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2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
文科数学试题和答案（详细解析版）
本试题共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
1
参考公式：锥体的体积公式V = Sh，其中S为柱体的底面积，h为
3
柱体的高.
4
球的体积V = pR3，其中R为球的半径。
3
一组数据x ,x , ,x 的标准差
1 2 L n
1
s = [(x -x)2 +(x -x)2 + +(x -x)2]，
n 1 2 L n
其中x表示这组数据的平均数。
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出
的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3+4i =
1.设i为虚数单位，则复数
i
A. -4i-3i B. -4i+3i C. 4+3i D. 4-3i
2.设集合U={1.2.3.4.5.6}，M={1.3.5}，则ð M =
U
A.{2.4.6} B.{1.3.5} C.{1.2.4} D.U
uuur uuur uuur
3.若向量AB=(1,2)，BC =(3,4)，则AC =
A.（4.6） B.（-4,-6） C.（-2，-2） D.（2，2）
4.下列函数为偶函数的是
A.y =sinx B.y = x3 C.y =ex D.y =ln x2 +1
ìx+ y£1
ï
5.已知变量x，y满足约束条件íx- y£1.则z=x+2y的最小值为
ï
x+1³0
î
第1页 | 共6页A．3 B.1 C.-5 D.-6
6.在 ABC中，若ÐA=60°, ∠B=45°，BC=3 2 ，则AC=
V
3
A．4 3 B 2 3 C. 3 D
2
7．某几何的三视图如图1所示，它的体积
为
A．72π B 48π C.30π D.24π
8．在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y
-
5=0与圆x2+y2=4相交A、B两点，则弦A
B的长等于
A．3 3 B2 3 C 3 D 1
9．执行如图2所示的程序图，若输入n的值为6，则
输出s的值为
A．105 B．16 C．15 D．1
10．对任意两个非零的平面向量α和β，定义
ab
ab= g .
g
bb
g
若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角
æp pö ìn ü
qÎ ç , ÷ ，且a.b和b.a都在集合 í |nÎZý 中，则a.b
è 4 2ø î2 þ
=
5 3 1
A． B． C．1 D．
2 2 2
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20
第2页 | 共6页分。
（一）必做题（11~13题）
x+1
11.函数y = 的定义域为 .
x
1
12.若等比数列{a }满足a a = ,则aa2a = .
n 2 4 2 1 3 5
13.由正整数组成的一组数据x ,x ,x ,x ,其平均数和中位数都是2，且
1 2 3 4
标准差等于1，则这组数据为 .（从小到大排列）
（二）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲
ìn ìn ü
线C 和C 的参数方程分别为 í |nÎZ í |nÎZý （q为参数，
1 2 î2 î2 þ
ì 2
ïx=1- t
p ï 2
(0£q£ ) í （t为参数），则曲线C 和C 的交点坐标为
2 ï 2 1 2
y =- t
ï
î 2
.
15.（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB与圆O相切于点B,D
是玄AC上的点，ÐPBA=ÐDBA.若AD=m,AC=n,则AB= .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证
明过程和演算步骤.
16.（本小题满分12分）
第3页 | 共6页x p p
已知函数 f(x)= Acos( + ),xÎR，且f( )= 2.
4 6 3
（1）求A的值；
é pù 4 30 2 8
（2）设a,bÎ 0, , f(4a+ p)=- , f(4b- p)= 求cos(a+b)的值.
ê ú
ë 2û 3 17 3 5.
17.（本小题满分13分）
某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直
方图如图4所示，其中成绩分组区间是：
[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分.
（3）若这100名学生语文成绩某些份数段的人数（x）与数学成绩相
应分数段的人数（y）之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的
人数.
18（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，
AB^平面PAD,AB//CD,PD= AD,E是PB
1
的中点，F 是CD上的点，且DF = AB,
2
第4页 | 共6页PH 为DPAD中AD边上的高。
（1）证明：PH ^平面ABCD；
（2）若PH =1，AD= 2，FC =1，求三棱锥E-BCF 的体积；
（3）证明：EF ^平面PAB.
19. （本小题满分14分）
设数列a 前n项和为S ，数列S 前n项和为T ，满足T =2S -n2，
n n n n n n
nÎN*.
(1)求a 的值；
1
（2）求数列a 的通项公式.
n
20.（本小题满分14分）
x2 y2
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C : + =1（a>b>0）的左焦
1 a2 b2
点为F(-1,0),且点P(0,1)在C .
1 1
（1）求椭圆C 的方程；
1
（2）设直线l同时与椭圆C 和抛物线C :y2 =4x相切，求直线l的
1 2
方程.
21.（本小题满分14分）
设00},B={xÎR|2x2 -3(1+a)x+6a>0},
D= AÇB.
(1)求集合D(用区间表示)
(2)求函数 f(x)=2x3 -3(1+a)x2 +6ax在D内的极值点.
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