准备组织部分同学去研学旅行，为了便于识别，他们准备定做一批容量一致的双肩包，为此，
活动负责人征求了参加同学的意向，得到了如下数据：
容量/L 22 25 28 31 34 37
频数 4 1 5 21 2 2
对于上述数据，下列说法正确的是（ ）
A．众数为31 B．第一四分位数为28
C．平均数大于28 D．标准差小于2
10．已知数列a 的前n项和为S ，若a =2，a −2a +a a =0，则（ ）
n n 1 n+1 n n n+1
9 1
A．a = B．数列1− 为等比数列
3 7 a
a
23 1
C．a a D．S −
n+1 n 10 2 210
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、心形线、卵形线等．已知卵形线C：
x−2 x + y2 =0，则（ ）
A．C关于直线y =0对称
B．C上横、纵坐标均是整数的点恰有4个
C．C上存在点P，使得P到点(1,0)的距离小于1
D．C围成区域的面积大于4
三、填空题：本大题共 3个小题，每小题 5分，共 15分．
12． ( 2x2 + y )10 的展开式的第8项是______．
5 a +a
13．已知正项等比数列a 的前n项和为S ，若S = S ，则 8 6 =______．
n n 4 4 2 a +a
5 3
学科网（北京）股份有限公司e2 +1,x=1,
14．已知函数 f(x)= 则 f ( f (1)) =______；若y = f 2(x)+bf(x)+c恰有三
ln(x−1)2 −(x−1)4,x1,
个不同的零点x ，x ，x ，则x2 +x2 +x2 =______．
1 2 3 1 2 3
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(b+c)sinB=(a+c)(sinA−sinC)．
（1）求A；
（2）若BAC的角平分线AD与BC交于点D，且b=2，AD=1．求△ABC的面积，
16．（15分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，DC∥AB，AB=2DC =2AD=2，
PD⊥平面ABCD，PD=BD，E为PB中点．
（1）证明：PB⊥平面ADE；
（2）求二面角A−DE−C的正弦值．
17．（15分）
已知函数 f(x)= xlnx，g(x)= x2 +ax．
（1）若 f(x)−g(x)ex恒成立，求a的最小值；
mf(x)−g(x)+n
（2）若x=1是(x)= +a的极小值点，求n的取值范围．
x
18．（17分）
截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的8.9%．某市调查了1000名汽车驾
驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下：
偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计
男性驾驶员
女性驾驶员 100 400
合计 400 1000
（1）请根据所给数据，完成上面的22列联表，并判断是否有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源
汽车与驾驶员的性别有关；
（2）用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，
学科网（北京）股份有限公司再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查．
（ⅰ）抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的
概率；
（ⅱ）记抽取的2人中，来自女性驾驶员且偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列和数学期望．
n(ad −bc)2
附：K2 =
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
P ( K2 k ) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
19．（17分）
x2 y2
已知椭圆C： + =1(a b0)的左右顶点分别为A ，A ，右焦点为F， AF =2+ 3，短轴长为
a2 b2 1 2 1
2．
（1）求C的方程；
（2）斜率不为0的直线l交C于M，N两点，AM ，A N 的斜率分别记为k ，k ，且2k =k ．
1 2 1 2 1 2
（ⅰ）当C的上顶点B到l的距离最大时，求l的方程；
S
（ⅱ）若直线AM 和A N 交于点T，记△TMN 的面积为S ，△TAA 的面积为S ，求出 1 的取值范
1 2 1 1 2 2 S
2
围．
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