江西省南昌市2025届高三信息卷数学答案_2025年5月_250517江西省南昌市2025届高三信息卷（南昌三模）（全科）_江西省南昌市2025届高三信息卷数学

2025届高三信息卷 数学 参考答案及评分意见 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A D D D B B 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC AB ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 7 12．1 13．60 14． 18 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．【解析】（1）由3cos2Acos2B2，得3(12sin2 A)(12sin2B)2， 则sin2B3sin2 A(sinA,sinB0)，sinB 3sinA， 由正弦定理得：b 3a3. …………………… 6分 BC 3 （2）设CBD,在RtBCD中，cos  ， BD 3c 在ABC中，由余弦定理得：AB2 BC2  AC2 2ABBCcos(π)， 3 即c2 392c 3( )2，所以c2 4，即c2. …………………… 13分 3c 16．【解析】（1）分别过A,B,C作底面DEF 的垂线，垂足A,B ,C ， 1 1 1 垂足分别为DE,EF,FD的中点，所以AA //BB,AA  BB ， 1 1 1 1 所以四边形AABB为平行四边形，所以AB//AB ， 1 1 1 1 所以AB//平面DEF ，同理CB//平面DEF . 故平面ABC∥平面DEF . …………………… 6分 （2）取DE的中点O，分别以OE，OF ，OA为x,y,z轴的正半轴建立空间直角坐标系， 3 1 3 3 1 1 则A(0,0, ),C( , , ),D( ,0,0),E( ,0,0)， 2 4 4 2 2 2  1 3  1 3 所以AC ( , ,0),AD( ,0, ), 4 4 2 2  设平面CDA的法向量为n (x,y,z)， 1  1 3  n    A  C  0    4 x 4 y 0 则 1 ，所以 ，    n AD 0  1 3 1  x z 0   2 2  令x3，得y  3,z  3，所以n (3, 3, 3)， 1  由图可知平面EDA的一个法向量为n (0,1,0)， ………………………… 11分 2    n n 3 5 所以cosn ,n  1 2   ，   1 2 |n ||n | 151 5 1 2 2 5 所以二面角CDAE 的正弦值为 . ………………………… 15分 5 x2 17．【解析】（1）因为 f(x) (ex ax)，而x2不是 f(x)的极值点， x3 所以方程ex ax0还有其它正根（变号零点）， 若曲线y ex和y ax在(0,)只有一个公共点， 则y ex和y ax相切，不符合题意， 所以此时ex ax0必有两个正根，且x2为其中一个根， e2 所以a . ………………………… 5分 2 x2 e2 （2）由（1）可得 f(x) (ex  x)， x3 2 e2 e2 设g(x)ex  x，则方程g(x)0的两根为x2,x x (0 x 2)，其中ex 0  x . 2 0 0 2 0 因为0 x x 时，g(x)0所以(x2)g(x)0，即 f(x)0，此时 f(x)单调递减； 0 x  x2时，g(x)0，则(x2)g(x)0，即 f(x)0，此时 f(x)单调递增； 0 x2时，g(x)0，所以(x2)g(x)0，即 f(x)0，此时 f(x)单调递增. 即 f(x)  f(x ). ………………………… 10分 min 0 e2 因为ex 0  x ，即x lnx 2ln2， 2 0 0 0 ex 0 e2 2 所以 f(x)  f(x )  (lnx  ) min 0 x 2 2 0 x 0 0 e2 e2 2   [(x 2ln2) ] 2x 2 0 x 0 0 e2 1 e2  (x  2ln2)  (22ln2)0， 2 0 x 2 0 且x0时， f(x)；x时， f(x)， 所以 f(x)在(0,x ),(x ,)上各有1个零点， 0 0 所以 f(x)在(0,)上有且仅有2个零点. ………………………… 15分 18. 【解析】（1）依题意可知动点Q到点(1,0)的距离等于到直线x1的距离 所以动点Q的轨迹是以F 为焦点，x1为准线的抛物线. 所以C的方程为y2 4x. ………………………… 5分 （2）（ⅰ）设A(x ,y ),B(x ,y ),M(x ,y ) 1 1 2 2 3 3 y2 4x 4 因为A,B在曲线C上，则有 1 1 ，两式相减得：k  .  y 2 2 4x 2 AB y 1  y 2 4 4 同理k  ,k  . AM y  y BM y  y 1 3 2 3 因为ABM 为直角三角形，即MAMB4 4 所以k k 1,即  1. MA MB y  y y  y 1 3 2 3 则y y (y  y )y  y2 16， ………………………… 8分 1 2 1 2 3 3 又因为ABM 的重心G 在x轴上.则有y  y  y 0，即y  y y 1 2 3 1 2 3 所以y y 16， 1 2 4 直线AB的方程为y y  (xx )， 1 y  y 1 1 2 所以直线AB的方程为4x(y  y )y y y 0， 1 2 1 2 所以直线AB经过定点P(4,0)； ………………………… 11分 (ⅱ) 设A(x ,y ),B(x ,y ),M(x ,y ),且y 0,y 0,y 0 1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 因为G 是ABM 的重心，所以S S  S GAB GAM 3 ABM 1 y 1 y 不妨设S  S ,所以S S   2 S，S S   3 S， ABM BPG 1 3 y  y MGH 2 3 y  y 1 2 1 3 y 1 1 S y y  y y y 所以 1  1 2 2 3  3 ， ………………………… 14分 S y y  y y y 2 1 3 2 3 1 1 y 2 y 1 1 S y y  y y y  y 又因为y  y y ，所以 1  1 2 2 3  1 2 ， 1 2 3 S y y y y y 2 1 3 2 3 1 1 y 2 y S 2t1 令t  1 ，所以 1  ， y S 1t2 2 2 y 又因为M 在B的下方，所以y  y ，即(y  y ) y ，即t  1 2， 3 2 1 2 2 y 2 S 4a 4 令a 2t13，所以 1   ， S a2 2a3 3 2 a 2 a 4 设 f(a) ，则 f(a)在(,3)为增函数， 3 a 2 a S 所以0 f(a)1，即 1 (0,1). ………………………… 17分 S 2 19．【解析】（1）设这三张卡片标记的数字从小到大依次记为a ,a ,a ，排列有： 1 2 3 aa a ,aa a ,a aa ,a a a ,a aa ,a a a 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 按照甲的策略，能取到a 的有： 3 aa a ,a aa ,a a a ， 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 所以，甲选到这3张卡片数字中的最大数字的概率是  ； ……………… 4分 6 2 （2）X 的可能取值可以是1,2,3,4，将这四张卡片排成一列，有A4 24种排法， 4"X 1"表示标记数字4的卡片排在前2位，标记数字1的卡片排在第4位， A1A2 1 P(X 1) 2 2  ； 24 6 "X 2"表示标记数字4的卡片排在前2位，标记数字2的卡片排在第4位， A1A2 1 P(X 2) 2 2  ； 24 6 "X 3"表示标记数字1,2的卡片排在前2位，标记数字3的卡片排在第3位，或标记数字 4的卡片排在前2位，标记数字3的卡片排在第4位， A2 A1A2 1 P(X 3) 2  2 2  ； 24 24 4 "X 4"表示标记数字3的卡片排在前2位，标记数字4的卡片排在后2位， 或标记数字 1,2的卡片排在前2位，标记数字4的卡片排在第3位， A1A1A2 A2 5 P(X 4) 2 2 2  2  ； 24 24 12 因此，随机变量X 的分布列是 X 1 2 3 4 1 1 1 5 P 6 6 4 12 1 2 3 20 24920 35 EX       ； ………………………… 10分 6 6 4 12 12 12 （3）设这n张卡片标记的数字从小到大依次记为a ,a ,a ,,a ，将这n个数字随机排列， 1 2 3 n 共有An n 甲选取到这n张卡片中的最大数字，即甲选到数字a ，可以分为a 排在第k1,k2,,n n n 位，并且甲选中a ，分别记为事件A(i k1,k2,,n)， n i 1 A 表示a 排在第k 1位，其它卡片随机排，因此，P(A ) ； k1 n k1 n A 表示a 排在第i位，且前i1个数中的最大数在前k 位，（ik2,k3,,n1,n） i n 因此， Ani kAi2 (n1)(n2)(i1)ik(i2)(i3)21 k P(A) n1 i2   ， i An n(n1)21 n(i1) n 因此，甲选到最大数字的概率为： k 1 1 1 P  (   )， k n k k1 n1 k1 1 1 k 1 1 1 P P  (  ) (   ) k1 k n k1 n1 n k k1 n1 1 1 1  (  1)， n k1 n1 因为P 最大，所以P P 0,P P 0，即 k k 1 k k k 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1   1    . …………… 17分 k 1 k 2 n1 k k 1 k 2 n1 0 0 0 0 0