文档内容
湖南省永州市 2026 年高考第一次模拟考试数学试卷
注意事项：
1. 全卷满分150分, 时量120分钟.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。
3.考试结束后，只交答题卡.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知集合A={x|3≤x＜10}, B={x|2＜x≤7}, 则A∪B= ( )
A.(2,10) B. [3,7] C. [7,10) D. (2,3]
2.设复数z ，z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z =3−i,则 z z =( )
1 1 2
A. - 1₁0 ₂ B. 10 C. - 8 D. 8
3：下列函数中既是奇函数又是增函数的为()
1
A.f (x)=−x3 B.f (x)=2∣x∣ C.f (x)=− D.f (x)=√3 x
x
4：2025 年“九三”阅兵活动中，官兵步伐高度一致，假设官兵的步伐可由简谐振动表示为
( π)
f (x)=cos 2x+ . 将函数f(x)的图象上所有点向右平移π/6个单位长度，可得到函数g(x)的
6
图象，则函数g(x)的解析式为()
( π)
A. g(x)=cos2x B.g(x)=cos 2x+
3
( π)
C.g(x)=cos 2x− D. g(x)=-sin2x
6
5.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn, 公差 d≠0, 若, S =70,且 a , a , a₉成等比数列，则
5
a =( ) ₂ ₄
6
A. 30 B. 32 C. 36 D. 40
6.(x2−x−2y) 5 的展开式中， x5y2的系数为()
A. 80 B. 40 C. - 60 D. - 120
7.已知函数. f (x)=ax(a⟩0,a≠1),直线y=x与函数y=f(x)的图象相切,则lnα=0( )
1
A. B. C. e' D. 2a
2
1
8.已知两条直线 l :y=2x,l :y= x, 有一动圆M与l 交于A，B两点，与l 交于C，D两点,且.
1 2 2
AB - 2,CD=4, 则圆心M的轨迹为( ) ₁ ₂
A. 圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
二、多项选择题：本题共小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9.在长方体ABCD-A B C D 中, CD=3, AD=4, AA =5, M为.BB 上一动点，N是A D 的中点，
则下列结论正确的是 ( )
₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁
A. 直线CM∥平面AA D D
B. 直线A C 与平面 ABCD的夹角是π/3
₁ ₁
C. 直线AC ⊥平面B D C
₁
D. 三棱锥M-ADN的体积是10
₁ ₁ ₁
10.若实数x，y满足x+y≥2，则下列选项一定正确的有( )
A. xy≥1 B.x2+ y2≥2
1
C.(x−1) 2+ y2≥ D.∣x−2y2∣+∣y−2x2∣≥2
2
11.下列关于函数 f (x)=−x3+ax+1的说法，正确的有()
(1) ( 1)
A. 若 f =2,则 f − =0
2 2
3
B. 当 0＜a＜ 时，f(x)的图象不经过第三象限
2
C. 若f(x)有三个零点x ,x ,x ,则 x x +x x +x x =a
1 2 2 3 3 1
D.若有且只有一个正方形的四个顶点在函数f(x)图象上，则 a=2√2
₁ ₂ ₃
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知a，b均为单位向量，且 ⃗b⋅(2⃗a+⃗b)=2,则a与b的夹角等于 .
1
13. 在△ABC中, AB=2BC,cosB= ,若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e=
4
.
14.一颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有点数 1，2，3，4，5，6.随机地抛掷该骰子三次
( 各 次 抛 掷 结 果 相 互 独 立 ) ， 所 得 的 点 数 依 次 为 a ,a ,a , 则 事 件
1 2 3
“∣a −a ∣+∣a −a ∣+∣a −a ∣=8"发生的概率为 .
1 2 2 3 3 1
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
C
15. 在 △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b, c, sin(A+B)=2√3sin2 .
2
(1)求cosC;
(2)若 a+b=5,△ABC面积为 √3,求c.16. 如图, 在三棱锥A-BCD中, CD⊥平面ABD, AB=BD=CD;E是AD的中点, F是线段AC上的一
点(不含端点).
(1) 证明: BE⊥平面ACD;
π
(2) 若二面角A-CD-B的大小为 ,求直线BF 与平面ACD 所成角的正弦值的最大值.
3
17.在一套高中数学试卷中有三道多选题，且每题有 4个选项，至少2个正确选项，不会出现4个正
确选项，全部选对得6分，选错得0分.若正确答案有2个选项，选对1个得3分；若有3个选项，
1
选对1个得2分，选对2个得4分.已知每道多选题的正确选项为2个与3个的概率都是 ，学
2
生甲在做第三道多选题时不能确定任何选项的正误.
(1)若学生甲做第三道多选题时随机选择3个选项，求他得6分的概率：
(2)学生甲做第三道多选题时随机选择 1个选项的得分记为X ，随机选择2个选项的得分记为
Y，随机选择3个选项的得分记为Z，试比较E(X)，E(Y)，E(Z)的大小.
5
18. 抛物线 C :y2=2px(0＜p＜4)的焦点为F，C上纵坐标为2的点到F 的距离为 .对每个正
2整数n， Pn(an，bn)是C上的点且在第一象限，过焦点F的直线FP。交C于另一点！Qn(cn,
dn).
(1)求抛物线C的方程；
(2) 求证: b d =−1(n≥1);
n n
(3) 取 a =22n−1, 并记 Tn 为 C 上分别以 Pn 与 Qn 为切点的两条切线的交点，求
n
∣FT ∣+∣FT ∣+⋯+∣FT ∣的值(用含n的式子表示).
1 2 n
19.已知函数f(x)= lnx-ax.
(1) 若f(x)≤0, 求实数a的取值范围;
(2) 证明: ex+x2＞2sinx+xlnx+1;
(3)若函数h(x)=| xf(x)|+1在x∈(1,e)|时有最小值，求正实数a的取值范围.
