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⻓沙市⼀中 2025 届⾼三⽉考试卷( 七)
数 学
1.已知复平⾯内坐标原点为Q，复数z对应点为Z，z满⾜：z(4-3i)=3+4i,则
A. B. C.1 D.2
2.如果对于任意实数x,[x]表示不超过x 的最⼤整数,例如[3.1]=3,[-2.1]=-3,那么“ | x-y| <1” 是“ [x]=[y]”
的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.天然钻⽯是在地球深部⾼压、⾼温条件下形成的⼀种由碳元素组成的单质晶体，随着科技发展，⼈⼯钻⽯也
在不断涌现，⽬前已合成的有⽩钻、⻩钻、绿钻及蓝钻.钻⽯常⻅外形有圆形、椭圆形、榄尖形、⼼形、梨
形、⽅形、三⻆形等！现有⼀款雕琢后的钻⽯，其形状如图所示，可看作由正六棱台
和正六棱锥 P-ABCDEF组合⽽成，其中 若该组合体的外
接球存在，且外接球的体积为36π ，则AA₁ 的⻓度为
A.1 B.
4.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 M,N为异于. 的两点，且MN的中点
在双曲线C的左⽀上，点M关于F₁和F₂的对称点分别为A，B，则| 的值为
A.26 B.-26 C.52 D.-52
5.定义 设函数f（x）=min｛sinωx，cosωx｝（ω＞0）,若 f(x)在区间 上单调
递减，则ω的取值范围为
6.如果{不是等差数列，但若∃k∈N*，使得 那么称{an}为“ 局部等差” 数列.已知数列{x
n}为:x₁,x₂,x₃,x₄,记事件A:x;∈{1,2,3,4,5},1≤i≤4,i∈N*,.且x；互不相同；事件σ :λ xn}为“ 局部等
差” 数列,则条件概率 P(B| A)=
学科⽹（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7.定义:若存在 n个正数 x₁,x₂,…, xn,使得 则称函数 y=f(x)为“ n
阶奇性函数” .若函数 是“ 2阶奇性函数” ，则实数m的取值范围
是
A.(-∞,0) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(0,1)∪ (1,+∞)
8.设集合A的最⼤元素为M，最⼩元素为m，记A 的特征值为 若集合中只有⼀个元素，规定其特
征 值 为 0.已 知 ， 是 集 合 N*的 元 素 个 数 均 不 相 同 的 ⾮ 空 真 ⼦ 集 ， 且
则n的最⼤值为
A.14 B.15 C.16 D.18
⼆、选择题(本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，⾄少有两项符合题⽬要求，若
全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)
9.⽆穷等⽐数列{an}的⾸项为a₁，公⽐为q，下列条件能使 既有最⼤值，⼜有最⼩值的有
10.在平⾯直⻆坐标系xOy中，已知点 ，若将点 A 绕原点按顺时针旋转θ 弧度，得到点B(x₀,y₀),
记. 则下列结论错误的有
B.不存在θ ,使得 f(θ )与g(θ )均为整数
D.存在某个区间(a,b)(a0,故k=0或1,此时
解得 则k=0时,ω=3.
6.如果{不是等差数列，但若∃k∈N*，使得 那么称{an}为“ 局部等差” 数列.已知数列{x
n}为:x₁,x₂,x₃,x₄,记事件A:x;∈{1,2,3,4,5},1≤i≤4,i∈N*,.且x；互不相同；事件σ :λ xn}为“ 局部等
差” 数列,则条件概率 P(B| A)= (C)
A. B. C. D.
【解析】由题意知,事件A 共有C₅· A₄=120.个基本事件，事件B共有以下24个基本事件，含1,2,3
的局部等差数列分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3个,
含3，2，1 的局部等差数列同理也有3个，共6个；
含3，4，5的和含5，4，3的与上述相同，也有6个；
学科⽹（北京）股份有限公司含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4,1 共2个,含4,3,2的同理也有2个,共4个;,
含 1,3,5的有 1,8,5,2和 2,1,3,5和 4,1,3,5和 1,3,5,4共 4个,含 5,3,1 的也有 4个,共 8个.综上共有 24
个，则 故选C.
7.定义:若存在 n个正数 x₁,x₂,…, xn,使得 则称函数 y=f(x)为“ n
阶奇性函数” .若函数 是“ 2阶奇性函数” ，则实数m的取值范围
是
D)
A.(-∞,0) B.(0,1)
C.(1,+∞) D.(0,1)∪ (1,+∞)
【解析】根据“ n阶奇性函数” 定义可知，“ 2阶奇性函数” 表示存在2个正数x₁，x₂，使得。
由 可得 c在x>0上有两个解，
即 y= mx-m与 y= xlnx在 x>0上有两个交点.函数 y= mx-m,y= xlnx均过点(1,0),且 y= xlnx的导函数
,当01,y'>1,⼜ 可知当 时，
单调递减， 时,y'>0,y= xlnx单调递增，所以当m≤0或m=1 时,y= mx-m
(x>0)的图象与. 只有⼀个交点，当m>0且m≠1 时,有两个交点.综上,m∈(0,1)∪ (1,+∞).
8.设集合A的最⼤元素为M，最⼩元素为m，记A 的特征值为 若集合中只有⼀个元素，规定其特
征 值 为 0.已 知 ， 是 集 合 N*的 元 素 个 数 均 不 相 同 的 ⾮ 空 真 ⼦ 集 ， 且
则n的最⼤值为 (C)
A.14 B.15 C.16 D.18
【解析】要想 n的值尽可能⼤，则特征值要尽可能⼩，不妨令 A₁ 是只有 1 个元素的⾮空真⼦集，则
是集合N*的含有两个相邻正整数的⾮空真⼦集，则 此时能保证n的值最⼤，同理得.
以此类推，得到.
解得n=16或 (舍),∴n的最⼤值为16.
⼆、选择题(本⼤题共3⼩题，每⼩题6分，共18分.在每⼩题给出的选项中，⾄少有两项符合题⽬要求，若
全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)
9.⽆穷等⽐数列{an}的⾸项为a₁，公⽐为q，下列条件能使 既有最⼤值，⼜有最⼩值的有 (BC)
【解析】 时，只有最⼤值a₁，没有最⼩值；
)时，a₁为最⼤值，a₂为最⼩值；
时，奇数项都相等且⼩于零，偶数项都相等且⼤于零，所以有最⼤值，也有最⼩值；
时，因为 所以| an| ⽆最⼤值，奇数项为负，⽆最⼩值，偶数项为正，⽆最⼤值.
10.在平⾯直⻆坐标系xOy中，已知点 ，若将点 A 绕原点按顺时针旋转θ 弧度，得到点B(x₀,y₀),
记. 则下列结论错误的有 （BC)
学科⽹（北京）股份有限公司B.不存在θ ,使得 f(θ )与g(θ )均为整数
D.存在某个区间(a,b)(a4，当且仅当a=1 时取等号.
四、解答题(本⼤题共5个⼩题，共77分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本⼩题满分13分)
众所周知，乒乓球被称为中国的“ 国球” ，是⼀种世界流⾏的球类体育项⽬，包括进攻、对抗和防守.某学
校为了丰富学⽣的课后活动内容，增强学⽣体质，决定组织乒乓球活动社.以下是接下来7个星期(⽤x=1
表示第1 个星期，⽤x=2表示第⼆个星期，以此类推)参加活动的累计⼈数y(⼈)的统计数据.
学科⽹（北京）股份有限公司x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 14 20 37 74 108 203
(1)根据表中数据可以判断y与x⼤致满⾜回归模型y=c· dˣ ，试建⽴y与x的回归⽅程(精确到0.01);
(2)为了更好地开展体育类型活动，学校继续调查全校同学的身⾼情况.采⽤按⽐例分层抽样抽取了男⽣30
⼈，其身⾼的平均数和⽅差分别为171.5和Y3.0；抽取了⼥⽣20⼈，其身⾼的平均数和⽅差分别为16
1.5和27.0，试求全体学⽣身⾼的平均数和⽅差.
参考数据： 其中
【解析】(1)由于y=e· d²,则z= lg y= xlg d+ lgc, …………………………………………… 1 分
由于
则 ………………………………………… 4分
把点(4,1.57)代⼊ z= xlgd+ lgc,
则1.57=4× 0.25+ lgc,解得 lgc=0.57, …………………………………………………………… 6分
则z=0.25x+0.57,即 …………………… 7分
(2)记男⽣样本数据为x₁,x₂,…,x₃₀,平均数为 ⽅差为
记⼥⽣样本数据为y₁,y₂,…,y₂₀,平均数为 ⽅差为
记总样本的平均数为 ⽅差为s²，则 … ……………………………9分
由于
则
…………………………………………………………12
分
则全体学⽣身⾼的平均数为167.5，⽅差为42.6.………………………………………………………13分
16.(本⼩题满分15分)
如图，在三棱柱 中,平⾯A₁B₁C⊥平⾯AA₁C₁C,∠BAC=90° .
(1)证明:
(2)若 是正三⻆形,AB=2AC=2,求⼆⾯⻆. 的⼤⼩.
【解析】(1)过点 B₁作. 的垂线，垂⾜为Q，如图所示，
学科⽹（北京）股份有限公司由平⾯A ，平⾯. 平⾯.
B₁O⊂平⾯. 得B₁O⊥平⾯AA₁C. C. … 3分
⼜AC⊂平⾯. 得 ……………… 4分
由 得
⼜ B₁O,A₁B₁⊂平⾯A₁B₁C,B₁O∩ A₁ ,得AC⊥平⾯A₁B₁C, ………………… 7分
⼜CA₁⊂平⾯. 得 …………………… 8分
(2)以C为坐标原点， 的⽅向为x轴，y轴正⽅向，建⽴如图所示的空间直⻆坐标系C-xyz,
由 是 正 三 ⻆ 形 ， 可 得 .A(1,0,0),A₁(0,2,0),B₁(0,1, ),所 以
,……………………………………… 9分
设n=(x,y,z)是平⾯A₁AB的⼀个法向量,
则 ,
令z=1,则有. 得 ……………………………………… 11 分
设 是平⾯ABC的⼀个法向量，
则 即
令 则有y=、3,x=0,得 ………………………………………………… 13分
则cos、
⼜因为⼆⾯⻆A₁﹣AB﹣C为锐⼆⾯⻆,所以⼆⾯⻆A₁﹣AB﹣C的⼤⼩为π /3.………………………… 15分
17.(本⼩题满分15分)
如图，在平⾯直⻆坐标系中，M和N是x轴上关于原点对称的两个点，过点M倾斜⻆为θ 的直线l 与抛物线(C:
交于A,B两点,且MB⊥NB.
(1)若N为抛物线C的焦点，求证：(
学科⽹（北京）股份有限公司(2)过点A作x轴的垂线,垂⾜为 H,若∠ABH=2θ ,求直线l 的⽅程.
【解析】(1)由题可知，N(1,0),M(-1,0),设
则
因为 MB⊥NB,故 … 3分
解得 则 … 6分
则 … 7分
(2)因为∠ABH=2θ ,∠AMH=θ ,所以∠BHM=θ ,数BM=BH.
所以点B必在MH的中垂线上，…………………………………………………………………………8分
设M(m,0),直线l 的⽅程为
联 ⽴ 得
……………………………………………………… 1
0分
因为点 B在MH的中垂线上，故
所以 即
左右两边同时除以x²得 解得 或
⼜因为. 所以 ………………………………………… 12分
因为MB⊥NB,所) 即
解得 所以
辉队直线l 的⽅程为 即 …………………………………… 15分
18.(本⼩题满分17分)
已知函数f(x)= xlnx.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若 恒成⽴，求实数m的取值范围；
(3)若正实数a，b满⾜ 证明：
【解析】(1)依题意，f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+ lnx,………………………………… 1 分
令 可知
当 时，f'(x)<0,f(x).单调递减； 时，f'(x)>0,f(x).单调递增，
故 f(x)在区间( 上单调递减，在区间 上单调递增.……………………………3分
(2)由 可知， 恒成⽴，
设
注意到 …………………………………… 4分
当m≤0时,g(x)>0,g(x)单调递增,故g(x)2时,令g'(x)=0,则⽅程 存在两个零点x₁，x₂，
且 则 当 时，
故 不符合题意，………………………………………………………8分
综上可知,m≤2. ………………………………………………………………………………………………… 9分
(3)令 a= cosx,b= sinx,x∈(0,π /2),令 F(x)=f(a)+f(b)= cosxln(cosx)+ sin xln(sinx),则 F'(
-
…………………………………………………………………… 12分
设 则 则h(x)在区间(0,1)上单调递增, … 13分
故 )在区间(0，π /2)上单调递增，且
因 此 F. x在 区 间 (o， π /4)上 单 调 递 减 ， 在 区 间 ( )上 单 调 递 增 ， 即
…………… 15分
由 (2)可 知 ,当 02:因为n≥3,于是S>6.
则 即
因为d>2，于是
所以
可以得到d=2，与假设⽭盾，因此假设不成⽴，即d≤2.………………………………………………5分
再证d可以取到2：构造数列.Mn:1,3,5,…,2n-1.
以下⽤归纳法证明对于任意n≥2,该数列是平滑数列.
根据等差数列的性质，有
⾸先，由(1)知M₂ 为平滑数列.
假 设 为 平 滑 数 列 ， 即 使 得
学科⽹（北京）股份有限公司对于 由归纳假设，此时若令 可以表示{1,2,3,…,k²}中的任意数；
令 可以表示( 1)²}中的任意数.因为k=2时,
+1≥2k+1,所以上述两集合包含了从1 到( 中的所有⾃然数.
所以M₄₊₁为平滑数列.因此d=2合题意.
所以d的最⼤值为 2.……………………………………………………………………………………………8分
(3)S的最⼤值为121.
先证 S≤121.对于平滑数列 M:a₁,a₂,a₃,a₄,a₅,对于 考虑
的所有可能情况，共有 种.
当 时，此时和为零，于是⾮零的情况⾄多有242种.
⼜对于每⼀组 in，都可取 与之对应，
此时 i₁ ),
因此和为正数的情况⾄多有 种.因此 S≤121. …………………………………………… 12分
再证S可取到121.构造数列 M:1,3,9,27,81.由于1+3+9+27+81=121.及上⾯的论证，只需证明对于不同
的i 各不相同.
， 设 有 若 满 ⾜
,即
若 ，此时△₁ 不是3的倍数，但 是3的倍数，⽭盾.因此. 若 ，
此时Δ ₁ 不是9的倍数，但 是9的倍数，⽭盾.因此， 同理可证△₃,△₄,△₅
均等于零.
因 此 若 必 有 得
证.…………………………………………………… 17分
学科⽹（北京）股份有限公司
