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2024年高考全国甲卷数学（理）
一、单选题
1．设 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
2．集合 ，则∁ (A∩B)=（ ）
A
A． B． C． D．
3．若实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
5．已知双曲线 的上、下焦点分别为 ，点 在该双曲线上，则该
双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
6．设函数 ，则曲线 在 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 在区间 的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 ，则 （ ）A． B． C． D．
9．已知向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
10．设 是两个平面， 是两条直线，且 .下列四个命题：
①若 ，则 或 ②若 ，则
③若 ，且 ，则 ④若 与 和 所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
11．在 中内角 所对边分别为 ，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．已知b是 的等差中项，直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
二、填空题
13． 的展开式中，各项系数的最大值是 ．
14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为 和 ，母线长分别为 和 ，则两个圆台的体积之
比 ．
15．已知 ， ，则 ．
16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记 为前两
次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与 差的绝对值不超过 的概率是 ．
三、解答题
17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检
验，数据如下：
优级品 合格品 不合格品 总计
甲车间 26 24 0 50乙车间 70 28 2 100
总计 96 52 2 150
(1)填写如下列联表：
优级品 非优级品
甲车
间
乙车
间
能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲，乙两车间产品的优级
品率存在差异？
(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率 ，设 为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果
，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智
能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ）
附：
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．记 为数列 的前 项和，且 ．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 ．
19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，
， ， ， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
20．设椭圆 的右焦点为 ，点 在 上，且 轴．
(1)求 的方程；
(2)过点 的直线与 交于 两点， 为线段 的中点，直线 交直线 于点 ，证明： 轴．21．已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求 的取值范围．
22．在平面直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程
为 .
(1)写出 的直角坐标方程；
(2)设直线l： （ 为参数），若 与l相交于 两点，若 ，求 的值.
23．实数 满足 ．
(1)证明： ；
(2)证明： ．
