文档内容
2009 年重庆高考文科数学试题及答案
本试卷满分150分，考试时间120分钟
第Ⅰ卷
考生注意：
1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码
上的准考证号、姓名和科目．
2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
参考公式：
如果事件 互斥，那么
如果事件 相互独立，那么
如果事件 在一次试验中发生的概率是 ，那么 次独立重复试验中恰好发生 次的
概率
以 为半径的球体积：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1．圆心在 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
解法1（直接法）：设圆心坐标为 ，则由题意知 ，解得 ，故圆的方程为 。
解法2（数形结合法）：由作图根据点 到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆
的方程为
解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在 轴上，排除C。
2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）
A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”
B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”
D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”
【答案】B
解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若
一个数的平方是正数，则它是负数”。
3． 的展开式中 的系数是（ ）
A．20 B．40 C．80 D．160
【答案】D
解法1：设含 的为第 ，则 ，令 ，得 ，故展开式
中 的系数为 。
解法2：根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的 与2分得的
次数和为6，则根据条件满足条件 的项按3与3分配即可，则展开式中 的系数为
。
4．已知向量 若 与 平行，则实数 的值是（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】D解法 1：因为 ，所以 由于
与 平行，得 ，解得 。
解法 2：因为 与 平行，则存在常数 ，使 ，即
，根据向量共线的条件知，向量 与 共线，故 。
5．设 是公差不为0的等差数列， 且 成等比数列，则 的前 项和 =
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
解析：设数列 的公差为 ，则根据题意得 ，解得 或
（舍去），所以数列 的前 项和
6．下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
解析因为 ，由
于正弦函数 在区间 上为递增函数，因此 ，
即 。
7．已知 ，则 的最小值是（ ）A．2 B． C．4 D．5
【答案】C
解析因为 当且仅当 ，且
，即 时，取“=”号。
8．12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好
被分在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解析：因为将12个组分成4个组的分法有 种，而3个强队恰好被分在同一组
分 法 有 ， 故 各 强 队 恰 好 被 分 在 同 一 组 的 概 率 为
。
9．在正四棱柱 中，顶点 到对角线 和到平面 的距离分别为
和 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为
B．若侧棱的长小于底面的变长，则 的取值范围为
C．若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为D．若侧棱的长大于底面的变长，则 的取值范围为
【答案】C
解析：设底面边长为1，侧棱长为 ，过 作 。在
中 ， ， 由 三 角 形 面 积 关 系 得
设在正四棱柱中，由于
所以 平面 ，于是 ，所以 平面 ，故
为点到平面 的距离，在 中，又由三角形面积关系得
于是 ，于
是当 ，所以 ，所以
10．把函数 的图像 向右平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度后得
到图像 ．若对任意的 ，曲线 与 至多只有一个交点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解 析 ： 根 据 题 意 曲 线 C 的 解 析 式 为 则 方 程
， 即 ， 即对任意 恒成立，于是 的最大值，令
则 由此知
函数 在（0，2）上为增函数，在 上为减函数，所以当 时，函
数 取最大值，即为4，于是 。
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．
11．若 是小于9的正整数 ， 是奇数 ， 是3的倍数 ，
则 ．
【答案】
解析： ，则 所以 ，
所以
12．记 的反函数为 ，则方程 的解 ．
【答案】2
解法1：由 ，得 ，即 ，于是由 ，
解得
解法2：因为 ，所以
13．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答）．
【答案】72
解析：可分两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有 种，第二步将甲乙
二人插入前人形成的四个空隙中，有 种，则甲、乙两不相邻的排法有 种。14．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）
125 124 121 123 127
则该样本标准差 （克）（用数字作答）．
【答案】2
解析：因为样本平均数 ，则样本方差
所以
15．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若椭圆上存在
一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
解法1：因为在 中，由正弦定理得
则由已知，得 ，即
设点 由焦点半径公式，得
则
记得 由椭圆的几何性质知 ，
整理得 解得 ，
故椭圆的离心率
解法2 ：由解析1知 由椭圆的定义知，
由椭圆的几何性质知
所以 以下同解析1.
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）
设函数 的最小正周期为
（Ⅰ）求 的最小正周期．
（Ⅱ）若函数 的图像是由 的图像向右平移 个单位长度得到，求
的单调增区间．
解：（Ⅰ）
依题意得 ，故 的最小正周期为 .
（Ⅱ）依题意得:
由 解得
\
故 的单调增区间为:
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：
（Ⅰ）至少有1株成活的概率；
（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．
解: 设 表示第 株甲种大树成活, ; 设 表示第 株乙种大树成活,
则 独立,且
（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:
（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）
如题（18）图，在五面体 中， ∥ ， ，
，四边形 为平行四边形， 平面 ，
．求：
（Ⅰ）直线 到平面 的距离；
（Ⅱ）二面角 的平面角的正切值．
解法一:
（Ⅰ） 平面 , AB到面 的距离
等于点A到面 的距离，过点A作 于G，因 ∥ ，故
；又 平面 ，由三垂线定理可知， ，故 ，知
，所以AG为所求直线AB到面 的距离。在 中，
由 平 面 ， 得 AD ， 从 而 在 中 ，
。即直线 到平面 的距离为 。
（Ⅱ）由己知， 平面 ，得 AD，又由 ，知 ，故
平面ABFE
，所以， 为二面角 的平面角，记为 .
在 中, ,由 得, ,从
而
在 中, ,故
所以二面角 的平面角的正切值为 .
z
解法二:
（Ⅰ）如图以A点为坐标原点, 的
F
E
方向为 的正方向建立空间直角坐标系数,则
G
A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0)
设 可得 ,
x B A
由 .即 ,解得
C D
∥ ， y
面 ,所以直线AB到面 的距离等于点A到面 的距离。设A
点在平面 上的射影点为 ,则 因 且,而
,此即 解得 ①
知G点在 面上,故G点在FD上.
, 故有 ②
联立①,②解得,
为直线AB到面 的距离. 而 所以
（Ⅱ）因四边形 为平行四边形,则可设 , .
由
得 , 解 得 . 即 . 故
由 , 因 , ,故 为二面角
的 平 面 角 ， 又 , , , 所 以
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）
已知 为偶函数，曲线 过点 ， ．
（Ⅰ）求曲线 有斜率为0的切线，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）若当 时函数 取得极值，确定 的单调区间．解: （Ⅰ） 为偶函数,故 即有
解得
又曲线 过点 ,得 有
从而 , 曲线
有斜率为 0 的切线，故有 有实数解.即 有实数解.此时有
解得
所以实数 的取值范围:
（Ⅱ）因 时函数 取得极值,故有 即 ,解得
又 令 ,得
当 时, ,故 在 上为增函数
当 时, ,故 在 上为减函数
当 时, ,故 在 上为增函数
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）
已知以原点 为中心的双曲线的一条准线方程为 ，离
心率 ．
（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如题（20）图，点 的坐标为 ， 是圆上的点，点 在双曲线右支上，求 的最小值，并求此时 点
的坐标
解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在 轴上，故可设双曲线的方程为
，设 ，由准线方程为 得 ，由
得 解得 从而 ， 该双曲线的方程为 ；
（Ⅱ）设点D的坐标为 ，则点A、D为双曲线的焦点，
所以 ， 是圆 上
的 点 ， 其 圆 心 为 ， 半 径 为 1 ， 故 从 而
当 在线段CD上时取等号，此时 的最小值为
直线CD的方程为 ，因点M在双曲线右支上，故
由方程组 解得
所以 点的坐标为 ；
21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）
已知 ．（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）设 为数列 的前 项和，求证： ；
（Ⅲ）求证： ．
解：（Ⅰ） ，所以
（Ⅱ）由 得 即
所以当 时， 于是
所以
（Ⅲ）当 时，结论 成立
当 时，有
所以
