文档内容
数学试卷参考答案
一、单选题、多选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A A B D D B C B BD ACD ABD
三、填空题
12．80 13． 14．
四、解答题
15．（1）由题意知， 的前 项和 ，
当 时， ，
当 时， ，
经检验， 满足 ，
的通项公式为 ；.......................................................................................6分
（2）证： ，
，
.......................................13
分
16.（1）设过点 的切线与圆 相切于点 ，过点 的切线与圆 相切于点 ，
由切线长相等得 ， ， ，
那么 ．
由椭圆的定义可知，点 在以 ， 为焦点的椭圆上，且 ， ，
故点 的轨迹方程为 ．....................................................................6分
试卷第1页，共3页（2）由题意知直线MN的斜率存在且不为0，故设直线MN： ，
，由 ，可得 ，
，故
，解得 ，
故直线MN的斜率为 .....................................................................15分
17．（1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ............................................................5分
（2）（i）解法1（坐标法）：在四边形 中，因为 ， ， ，
故 ,
又 ， ， 所以
则 ，所以 ，结合 ，则 ，
以A为原点， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标
试卷第2页，共3页系，
则 ， ， ， ， ，
，
平面PAC的一个法向量为 ，
，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ................................................................10
分
解法2（几何法）：在四边形 中，因为 ， ， ，
试卷第3页，共3页故 ；
又 ， ， 所以
则 ，所以 ，又因为 平面ABCD， 所以
，故 ,所以 ,
过D作 于点M，连接M,N,因为 平面ABCD， ,所以
,又 ，PA与AC相交，则 ，则 即为 与平面
所成角, 所以,
....................................................................10分
（ii）解：由（1）知 平面 ， 平面 ，故 ，
因为P，A，B，C在同一个球面上，且 为直角，即可得PB的中点到
的距离均相等，故PB为外接球直径，则球心O为PB的中点.
解法1设 ,
,
PB为外接球直径，且Q在球的表面上
， ，
， ，得 ，所以， .
解法2设 ,
试卷第4页，共3页由 ， 得 ，
，解得 或
由于点Q异于点P，所以 舍去，
所以 ，进一步可得 ....................................................................15分
18.（1）（i）因为 ，所以控制系统中正常工作的元件个数 的可能取值为0，1，2，
3，
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为 ，所以 ．
所以 ， ，
， .
所以控制系统中正常工作的元件个数 的分布列为：
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数 的数学期望为 .
....................................................................6分
（ii） .....................................................................8分
（2） 表示系统在原来 个元件增加2个元件，则至少要有 个元件正常工作，
设备才能正常工作的概率，设原系统中正常工作的元件个数为 ，
第一类：原系统中至少有 个元件正常工作，
试卷第5页，共3页其概率为 ；
第二类：原系统中恰好有 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为 ；
第三类：原系统中恰好有 个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为 .
所以
.
所以 ，
所以当 时， ，当 时， ，当 时， ，........17
分
19．【详解】（1）证明：注意到 ，
..................................................................5分
(2)因为直线 与函数 和 的图象共有三个交点，
在R上单调递增，即直线 与函数 只有一个交点，
所以直线 与函数 有两个交点，
因为 为偶函数且在 上单调递增， ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 ， ，解得 ，
所以 ，则 ，................................................................10分
试卷第6页，共3页（3）方法1 证明： ，
，
，
，
，
，
令 ，则 且 ，
即证 ，
令 ，
因为 ，
令 ，
则 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，则 ，
即 在 单调递增，且 ，
所以 时， ， 时， ，
试卷第7页，共3页即 在 且 时恒成立，
故 ．
方法2 注意到 为奇函数， 为偶函数，
则 与 都为偶函数，
则要证 ，只需证当 时， 即可。
当 时 即证
令 （ ），由于
，所以
因为 ，则 ， ，则 ，所以
在 单调递增，则 ，所以
....................................................................17分
试卷第8页，共3页
