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双流中学高2024届高三10月月考
数学（理工类） 参考答案
1．C 2．A 3．C 4．D 5．D 6．D 7．C 8．B 9．B 10．C 11．D 12．A
13． （答案不唯一） 14． 15． 16． .
17．解：（1）若选①②：
因为函数 的一个零点为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
因为函数 图象上相邻两条对称轴的距离为 ，所以 ．
因为 ，所以 ，所以函数 的解析式为 ；
若选①③：
因为函数 的一个零点为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
因为函数 图象的一个最低点的坐标为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，因为 ，所以 ．
所以函数 的解析式为 ；
若选②③：
因为函数 图象上相邻两条对称轴的距离为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，因为函数 图象的一个最低点的坐标为 ，
所以 ，所以 ，
所以 即 ，
因为 ，所以 ，所以函数 的解析式为 ；
1
学科网（北京）股份有限公司（2）把 的图象向右平移 个单位得到 ，
再将 向上平移1个单位得到 ，
即 ，由 得 ，
因为 在区间 上的最大值为2，
所以 在区间 上的最大值为1，所以 ，所以 ，所以 的最小值为 .
18．解：（1）当 时， ，
所以 .令 ，得 或 ，
列表如下：
-2 -1 1
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
由于 ， ，所以函数 在区间 上的最大值为2.
（2） ，令 ，得 或 .
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，无极值.
当 时，列表如下：
+ 0 - 0 +
极大值 极小值
函数 的极大值为 ，极小值为 .
19．解：（1）由余弦定理得 .
∵ .∴
2
学科网（北京）股份有限公司由正弦定理得
∴ ∴ ，
∵ 是锐角三角形，∴ ， ，∴ .∴ ，∴ .
（2）由（1）得 设 ，则 ，
∵ 是锐角三角形，∴ ， ，∴
由正弦定理得
∵ ，∴
由 得 ，∴ ，∴
∵ ， ∴ 面积的取值范围是 .
20．（1）证明:如图所示，连接 ,
因为 为棱台，所以 四点共面，
又因为四边形 为菱形，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 且 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 .
（2）解：取 中点 ，连接 ，
因为底面 是菱形，且 ，所以 是正三角形，所以 ，即 ，
由于 平面 ，以 为原点，分别以 为 轴、 轴和 轴，建立如图所示的空间直
角坐标系，则
假设点 存在，设点 的坐标为 ，其中 ，可得 设平
面 的法向量 ，则 ，
3
学科网（北京）股份有限公司取 ，可得 ，所以 .
又由平面 的法向量为 ，
所以 ，解得
由于二面角 为锐角，则点 在线段 上，所以 ，即
故 上存在点 ，当 时，二面角 的余弦值为 .
21．解：（1）当 时， ， ，
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）设 ，由题意知当 时， ．
求导得 ．设 ，则 ，
令 ，则 ，当 当 故函数 在 单调递增，在
单调递减，所以 ；令 ，可得 ，故 在 单调递增
时， ．所以当 时， ．
故 在 上单调递增，当 时， ，且当 时， ．
若 ，则 ，函数 在 上单调递增，
因此 ， ，符合条件．
若 ，则存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，此时 ，不符合条件．
综上，实数 的取值范围是 ．
22．解：（1）由题可变形为 ，
4
学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，∴ ，∴ .
（2）由已知有 ， ，设 ， .
于是由 ，
由 得 ，于是 ，
∴四边形 最大值 .
23．解：（1）当 时，不等式 ．
①当 时， ，解得 ，则 ；
②当 时， ，则 ；
③当 时， ，解得 ，则 ．
综上所述，原不等式的解集为 ．
（2）因为 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 ， ，又 ，所以
，
当且仅当 ，即 ，又 ，则 ， 时等号成立，所以
的最小值为4．
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