文档内容
专题 24 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）
大题综合
考点 十年考情（2015-2024） 命题趋势
考点1 第二问求曲 2022·天津卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·天津卷
线方程 2018·全国卷、2017·全国卷、2017·天津卷、2015·天津卷
（10年6考） 2015·安徽卷
考点2 求轨迹方程 2023·全国新Ⅰ卷、2021·全国新Ⅰ卷、2019·全国卷
（10年5考） 2017·全国卷、2015·湖北卷
1. 熟练掌握椭圆、
2024·全国新Ⅰ卷、2023·天津卷、2022·全国甲卷、2021·天津
双曲线、抛物线的
考点3 求直线方程 卷
定义及方程的求
（10年8考） 2020·天津卷、2018·江苏卷、2017·全国卷、2017·天津卷
解，通常大题第一
2015·江苏卷
问考查方程求解
2021·全国新Ⅰ卷、2021·北京卷、2021·全国乙卷、2019·天津
2. 掌握轨迹方程的
考点4 求斜率值或 卷
求解，近年该考点
范围 2018·天津卷、2018·天津卷、2017·天津卷、2017·山东卷
多次考查
（10年6考） 2016·山东卷、2016·上海卷、2016·天津卷、2016·全国卷
3. 熟练掌握直线方
2016·上海卷、2016·天津卷、2015·天津卷、2015·北京卷
程的求解，会求斜
考点5 离心率求值 2024·北京卷、2023·天津卷、2022·天津卷、2020·全国卷
率值或范围
或范围综合 2019·天津卷、2019·全国卷、2016·四川卷、2016·浙江卷
4. 会弦长等距离的
（10年7考） 2015·重庆卷、2015·重庆卷
求解，会定值定点
考点6 弦长类求值
定直线的求解及证
2022·浙江卷、2020·北京卷、2019·全国卷、2017·浙江卷
或范围综合
明，该内容也是高
2016·北京卷、2016·全国卷、2015·四川卷、2015·山东卷
（10年6考）
考命题热点
考点7 其他综合类
2024·上海卷、2024·北京卷、2020·北京卷、2020·浙江卷
求值或范围综合
2019·全国卷、2016·四川卷、2015·四川卷
（10年5考）
考点8 定值定点定 2023·全国新Ⅱ卷、2023·全国乙卷、2022·全国乙卷
直线问题 2020·全国新Ⅰ卷、2020·全国卷、2019·北京卷、2019·北京卷2017·全国卷、2017·北京卷、2017·全国卷、2016·北京卷
（10年7考）
2016·北京卷、2015·陕西卷、2015·全国卷
2024·全国甲卷、2023·全国新Ⅰ卷、2023·北京卷、
2022·全国新Ⅱ卷、2021·全国新Ⅱ卷、2019·全国卷
考点9 其他证明综
2018·北京卷、2018·全国卷、2018·全国卷、2018·全国卷
合
2017·北京卷、2017·全国卷、2016·四川卷、2016·四川卷
（10年9考）
2016·江苏卷、2016·全国卷、2016·四川卷、2015·湖南卷
2015·全国卷、2015·福建卷
考点10 圆锥曲线与
其他知识点杂糅问题 2024·全国新Ⅱ卷、2018·全国卷、2016·四川卷
（10年3考）
考点01 第二问求曲线方程
1．（2022·天津·高考真题）椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足
．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的标准方程．
2．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心
1 2 1
与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|.
2 1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
3．（2019·全国·高考真题）已知曲线 ，为直线 上的动点，过 作 的两条切线，切点
分别为 .
（1）证明：直线 过定点：
（2）若以 为圆心的圆与直线 相切，且切点为线段 的中点，求该圆的方程.4．（2019·天津·高考真题） 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，上顶点为B.已知
（ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心
在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
5．（2018·全国·高考真题）设抛物线 的焦点为 ，过 且斜率为 的直线 与 交于 ，
两点， ．
（1）求 的方程；
（2）求过点 ， 且与 的准线相切的圆的方程．
6．（2017·全国·高考真题）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段
AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点 ，求直线l与圆M的方程.
7．（2017·天津·高考真题）已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 的坐标
为 ， 的面积为 .
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点 在线段 上， ，延长线段 与椭圆交于点 ，点 ， 在 轴上， ，
且直线 与直线 间的距离为 ，四边形 的面积为 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
8．（2015·天津·高考真题）已知椭圆 的上顶点为 B,左焦点为 ,离心率为 ,
（Ⅰ）求直线BF的斜率;
（Ⅱ）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点
B）直线PQ与y轴交于点 M, .
（ⅰ）求 的值;
（ⅱ）若 ,求椭圆的方程.
9．（2015·安徽·高考真题）设椭圆E的方程为 ，点O为坐标原点，点A的坐标为，点B的坐标为
，点M在线段AB上，满足 ，直线OM的斜率为 .
（Ⅰ）求E的离心率e；
（Ⅱ）设点C的坐标为 ，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 ，求E的方
程.
考点02 求轨迹方程
1．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，
记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
3．（2019·全国·高考真题）
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C
于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
4．（2017·全国·高考真题）设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足为
N，点P满足 .
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F.5．（2015·湖北·高考真题）一种作图工具如图1所示． 是滑槽 的中点，短杆 可绕 转动，长杆
通过 处铰链与 连接， 上的栓子 可沿滑槽AB滑动，且 ， ．当栓子
在滑槽AB内做往复运动时，带动 绕 转动一周（ 不动时， 也不动）， 处的笔尖画出的曲线
记为 ．以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图2所示的平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点．若直线 总与曲线 有且只有
一个公共点，试探究： 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
考点03 求直线方程
1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知 和 为椭圆 上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线 交C于另一点B，且 的面积为9，求 的方程．
2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知
．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积
的二倍，求直线 的方程．
3．（2022·全国甲卷·高考真题）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直线交C于
M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．
(1)求C的方程；
(2)设直线 与C的另一个交点分别为A，B，记直线 的倾斜角分别为 ．当 取得最
大值时，求直线AB的方程．
4．（2021·天津·高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，离心率为 ，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线 与椭圆有唯一的公共点 ，与 轴的正半轴交于点 ，过 与 垂直的直线交 轴于点 ．
若 ，求直线 的方程．
5．（2020·天津·高考真题）已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且
，其中 为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点 满足 ，点 在椭圆上（ 异于椭圆的顶点），直线 与以 为圆心的圆相切于
点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程．
6．（2018·江苏·高考真题）在平面直角坐标系 中，椭圆C过点 ，焦点 ，圆
O的直径为 ．
（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于 两点．若 的面积为 ，求直线l的方程．
7．（2017·全国·高考真题）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段
AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点 ，求直线l与圆M的方程.
8．（2017·天津·高考真题）设椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，离心率为 .已知 是
抛物线 的焦点， 到抛物线的准线 的距离为 .
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设 上两点 ， 关于 轴对称，直线 与椭圆相交于点 （ 异于点 ），直线 与 轴相交于
点 .若 的面积为 ，求直线 的方程.
9．（2015·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的离心率为
，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；
（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，
求直线AB的方程.
考点04 求斜率值或范围
1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
2．（2021·北京·高考真题）已知椭圆 一个顶点 ，以椭圆 的四个顶点为顶
点的四边形面积为 ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交
交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．
3．（2021·全国乙卷·高考真题）已知抛物线 的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足 ，求直线 斜率的最大值.
4．（2019·天津·高考真题）设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为
4，离心率为 .
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半轴
上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率.5．（2018·天津·高考真题）设椭圆 (a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为 ，
点A的坐标为 ，且 .
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l： 与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若
(O为原点) ，求k的值.
6．（2018·天津·高考真题）设椭圆 的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为
， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线 与椭圆交于 ， 两点， 与直线 交于点M，且点P，M均在第四象限．若
的面积是 面积的2倍，求 的值．
7．（2017·天津·高考真题）已知椭圆 的左焦点为 ，右顶点为 ，点 的坐标
为 ， 的面积为 .
（I）求椭圆的离心率；
（II）设点 在线段 上， ，延长线段 与椭圆交于点 ，点 ， 在 轴上， ，
且直线 与直线 间的距离为 ，四边形 的面积为 .
（i）求直线 的斜率；
（ii）求椭圆的方程.
8．（2017·山东·高考真题）在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦
距为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且
， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条
切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.9．（2016·山东·高考真题）已知椭圆 的长轴长为4，焦距为
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过动点 的直线交 轴与点 ，交 于点 ( 在第一象限)，且 是线段 的中
点.过点 作 轴的垂线交 于另一点 ，延长 交 于点 .
（ⅰ）设直线 的斜率分别为 ，证明 为定值；
（ⅱ）求直线 的斜率的最小值.
10．（2016·上海·高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 且与双曲线交
于 两点.
（1）若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若 的斜率存在，且 ，求 的斜率.
11．（2016·天津·高考真题）设椭圆 的右焦点为 ，右顶点为 ，已知
，其中 为原点， 为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于点 ，若 ，且 ，求直线的 斜率的取值范围.
12．（2016·全国·高考真题）已知椭圆E: 的焦点在 轴上，A是E的左顶点，斜率为k （k > 0）
的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4， 时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当 时，求k的取值范围.
13．（2016·上海·高考真题）双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 过 且与双曲线交
于 两点．
（1）若 的倾斜角为 ， 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设 ，若 的斜率存在，且 ，求 的斜率．
14．（2016·天津·高考真题）设椭圆 （ ）的右焦点为 ，右顶点为 ，已知
，其中 为原点， 为椭圆的离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点 的直线 与椭圆交于点 （ 不在 轴上），垂直于 的直线与 交于点 ，与 轴交于
点 ，若 ，且 ，求直线的 斜率的取值范围.
15．（2015·天津·高考真题）已知椭圆 的左焦点为 ,离心率为 ，点M在椭圆
上且位于第一象限，直线 被圆 截得的线段的长为c， .
（Ⅰ）求直线 的斜率；
（Ⅱ）求椭圆的方程；
（Ⅲ）设动点 在椭圆上，若直线 的斜率大于 ，求直线 （ 为原点）的斜率的取值范围.
16．（2015·北京·高考真题）已知椭圆 ，过点 且不过点 的直线与椭圆 交于 ，
两点，直线 与直线 交于点 ．
（Ⅰ）求椭圆 的离心率；
（Ⅱ）若 垂直于 轴，求直线 的斜率；
（Ⅲ）试判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
考点05 离心率求值或范围综合1．（2024·北京·高考真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 和
的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
2．（2023·天津·高考真题）已知椭圆 的左右顶点分别为 ，右焦点为 ，已知
．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点 在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线 交 轴于点 ，若三角形 的面积是三角形 面积
的二倍，求直线 的方程．
3．（2022·天津·高考真题）椭圆 的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足
．
(1)求椭圆的离心率 ；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若 ，且
的面积为 ，求椭圆的标准方程．
4．（2020·全国·高考真题）已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，C 的中心
1 2 1
与C 的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|= |AB|.
2 1 2
（1）求C 的离心率；
1
（2）设M是C 与C 的公共点，若|MF|=5，求C 与C 的标准方程.
1 2 1 2
5．（2019·天津·高考真题） 设椭圆 的左焦点为 ，左顶点为 ，上顶点为B.已知
（ 为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点 且斜率为 的直线 与椭圆在 轴上方的交点为 ，圆 同时与 轴和直线 相切，圆心
在直线 上，且 ，求椭圆的方程.
6．（2019·全国·高考真题）已知 是椭圆 的两个焦点，P为C上一点，O为坐标原点．
（1）若 为等边三角形，求C的离心率；
（2)如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
7．（2016·四川·高考真题）已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前n项和， ，其中
q>0， .
（Ⅰ）若 成等差数列，求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明： .
8．（2016·浙江·高考真题）如图，设椭圆 （a＞1）.
（Ⅰ）求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长（用a、k表示）；
（Ⅱ）若任意以点A（0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.
9．（2015·重庆·高考真题）如图，椭圆 的左右焦点分别为 ，且过 的直线交椭
圆于 两点，且 .
(1)若 ， ，求椭圆的标准方程.
(2)若 ，且 ，试确定椭圆离心率的取值范围.
10．（2015·重庆·高考真题）如图，椭圆 的左、右焦点分别为 过 的直线交椭
圆于 两点，且（1）若 ，求椭圆的标准方程
（2）若 求椭圆的离心率
考点06 弦长类求值或范围综合
1．（2022·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ．设A，B是椭圆上异于 的两点，且点
在线段 上，直线 分别交直线 于C，D两点．
(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值；
(2)求 的最小值．
2．（2020·北京·高考真题）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
3．（2019·全国·高考真题）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x
轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若 ，求|AB|．4．（2017·浙江·高考真题）如图，已知抛物线 .点A ，抛物线上的点P（x,y）
,过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.
（I）求直线AP斜率的取值范围；
（II）求 的最大值
5．（2016·北京·高考真题）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ， ，
， 的面积为1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定
值.
6．（2016·全国·高考真题）（2016新课标全国卷Ⅰ文科）在直角坐标系 中，直线l:y=t(t≠0)交y轴于点
M，交抛物线C： 于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.
7．（2015·四川·高考真题）如图，椭圆E： 的离心率是 ，过点P（0,1）的动直线
与椭圆相交于A，B两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆E截得的线段长为 .
（1）求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点P不同的定点Q，使得 恒成立？若存在，求出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由.
8．（2015·山东·高考真题）平面直角坐标系 中，已知椭圆 的离心率为 ，左、
右焦点分别是 ，以 为圆心以3为半径的圆与以 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆 上.
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设椭圆 ， 为椭圆 上任意一点，过点 的直线 交椭圆 于 两点，射
线 交椭圆 于点 .
（i）求 的值；
（ⅱ）求 面积的最大值.
考点07 其他综合类求值或范围综合
1．（2024·上海·高考真题）已知双曲线 左右顶点分别为 ，过点 的直线
交双曲线 于 两点.
(1)若离心率 时，求 的值．
(2)若 为等腰三角形时，且点 在第一象限，求点 的坐标．
(3)连接 并延长，交双曲线 于点 ，若 ，求 的取值范围．
2．（2024·北京·高考真题）已知椭圆 ： ，以椭圆 的焦点和短轴端点为顶点的四边
形是边长为2的正方形.过点 且斜率存在的直线与椭圆 交于不同的两点 ，过点 和
的直线 与椭圆 的另一个交点为 ．
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．
3．（2020·北京·高考真题）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．4．（2020·浙江·高考真题）如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点A是椭圆 与
抛物线 的交点，过点A的直线l交椭圆 于点B，交抛物线 于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若 ，求抛物线 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
5．（2019·全国·高考真题）已知 是椭圆 的两个焦点，P为C上一点，O为坐
标原点．
（1）若 为等边三角形，求C的离心率；
（2)如果存在点P，使得 ，且 的面积等于16，求b的值和a的取值范围.
6．（2016·四川·高考真题）已知椭圆 ： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形
的三个顶点，直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及点 的坐标；
（Ⅱ）设 是坐标原点，直线 平行于 ，与椭圆 交于不同的两点 、 ，且与直线 交于点 ，证明：
存在常数 ，使得 ，并求 的值．
7．（2015·四川·高考真题）椭圆 （ ）的离心率是 ，点 在短轴 上，且
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点，是否存在常数 ，使得 为
定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由
考点08 定值定点定直线问题
1．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线
与 交于点P．证明:点 在定直线上.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知椭圆 的离心率是 ，点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点，直线 与 轴的交点分别为 ，证明：线段 的中点为
定点．
3．（2022·全国乙卷·高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过
两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点 的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足
．证明：直线HN过定点．
4．（2020·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．
5．（2020·全国·高考真题）已知A、B分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，
，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
（1）求E的方程；
（2）证明：直线CD过定点.
6．（2019·北京·高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ，且经过点 .
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，直线 与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直
线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.
7．（2019·北京·高考真题）已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程；
（Ⅱ）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交
直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．8．（2017·全国·高考真题）已知椭圆C： （a>b>0），四点P （1,1），P （0,1），P （–1，
1 2 3
），P （1， ）中恰有三点在椭圆C上.
4
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P 点且与C相交于A，B两点.若直线P A与直线P B的斜率的和为–1，证明：l过定
2 2 2
点.
9．（2017·北京·高考真题）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点 作直线l与抛物线C交于不同的
两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
10．（2017·全国·高考真题）设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足
为N，点P满足 .
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F.
11．（2016·北京·高考真题）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ， ，
， 的面积为1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定
值.
12．（2016·北京·高考真题）已知椭圆 过点 两点．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及离心率；
（Ⅱ）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证：
四边形 的面积为定值．
13．（2015·陕西·高考真题）如图，椭圆 经过点 ，且离心率为 .
(I)求椭圆 的方程；
(II)经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不同两点 （均异于点 ），
问：直线 与 的斜率之和是否为定值？若是，求出此定值；若否，说明理由．14．（2015·全国·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上
（1）求 的方程
（2）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 .证明：直线
的斜率与直线 的斜率的乘积为定值.
考点09 其他证明综合
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，且
轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线交 于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明：
轴．
2．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，
记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
3．（2023·北京·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，A、C分别是E的上、下顶
点，B，D分别是 的左、右顶点， ．
(1)求 的方程；
(2)设 为第一象限内E上的动点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．求证：
．
4．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线方程为
．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点 在C上，且 ．过P且斜率为 的直线与过Q且斜率为 的直线交于点M.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另
外一个成立：
①M在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
5．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知椭圆C的方程为 ，右焦点为 ，且离心
率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线 与曲线 相切．证明：M，N，F三点共线的
充要条件是 ．
6．（2019·全国·高考真题）
已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C
于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
（ii）求 面积的最大值.
7．（2018·北京·高考真题）已知抛物线C： =2px经过点 （1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线
C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点， ， ，求证： 为定值．
8．（2018·全国·高考真题）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为
．
（1）证明： ；
（2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明： ， ， 成等差数列，并求
该数列的公差．
9．（2018·全国·高考真题）设抛物线 ，点 ， ，过点 的直线 与 交于 ，
两点．
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；（2）证明： ．
10．（2018·全国·高考真题）设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的
坐标为 .
（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）设 为坐标原点，证明： .
11．（2017·北京·高考真题）已知椭圆C的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作AM的垂线交BN于点
E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为4:5．
12．（2017·全国·高考真题）设O为坐标原点，动点M在椭圆C 上，过M作x轴的垂线，垂足
为N，点P满足 .
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点 在直线 上，且 .证明：过点P且垂直于OQ的直线 过C的左焦点F.
13．（2016·四川·高考真题）已知椭圆 ： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角
形的三个顶点，直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及点 的坐标；
（Ⅱ）设 是坐标原点，直线 平行于 ，与椭圆 交于不同的两点 、 ，且与直线 交于点 ，证明：
存在常数 ，使得 ，并求 的值．
14．（2016·四川·高考真题）已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前n项和， ，其中
q>0， .
（Ⅰ）若 成等差数列，求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明： .
15．（2016·江苏·高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x y 2=0，抛物线C：y2=2px
（p＞0）.（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为 ；
②求p的取值范围.
16．（2016·全国·高考真题）已知A是椭圆E： 的左顶点，斜率为 的直线交E于A，M
两点，点N在E上， .
（Ⅰ）当 时，求 的面积
（Ⅱ） 当 时，证明： .
17．（2016·四川·高考真题）已知椭圆E： （a﹥b﹥0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角
形的三个顶点，点 在椭圆E上.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设不过原点O且斜率为 的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与
椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.
18．（2015·湖南·高考真题）已知抛物线 的焦点 也是椭圆 的一个焦点，
与 的公共弦的长为 .
（1）求 的方程；
（2）过点 的直线 与 相交于 ， 两点，与 相交于 ， 两点，且 与 同向
（ⅰ）若 ，求直线 的斜率
（ⅱ）设 在点 处的切线与 轴的交点为 ，证明：直线 绕点 旋转时， 总是钝角三角形19．（2015·全国·高考真题）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上
（1）求 的方程
（2）直线 不过原点 且不平行于坐标轴， 与 有两个交点 ，线段 的中点为 .证明：直线
的斜率与直线 的斜率的乘积为定值.
20．（2015·福建·高考真题）已知点 为抛物线 的焦点，点 在抛物线 上，且
．
（Ⅰ）求抛物线 的方程；
（Ⅱ）已知点 ，延长 交抛物线 于点 ，证明：以点 为圆心且与直线 相切的圆，必与
直线 相切．
考点10 圆锥曲线与其他知识点杂糅问题
1．（2024·全国新Ⅱ卷·高考真题）已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，
．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令
为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
2．（2018·全国·高考真题）已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为
．
（1）证明： ；（2）设 为 的右焦点， 为 上一点,且 ．证明： ， ， 成等差数列，并求
该数列的公差．
3．（2016·四川·高考真题）已知数列{ }的首项为1， 为数列{ }的前n项和， ，其中
q>0， .
（Ⅰ）若 成等差数列，求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）设双曲线 的离心率为 ，且 ，证明： .
