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高三数学试题 参考答案
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C B C D A B A BD ACD AD
三．填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13. 14.105
四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
【分析】（1）利用三角形的面积公式及余弦定理变形整理可得答案；
（2）先利用面积公式求 ，再利用余弦定理求 ，则面积可求.
解：（1）因为 ，
又 ，所以 ，-----------------（3分）
整理得 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ；--------------------------------（7分）
解：（2）由（1）得 ，得 ，-----------（10分）
所以 ，
所以 ，所以 的周长为 . --------------------------------（13分）
16.（本小题满分15分）
【分析】（1）根据题意先证 平面 ，进而可得 ，根据勾股定理可得 ，根
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学科网（北京）股份有限公司据线面垂直的判定定理分析证明；
（2）建系，分别求平面 、平面 的法向量，利用空间向量求二面角.
证明：（1）因为 底面 ， 底面 ，则 ，
由题意可知： ，且 平面 ，
所以 平面 ，且 平面 ，可得 ，
不妨设 ，由题意可得： ，
可知： ，即 ，
且 ， 平面 ，
所以直线 平面 .--------------------------------（7分）
解：（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，不妨设 ，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，可得 ，
可得 ，
设二面角 为 ，则 ，
所以二面角 的正弦值 .-----------------------------（15分）
17.（本小题满分15分）
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设 ，由题意可得 ，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第 次打靶的人是小明”为事件 ，“第 次打靶的人是小亮”为事件 ，
所以，
.--------------------------------（4分）
（2）设 ，依题可知， ，则
，
即 ，
构造等比数列 ，
设 ，解得 ，则 ，
又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
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学科网（北京）股份有限公司即 ．--------------------------------（10分）
（3）因为 ， ，
所以当 时， ，
故 ．--------------------------------（15分）
18.（本小题满分17分）
【分析】（1）根据已知条件求得 ，从而求得椭圆 的方程.
（2）利用点差法求得直线 的斜率，进而求得直线 的方程.
（3）联立直线 的方程和椭圆 的方程，化简写出根与系数关系，计算 ，以及AF与RQ斜
率不相等，从而判断出四边形ARQF为梯形.
解（1）由题得 ，
将 代入 得：
，
椭圆E的方程为 .--------------------------------（5分）
（2）设 ，则 ，
且 ，
两式相减得： ，可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司l方程为 ，即 .--------------------------------（11分）
（3）由 得：
，且 ，
，
∴ ，
又直线 的斜率存在，AF与RQ不平行，
∴四边形ARQF为梯形.--------------------------------（17分）
19.（本小题满分17分）
（1）首先求 ，利用导数分析函数的单调性，并结合“最接近”直线的定义，分情况分析证明；
（2）首先设函数 ，再令 ，利用导数判断函数的单调性
和最值，并结合并结合“最接近”直线的定义，分析证明.
解（1）由题意 ，
则当 时， ， 在区间 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 在区间 上单调递减，
又 ， ，
在区间 上的最大值为 ，
根据函数 的图象特点，可知对任意 ，均有
，
，
下面讨论 的大小：
①若 至少有一个大于等于1，则 ，
②若 两个都小于1，则 ，
因为 是直线，故对任意 ，均有 ， ，从而 ，
即
由①②可知， ，
当 时，
， ，此时等号成立.------------------------（8
分）
解（2）设 ，再令 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司令 ， ，
在区间 上单调递减，
而 ， ， 存在 ，使得 ，
即 ，
且 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
在区间 上的最大值为 ，
而 ， ，
则 在区间 上大于等于0，
由（1）问分析知，对定义在 上的函数 ，
若 满足 ，且 为 唯一的最大值点，
则对任意的 ， ， 时取等号，
又 ，
故当 时， 取得最小值 ，
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学科网（北京）股份有限公司在 上的“最接近”直线为 ，
即 ，
化简可得 ，其中 ，
且 是二次方程 的根.--------------------------------（17分）
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