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《2025届高三一模》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C C C A D D C BD ACD
题号 11 12
答案 BCD ACD
1．C
【难度】0.65
【知识点】平面向量共线定理的推论
【分析】根据 ，结合平面向量的减法可得出 ，结合 ，
，可得出 ，利用 、 、 三点共线，可求出 的
值.
【详解】连接 ，因为点 是线段 上靠近点 的三等分点，则 ，
即 ，所以， ，
又因为 ， ，则 ，
因为 、 、 三点共线，设 ，则 ，
所以， ，且 、 不共线，
所以， ， ，故 ，因此， .
故选：C.
2．C
【难度】0.4
【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 的定义进行分析，由此列不等式来求得 的取值范围，进而求得正确答
案.
【详解】因为 ，
所以该式的前15项都为0，后4项都为1，
所以 ，
所以 ，即 ，
得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，故 .
故选：C.
【点睛】思路点睛： 首先根据和式的结果分析每一项的取值情况，列出关于变量的不等式，
然后解不等式得到变量的取值范围，若取值范围涉及到指数形式，通过计算近似值进一步
精确范围，最后根据变量的取值范围求出所求式子的值.
3．C
【难度】0.85
【知识点】判断两个集合的包含关系、求指数型复合函数的值域、求对数型复合函数的定
义域
【分析】分别求函数 的值域和函数 的定义域，即得集合 ，从
而可确定选项.
【详解】由 ， ，可得 ，则 ，故 ，
又由 有意义，可得 ，即得 ，故 ，
则显然有 .
故选：C.
答案第2页，共2页
学科网（北京）股份有限公司4．C
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】由 值不定即可判断A；由题设求出 和 即可判断B；由 求出 即
可求出 判断C；由 和 即可判断D.
【详解】对于A，当 时， ，当且仅当 即
时等号成立，
所以 ，但 值不定，
所以若 ，则 所有项不一定恒大于等于 ，故A错误；
对于B，若 时， ， ，而 ，故B错；
对于C，若 是常数列，则 ，即 ，
所以 ，故C正确；
对于D，由题 ，
因为 ，所以由递推关系 可知 ，且 ，
，
所以 ， .故D错误.
故选：C.
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司5．A
【难度】0.65
【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题
【分析】首先根据侧面展开图面积等于半圆面积，求得底面半径与母线长，再利用勾股定
理算得圆锥高.
【详解】
设圆锥的母线长为l，圆锥的底面半径为r，
因为圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
圆锥的侧面展开图是一个面积为 的半圆，
则 ，解得 ，
则该圆锥的高为 .
故选：A.
6．D
【难度】0.15
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、球的表面积的有关计算、多面体与球体内切
外接问题
【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，
过底面圆的直径作截面，设两圆的半径，则 ， ，其中
答案第4页，共2页
学科网（北京）股份有限公司，表达出 ， ，求导得到函数单调
性，得到最值，并求出 ，令 ，函数
在 上单调递增，求出 ，得到答案.
【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切，
过底面圆的直径作截面，
如图所示，过点O作OF⊥AB，垂足为F，过点 作 ⊥AB，垂足为E，
过点 作 ⊥OF，垂足为D．
设圆O的半径为R，圆 的半径为r，当下面的球与上底面相切时， 取得最大值，
此时 为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为 ，内切球半径为 ，
故 ，故R的最大值为 ，且取最大值时，
三点共线，设 ，则 ，
则 ，解得 ，
所以 ， ， ， ，
.
因为 ，所以 ①，
整理得 ，解得 ，
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司令函数 ， ，
.
令函数 ， ，所以 是增函数.
又因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ， ， ，
即 ， ， ， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，所以 ，即这两个球体的半径之和的最大值为 .
由①可得 ，
这两个球体的表面积之和为 .
令 ，函数 在 上单调递增，
所以 ，即这两个球体的表面积之和的最大值为 .
故选：D．
【点睛】方法点睛：
立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化
为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵
制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构
特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.
7．D
答案第6页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【难度】0.65
【知识点】球的截面的性质及计算
【分析】由题意分析出P在半球面形成的轨迹为圆周，再由三点共线及勾股定理解出 ，
最后按照圆的周长求得即可.
【详解】
由于 ，因此P在半球面形成的轨迹为圆周，
如图：记圆柱上顶面圆心为M，点P的轨迹所在圆的圆心为N，则A，M，N共线，
，设 ， ，
在 和 中使用勾股定理有 ，
解得 ，于是点P的轨迹的长度 .
故选:D.
8．C
【难度】0.85
【知识点】由对数函数的单调性解不等式、交集的概念及运算
【分析】解对数不等式得集合 ，然后由交集定义计算．
【详解】由已知 ，所以 ．
故选：C．
9．BD
【难度】0.65
【知识点】利用导数证明不等式、比较正弦值的大小
答案第7页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【分析】利用特殊角的函数可以估算并判断AC选项，利用泰勒展开式可以计算并估计B
选项，利用导数可以来证明并判断D选项.
【详解】由 ， ，则有 ，故A选项错误．
由 ，则 ，
又 （精确到小数点后两位），故B选项正确．
， ，则有 ，故C选项错误．
当 时，令 ，则 ， ，
所以 在 上为增函数，则 ，
所以 在 上为增函数，则 ，
故当 时， 恒成立，即 ．故D选项正确．
故选：BD.
10．ACD
【难度】0.65
【知识点】求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数奇偶性的定
义与判断、判断命题的充分不必要条件
【分析】根据函数的奇偶性和充分、必要条件的判定方法，可判定A正确；结合导数和函
数的单调性间的关系，结合充分、必要条件的判定方法，可判定B错误；利用导数求得函
数 的单调性，进而求得 的极小值，可判定C正确；结合二次函数的性质，结合
，列出不等式，可判定D正确．
【详解】对于A中，当 时，函数 ，则满足 ，
所以 为奇函数，所以充分性成立；
答案第8页，共2页
学科网（北京）股份有限公司若 为奇函数，则 ，
则 恒成立，所以 ，所以必要性成立，所以A正确；
对于B中，当 时， ，可得 ，所以 为增函数；
由 ，当 为增函数时， ，所以“ ”是“
为增函数”的充分不必要条件，所以B错误；
对于C中，由 ，若不等式 的解集为 且 ，
则 在 上先增后减再增，则 ，解得 ，
故 ，可得 ，
令 ，解得 或 ，
当 内， ， 单调递增；
当 内， ， 单调递减；
当 内， ， 单调递增，
所以 的极小值为 ，所以C正确．
对于D中，由 ，因为 是方程 的两个不同的根，
所以 ，即 ，且 ，
由 ，可得 ，所以 ，即 ，
联立方程组，可得 ，解得 或 ，所以D正确．
故选：ACD．
答案第9页，共2页
学科网（北京）股份有限公司11．BCD
【难度】0.65
【知识点】求投影向量、双曲线定义的理解、向量的线性运算的几何应用、向量加法法则
的几何应用
【分析】建立直角坐标系，根据双曲线的定义，结合三角形内心的向量表达式、切线长定
理、投影向量的定义进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
由 ，可设 ， ，
所以点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 的双曲线的右支（不含右顶点），
故A错误；
因为 是 的角平分线，且 ，
所以 ，又 表示 方向上的单位向量， 表示 方向上的单
位向量，
则 在 的角平分线上，所以 也为 的角平分线， 为 的
内心，故B正确；
如图，设 ，
则 ， ，
则由双曲线与内切圆的性质可得， ，故C正确；
答案第10页，共2页
学科网（北京）股份有限公司又 ，所以 ， 在 上的投影长为 ，
所以 在 上的投影向量为 ，故D正确.
故选：BCD
12．ACD
【难度】0.65
【知识点】根据韦达定理求参数、直线与抛物线交点相关问题、与抛物线焦点弦有关的几
何性质、求直线与抛物线相交所得弦的弦长
【分析】对于A，B，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及焦半径公式解方程即可；
对于C，利用导数的几何意义求出 ，直线 垂直即可判断；对于D，利
用韦达定理以及焦半径公式求出 ，即 ，由直线
与直线 垂直得 即可.
【详解】对于A，由已知设过点 的直线方程为 ，
联立方程 ，
消去 得 ，可得 ，
又因为 ，
答案第11页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，则 ，
解得 （定值）， A 正确;
所以抛物线方程为 ，
准线方程为 ，B错误;
对于 C，抛物线 ，
即 ，
则 ，
所以 ，
故直线 垂直，
所以点 在以 为直径的圆上， C正确;
对于 D，因为 ，
解得 ，
因为直线 垂直于直线 ，直线 的方程为
所以 ，
则 ，D 正确.
故选：ACD.
13．
【难度】0.65
【知识点】求指定项的系数、三项展开式的系数问题
答案第12页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【分析】分析找到满足题意的项，化简即可得到结果．
【详解】根据题意，展开式中 的项为
则 的系数为：
故答案为： .
14．1
【难度】0.85
【知识点】求图象变化前（后）的解析式、特殊角的三角函数值
【分析】先根据向左平移得出 的解析式，再求函数值即可.
【详解】由已知得 ，
所以 .
故答案为：1.
15．
【难度】0.85
【知识点】已知向量垂直求参数、利用向量垂直求参数、数量积的坐标表示、垂直关系的
向量表示
【分析】由向量的垂直关系列方程求解即可.
【详解】由 得 ，即 ，
由向量的坐标，得 ，解得 .
故答案为： .
16． 54 /
【难度】0.65
【知识点】计算条件概率、分组分配问题
【分析】利用分组分配的方法，计算求值；利用样本空间的方法，求条件概率.
【详解】由题意可得三个学年修完四门选修课程，每学年至多选2门，
则每位同学每年所修课程数为1，1，2或0，2，2．
答案第13页，共2页
学科网（北京）股份有限公司先将4门选修课程按1，1，2分成三组，有 种方式，再分到三个学年，有 种
不同方式，
由分步计数原理得，不同的选修方式共有 种．
同理，将4门选修课程按0，2，2分成三组，再排列，有 种，
所以共有 种不同的选修方式；
若将“某同学高一学年只选修了舞蹈与书法两门课程”记为事件A，将“高二学年结束后
就修完所有选修课程”记为事件B．
根据题意，满足事件A的所有选课情况共4种情况，其中包含高二选修完或高三选修完其
他2门，或是高二，高三各选1门，共4种情况，
其中同时满足事件B的仅有1种情况．根据条件概率公式 ，可知所求概率
为 ．
故答案为：54；
17．(1)
(2)直线EG过定点 .
(3) .
【难度】0.65
【知识点】根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、根据双曲线的渐近线求标准方程
【分析】（1）设出方程带入点，得到方程.
（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程再进行联立，再易知，直线EG的斜
答案第14页，共2页
学科网（北京）股份有限公司率存在，设直线EG的方程为 ，最后得到过定点.
（3）考虑子圆，两圆的圆心之间的距离，最后得到答案.
【详解】（1）设双曲线的方程为 ，
将点 代入得 ，即 ， 双曲线 的方程为
（2）当直线DG的斜率不为零时，设直线DG的方程为 ， ， ，
.
由 消去 整理得 ，
依题意得： ，且 ，即 且 ，
， .
易知，直线EG的斜率存在，设直线EG的方程为 .
令 ，得
.
直线EG过定点 .
当直线DG的斜率为0时，直线EG的方程为 ，过点 ，
综上，直线EG过定点 .
答案第15页，共2页
学科网（北京）股份有限公司（3）考虑以 为圆心的“子圆” ，
由 的方程与 的方程消去 ，得关于 的二次方程 .
依题意，该方程的判别式 ， .
对于外切于点 的两个“子圆” ， ，显然点 在 轴上，
设 ， ， 的半径分别为 ， ，
不妨设 ， 的圆心分别为 ， .
则 ， .
两式相减得： ，而 ， .
，整理得： .
，点
.
，故 .
答案第16页，共2页
学科网（北京）股份有限公司18．(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、用导数判断或证明已
知函数的单调性、已知切线（斜率）求参数
【分析】（1）先求导函数再应用切线斜率为1，计算求参；
（2）先把证明的不等式转换，再构造函数 ，根据函数单调性计算证明
不等式；
（3）分 两种情况分类讨论是否符合不等式恒成立即可求参.
【详解】（1）设 ，则 ， ，
若 与 相切，设切点为 ，
则 ，又 ，则 ，从而 ，即 ，即 .
（2）设 ，则 ，当 时， ，
依题意，当 时，要证 ，即证 ，当 时，即证
.
设 ， ，则 ，当 时， ， 单调递
答案第17页，共2页
学科网（北京）股份有限公司增，
则当 时， ，即 ，从而 ，
当 时， ，即 ，从而 ，
综上可知，当 时， .
（3）不等式即 ，令 ，令 ， ， ，
由 ，不妨设 ， ，
其中 ， ， .
（ⅰ）当 时，由（2）可知 单调递增，故 ，则 ，即
单调递增，符合题意；
（ⅱ）当 时，由 ，令 ，则 ，
①当 时， ，则 恒成立，故 单调递减，即
，
即 ，故 单调递增，从而 ，符合题意；
②当 时， ，故 有两个根 ，
因此当 时， ， 单调递增，则 ，
即 ，故 在区间 上单调递减，从而 ，不
合题意.
答案第18页，共2页
学科网（北京）股份有限公司综上可知， 或 ，即 .
【点睛】关键点点睛:解题的关键点是构造 ，结合导函数判断函数单调性，
分 两种情况分别证明不等式即可
19．(1)
(2)存在“长向量”，且“长向量”为 、 ，理由见解析；
(3)
【难度】0.15
【知识点】向量新定义、向量模的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、求含sinx(型)
函数的值域和最值
【分析】（1）得到 ，从而得到不等式，求出答案；
（2） ，若存在“长向量” ，只需使 ，又 ，故
，即 ，当 或6时，符合要求，得到结论；
（3）由题意得 ，同理 ， ，
三式相加并化简，得 ，设 ，由 得 ，
设 ，由对称得到方程组，求出 ，其中 ，故
．
【详解】（1）由题意可得： ，即 ，又 ，
故 ，
答案第19页，共2页
学科网（北京）股份有限公司故 ，
解得 ；
（2）存在“长向量”，且“长向量”为 、 ，理由如下：
由题意可得 ，
若存在“长向量” ，只需使 ，
又 ，
，
即 ，即 ，
当 或6时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为 、 ．
（3）由题意，得 ， ，即 ，
即 ，同理 ， ，
三式相加并化简，得 ，
即 ， ，所以 ，
设 ，由 得 ，
设 ，因为 与 关于点 对称， 与 （ 且 ）关于点 对称，
则依题意得： ，
答案第20页，共2页
学科网（北京）股份有限公司将①代入②得， ，
从而 ，
……，
，
以上 个式子相加化简得，
，
又由②知，
，
即 ，
所以 ，
其中 ，
，
当且仅当 时等号成立，故 ．
【点睛】新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理
解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解
的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么
情况下可以使用书上的概念.
20．(1)极小值为 ，无极大值
(2)（i） ；（ii）证明见解析
答案第21页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【难度】0.4
【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数证明不等式、求已知函数的极值
【分析】（1）将 代入函数解析式，求导，判断其单调性，进而得出极值；
（2）（i）化简函数 的解析式，令 ，问题可转化为 在 有2
个零点 ， ，再利用导数研究函数 的性质即可得出答案；
（ii）等价于证明 ，再利用极值点偏移法即可得证．
【详解】（1） 时， ，
，
令 ，
， ； ， ，
在 单调递减， 单调递增，
时， ， ，则 ，
， ， 时， ，
时， ； ， ，
在 单调递减，在 单调递增，
的极小值为 ，无极大值.
（2）（i） ， ，
令 ， ，
， 在 单调递增，
答案第22页，共2页
学科网（北京）股份有限公司令 ，即 在 有2个零点 ， ，且 ， ，
，
时， ， 在 单调递增，不存在2个零点，
，
时， ； 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，
时， ； 时， ，
， .
（ii）设 ， ， ，
由（i）知， ，即证： ，即证： ，
， ， 在 单调递增，
即证： ，
， ，
令 ， ，
即证： ， ，
令 ， ，
， 在 单调递减， ，
， 在 单调递增， ，
答案第23页，共2页
学科网（北京）股份有限公司【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
21．(1) ；
(2)2．
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用、用导数判断
或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解方程，
（2）求导，分类讨论求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可根据函数的单调性，
结合最值求解.
【详解】（1）依题意， ，故 ，
而 ，故所求切线方程为 ，即 ．
（2）令 ，故 ，
令 ，
，令 ，
．
①当 时， ，
在 上为减函数，即 在 上为减函数，
又 ，
答案第24页，共2页
学科网（北京）股份有限公司在 上有唯一的零点，设为 ，即 ．
在 上为增函数，在 上为减函数．
又
，
在 上有且只有一个零点，在 上无零点；
②当 时， 单调递减，
又 ，
在 内恰有一零点；
③当 时， 为增函数，
，
单调递增，又 ，所以存在唯一 ，
当 时， 递减；当 时， 递增，
，
答案第25页，共2页
学科网（北京）股份有限公司在 内无零点．综上所述，曲线 与曲线 的交点个数为2．
【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导
数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构
造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采
用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的
函数往往是解题的关键.
22．(1) ，
(2)
【难度】0.65
【知识点】利用韦达定理求其他值、参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标的互化、
等比中项的应用
【分析】
（1）利用互化公式 即可将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；利用代入
消元法消去参数 ，即可得到直线的普通方程；
（2）把直线的参数方程和曲线的直角坐标方程联立，根据韦达定理和参数的几何意义分别
表示出 ， ， ，利用等比中项即可求出的值.
【详解】（1）
根据极坐标与直角坐标的转化可得， ，
即 ；
直线 的参数方程为： ，
消去参数 得：直线 的方程为 ，即 .
答案第26页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以曲线 的普通方程为 ；
直线 的普通方程为 ；
（2）
直线 的参数方程为 （ 为参数），
代入 得到 ，
设 、 两点对应的参数分别为 、 ，在 ， ，
，则有 ， ，
因为 ，所以 ，
即： ，
解得 或 （舍）.
综上： .
答案第27页，共2页
学科网（北京）股份有限公司
