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数学试卷
一、单选题
1. 已知集合 ， ，则 =
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定出集合 ，再进行集合的交集运算即可得到答案
【详解】由 可得：
解得 ，即
，
则
故选
【点睛】本题主要考查了对数不等式的解法，集合的交集运算，意在考查学生的运算求解能力，属于基础
题．
2. 命题“ ， ”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】利用存在量词命题的否定是全称量词命题，写出结果即可．
【详解】命题“ ”否定是“ ”．
故选：B．
3. 已知集合 ， ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合 ，再由并集的概念即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 .
故选：B．
4. 已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】按集合M是是空集和不是空集求出a的范围，再求其并集而得解.
【详解】因 ，而 ，
所以 时，即 ，则 ，此时
时， ，则 ，无解，
综上得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C
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学科网（北京）股份有限公司5. 全集 ， ， ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
判断Venn图表示集合 ，再利用集合运算即得结果.
【详解】由题意可知，阴影部分用集合表示为 ， 而 ，故 ，
， .
故选：C.
【点睛】本题考查了集合的补集和交集运算，考查了Venn图，属于基础题.
6. 已知各项均为正数的等比数列 ， ， ， 成等差数列，若 中存在两项 ， ，使得
为其等比中项，则 的最小值为（ ）
A. 4 B. 9 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据 ， ， 成等差数列，可得 ，即可求得q值，根据 为 ， 的等
比中项，可求得 ，利用基本不等式“1”的活用，即可求得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
又 为各项均为正数的等比数列，设首项为 ，公比为q，
所以 ，所以 ，
解得 或 （舍），
又 为 ， 的等比中项，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故选：D
【点睛】解题的关键是熟练掌握等差中项、等比中项、基本不等式等知识，并灵活应用，数列中应用基本
不等式时，应注意取等条件，即角标m，n必须为正整数，属中档题.
7. 若 ，使得 成立，则实数 取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得 ，使得 成立，令 ，分类讨论 ，
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学科网（北京）股份有限公司和 ，求得 的最值即可得出答案.
【详解】若 ，使得 成立，
则 ，即 ，
当 时， 成立，
当 时，令 ， 在 上单调递增，
即 ，则 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
当 时，令 ， 在 上单调递减，
即 ，则 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
综上：实数 取值范围是 .
故选：B.
8. 已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
的
【分析】对数函数 单调性可比较a、b，再根据基本不等式及换底公式比较b与c的大小关系，由此可得
出结论.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 ，所
以 .
.
故选：A
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
9. 设 为平面， 为直线，则 的一个充分条件是
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分条件的定义结合线面垂直的判定分析判断即可
【详解】对于A，当 时，不能得出 ，因为缺少 ，所以A错误，
对于B，当 时， 可与 相交，但不一定垂直，所以B错误，
对于C，当 时， 可能在 内，或 可能平行 ，所以C错误，
对于D，当 时， ∥ ，因为 ，所以 ，所以D正确，
故选：D
10. 若不等式 对任意实数x均成立，则实数m的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简已知不等式，对 进行分类讨论，结合一元二次不等式的知识求得 的取值范围.
【详解】依题意，不等式 对任意实数x均成立，
即不等式 恒成立，
当 时，不等式可化为 恒成立，
当 时，
，解得 ，
综上所述， 的取值范围是 .
故选：B
二、多选题
11. 若 ，下列不等式正确的是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】AC
【解析】
【分析】通过基本不等关系判断AB，通过函数单调性判断CD即可.
【详解】对于A，若 ，则 ，故A正确
对于B，若 ，则 ，即 ，故B错误；
对于C，函数 在 时，单调递增，又 ，故 ，即 ，故
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学科网（北京）股份有限公司C正确；
对于D，函数 ，单调递增，又 ，故 ，则 ，即 ，
故D错误；
故选：AC
12. 已知全集 ，集合 ， ，则（ ）
A. 的子集有 个 B. C. D. 中的元素个数为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据已知条件求出集合 ，利用子集的定义及集合的并集，结合补集的定义即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 中的元素个数为 ，所以 的子集有 个，故A正确；
由 ， ，得 ，所以 ，故B不正确；
由 ， ，所以 ，所以 ， 故C正确；
由 ，得 中的元素个数为 ，故D正确.
故选：ACD.
13. 已知 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判
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学科网（北京）股份有限公司断.
【详解】因为 ，且 ，对A， ，所以 ，故A正确；对B，取
，所以 ，故B错误；对C，
，当且仅当 取等号，又因为 ，当且仅当 取等号，
所以 ，当且仅当 取等号，因为 ，所以不能取等号，故C
正确；对D，当 ， ，所以 ；当 ，
，所以 ，当且仅当 取等号，
因为 ，所以不能取等号，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定
——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
14. 下列说法正确的是（ ）
A. “ ， ”的否定形式是“ ， ”
B. “ ”的一个充分不必要条件是“ ”
C. 两个非零向量 ， ，“ ，且 ”是“ ”的充分不必要条件
D. ，
【答案】BD
【解析】
【分析】利用全称命题的否定变换形式可判断A；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C；利用全
称量词的真假判断方法可判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】A，“ ， ”的否定形式是“ ， ”，错误；
B，当“ ” 时，可得“ ”；
反之，“ ”，则 或 ，
所以“ ” 的一个充分不必要条件是“ ”，正确；
C，“ ，且 ”，可得“ 或 ”，
反之，“ ”，则“ ，且 ”，
所以“ ，且 ”是“ ”的必要不充分条件，错误；
D， ， ，正确.
故选：BD
15. 已知 ， ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
分析】根据公式 即可判断选项 正确，选项B，C错误；根据不等式 可
【
判断选项D正确.
【详解】因为 ，当且仅当 时等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，当且仅当 时等号成立，
即 ，所以 ，故选项 正确，选项B,C错误；
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，即 ，当且仅当 时等号成立，因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故选项D正确.
故选：AD.
三、填空题
16. 若集合 与 满足 ，则实数 ______．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】根据集合间的运算结果分情况讨论 的值.
【详解】由 可得 ，
当 时， ，若 ，集合A不成立；若 ， ，成立；
当 时， ，若 ， ；
若 ， ，均成立；
当 时， 或 ，若 ， 成立；
若 ，集合A不成立；
故答案为： 或 或 .
17. 不等式 的解集是__________．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】化为整式不等式求解.
【详解】不等式 等价于 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为：
18. 已知p： ，q： ，且¬q是¬p的必要而不充分条件，则a的取值范围为
__________.
【答案】[-1，6]
【解析】
【分析】
分别解出命题p，q，将题干条件等价为q是p的充分不必要条件，即可求出答案.
【详解】命题p： ，解得 ，
命题q： ，解得 ，
¬q是¬p的必要而不充分条件等价于q是p的充分不必要条件，
所以 ，解得 ，
故答案为[-1，6]
19. 已知函数 在区间 上有最小值4，则实数k＝_____．
【答案】4
【解析】
【分析】由函数在 上有最小值可知，k＞0，再由基本不等式即可求得k的值．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：依题意， ，则 ，当且仅当 时，等号成立
则 ，解得 ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查已知函数的最值求参数的值，考查分析能力及计算能力，属于基础题．
20. 已知 ，且 ，若 恒成立，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据 对 进行变形，根据基本不等式可得最小值为 4，再根据恒成立解一
元二次不等式，即可得实数 的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
同理可得 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，
因为 恒成立，所以 ，即 ，解得 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司
