数学答案·2025年9月高三开学联考_2025年9月_250909安徽省皖江名校联盟2026届高三9月开学摸底考试（全科）_数学

高三数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C B D A D B ABC BD BD
一.选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.【解析】B=x∈R0≤x≤2  ,A∩B=0,1,2  ,故选D.
1+3i
2.【解析】z= =-1+2i,故选B.
1-i
3.【解析】由已知得a  =2,b  =1,a⋅b=-1,cosa,b 
1
=- ,故选C.
2
b log 3 ln3 2ln2 ln9
4.【解析】由已知a=log 2<1,b=log 3>1,c=log 6>1,又 = 2 = × = >1,故b>
3 2 4 c log 6 ln2 ln6 ln6
4
c,所以a<c<b,故选B.
6
5.【解析】由已知得a= 2,c= 3，故e= ，所以选D.
2
1
6.【解析】由已知得,底面直角三角形的斜边为10m,底面内切圆的半径为 ×6+8-10
2
 =2,因为高度
为6m,故该球的最大半径为2m,所以选A.
7.【解析】fx  =xx-1  x-2  ,满足f1+x  =-f1-x  ,所以y=fx  图像关于1,0  对称.
故y=fx+1  是奇函数,y=f x    是偶函数,y= fx    的图像关于x=1对称均正确,故选D.
a2+b2-c2 1 2π
8.【解析】2a+c=2bcosC,cosC= ,所以a2+c2-b2=-ac,故cosB=- ,b= ,又ac=b2
2ab 2 3
1 2π
=4,ΔABC的面积为S= acsin = 3,故选B.
2 3
二.选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的
得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.【解析】由图像可知 fx  的最小值为-2,最小正周期为π,可求得 fx 
π
=2sin2x-
6

π
,fx+
12
 =
π
2sin2x是奇函数,f
8

π π
=2sin -
4 6

6- 2
= ,故选ABC.
2
10.【解析】因为BC⏊AD,BC⏊AA,BC⏊平面ADA,故B正确;AB⎳DE,故AB⎳平面CDE,故D正确.
1 1 1
11.【解析】由fx  =excosx-sinx 
π 5π 3 π 5π
=0,故x = ,x = ,所以x +x = π；由x∈ , 1 4 2 4 1 2 2 4 4  ,fx  <
0, 所以 fx  在区间 x 1 ,x 2  上单调递减;fx 1 
2 π
= 2 e4 ,fx 2 
2 5π
=- 2 e 4 , 所以 fx 1  + fx 2  < 0,
fx 1  -fx 2   
2 π 5π
= e4+e4 2 
3π
> 2e4 >e2,故选BD.
三.填空题：本题共3小题,每题5分,共15分.
1 A2 1
12.【答案】 【解析】P= 2 =
3 C2A2 3
3 2
3 1
13.【答案】y= x+1【解析】由已知得a= ,抛物线的方程为x2=4y,所以F0,1
4 4
 ,直线AF的方程
3
为y= x+1.
4
14.【答案】ln2,+∞  【解析】由记fx 
1
= +lnx,fx x 
x-1 1
= ,设切点为x , +lnx x2 0 x 0
0
 ,则切线方程
1
为：y- +lnx x 0
0

x -1
= 0 x2 x-x 0
0

2
,故m= x -1+lnx 0 .令gx
0

2
= -1+lnx,gx x 
x-2
= ,gx x2  在
0,2  递减,在2,+∞  递增.因为gx 
min
=ln2,故实数m的取值范围是ln2,+∞  .
数学参考答案 第1页（共4页）四.解答题：本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.【解析】(1)由已知得a =a +2,b =2b , 2分
2 1 3 2
又b =a -1,b =a -1,则a =2a -1,
2 1 3 2 2 1
解得a =3,a =5 4分
1 2
所以数列a
n
 的通项公式a =2n+1,6分
n
又b =a -1=2
2 1
数列b
n
 的通项公式b =2n-1, 8分
n
3+2n+1
(2)由已知得：S = n
 n
=nn+2 2  10分
1-28
由(1)可知T = =28-1=255 12分
8 1-2
由S n =T 8 ,所以nn+2  =255,解得n=15 13分
16.【解析】(1)该市一天的空气质量优良的天数7+26+37=70,
70
空气质量优良的概率的估计值为P= =0.7.4分
100
(2)
空气质量 人次≤400 人次>400 合计
优良 33 37 70
污染 22 8 30
合计 55 45 100
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
(3)零假设为H ：空气质量对公园锻炼人次无关,
0
nad-bc
由列联表得到χ2=
 2
a+b  c+d  a+c  b+d 
10033×8-37×22
=
 2
≈5.802>3.841
70×30×55×45
13分
根据小概率值α=0.05 独立性检验,推断H 不成立,
0
故根据小概率值α=0.05的独立性检验,
认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.15分
17.【解析】(1)fx 
ex
= 的定义域为-∞,0
x
 ∪0,+∞  ,fx 
x-1
=
 ex
3分
x2
当x>1时,fx  >0；当x<1且x≠0时,fx  <0.5分
所以fx  在1,+∞  上单调递增,在-∞,0  和0,1  上单调递减.6分
(2)gx  =afx  +lnx-x定义域为0,+∞  ,
gx 
ax-1
=
 ex 1 x-1
+ -1=
x2 x
 aex-x 
8分
x2
当a≤0时,gx  =0,得x=1,
此时函数fx  只有一个极值点,不符合题意；10分
当a>0时,gx 
ax-1
=
 ex 1
⋅ -
x x a
 ,由gx  =0,得x=1或fx 
1
= .
a
又gx  有三个极值点,故fx 
1
= 有两个不为1的零点,13分
a
1
所以 >f1
a

1 1 1
,即 >e,解得0<a< .故实数a的取值范围是0,
a e e
 .15分
数学参考答案 第2页（共4页）18.【解析】(1)由已知得：∠EPB=∠ABC=90°,AD=2BC= 2AB=2,
E为AD的中点,故BC⊥EC 2分
在△PBC中,BC=1,PC=1,PB=AB= 2,
所以PC2+BC2=PB2,所以BC⊥PC.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
又PC∩EC=C ,所以故BC⊥平面PEC. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分
又BC⊂平面ABCD,所以平面PEC⊥平面ABCD ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分
(2)在△PEC中,PC=1,PE=AE=1,EC=AB= 2 ,
所以PC2+PE2=EC2,所以PE⊥PC .
取EC的中点O,连接OP,则OP⊥EC ,
由(1)知,平面PEC⊥平面ABCD,
故OP⊥平面ABCE 10分
以OC,OP所在直线分别为y,z轴,建立空间直角坐标系,如图
2
则E0,- ,0
2

2
,C0, ,0
2

2
,B-1, ,0
2

2
,D1,- ,0
2

2
,P0,0,
2


故BC=1,0,0 

2 2
,PC=0, ,-
2 2


,DC=-1, 2,0  12分
设平面PBC的法向量为m=x 1 ,y 1 ,z 1 
 
,m⋅BC=0,m⋅PC=0,
x =0
即   1 ,取m=0,1,1
y -z =0
1 1
 14分
设平面PDC的法向量为n=x 2 ,y 2 ,z 2 
 
,则n⋅PC=0,n⋅DC=0,
y -z =0
即   2 2 ,取n= 2,1,1
x - 2y =0
2 2

所以cosm,n 
m⋅n
=
m  n 
2
= , 16分
2
设平面PBC与平面PDC夹角为θ,
2
则cosθ= 17分
2
1 9 c 1
19.【解析】(1)由已知得 + =1, = ,2分
a2 4b2 a 2
b2 1 b2 3
即 1- = ,得 = ,故a2=4,b2=3
a2 2 a2 4
x2 y2
所以椭圆E的方程为 + =14分
4 3
(2)由(1)可得F 1-1,0  ,F 21,0  ,
1
设AB的方程为：x=my-1,k 1 = m m≠0  ,Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,
则x =my -1,x =my -1,3x2+4y2=12.
1 1 2 2 1 1
x -1
设AC方程为：x=ny+1,n= 1 y ,Cx 3 ,y 3
1
 ,Dx 4 ,y 4 
与椭圆方程联立得：3n2+4  y2+6ny-9=0,
9 9y2
所以yy =- =- 1
1 3 3n2+4 3x 1 -1 
3y2
= 1 ,……………………6分
2+4y2 2x -5 1 1
3y x -1 3y 5x -8
故y = 1 ,因此x = 1 ⋅ 1 +1= 1 .8分
3 2x -5 3 y 2x -5 2x -5
1 1 1 1
3y 5x -8
同理y = 2 ,x = 2 .
4 2x -5 4 2x -5
2 2
数学参考答案 第3页（共4页）CD斜率为k = y 4 -y 3 = 3y 22my 1 -7
2 x -x 4 3
 -3y 12my 2 -7 
5x 2 -8  2x 1 -5  -5x 1 -8  2x 2 -5 
= 7y 1 -y 2 
3x 1 -x 2 
7 = k
3 1
k 3
故 1 = 12分
k 7
2
3y 7 5x -8
(3)由(2)知：CD的方程为:y- 1 = x- 1
2x -5 3m 2x -5
1 1
 ,
7 3y 7 5x -8 7 13
即y= x+ 1 - ⋅ 1 ,即y= x-
3m 2x -5 3m 2x -5 3m 7
1 1
 .
13
所以直线CD过定点Q ,0
7
 . 15分
因为PH⊥CD,由几何意义知：PH  ≤PQ 
3 65
= ,故PH
14

3 65
的最大值为 .17分
14
数学参考答案 第4页（共4页）