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2023-2024 学年春学期期初学情调研试卷参考答案
1．B [试题解析]M ={x|−2< x<2}，N ={0,1,2,3}，M N = {0 ， 1}故选：B
2．D [试题解析]因为 ， ， ，为共面向量，所以不能构成基底，故A错误；
因为 ， ， 𝑎𝑎⃑ 𝑝𝑝⃑ =，𝑎𝑎为⃑+共𝑏𝑏�⃑面向𝑞𝑞⃑量=，𝑎𝑎⃑−所𝑏𝑏�以⃑ 不能构成基底，故B错误；
因为𝑏𝑏�⃑ 𝑝𝑝⃑ =，𝑎𝑎⃑+𝑏𝑏�⃑ 𝑞𝑞⃑ =，𝑎𝑎⃑−𝑏𝑏�⃑ ，为共面向量，所以不能构成基底，故C错误；
因为𝑎𝑎⃑+2𝑏𝑏�⃑，𝑝𝑝⃑ =𝑎𝑎⃑+𝑏𝑏�⃑，𝑞𝑞⃑ =𝑎𝑎⃑−𝑏𝑏�⃑，为不共面向量，所以能构成基底，故D正确；故选：D
3．D 𝑎𝑎⃑ + [2试𝑐𝑐⃑题解𝑝𝑝⃑ =析𝑎𝑎]⃑+𝑏𝑏�⃑ 𝑞𝑞⃑，=𝑎𝑎⃑−𝑏𝑏�⃑ ，即 ，解得 或
. ∵𝑙𝑙1 ⊥𝑙𝑙2 ∴𝑎𝑎(𝑎𝑎−1)+(1−𝑎𝑎)×(2𝑎𝑎+3)=0 (𝑎𝑎−1)(𝑎𝑎+3)=0 𝑎𝑎 =1 𝑎𝑎 =
−故3选：D．
4．B [试题解析]奇数项共有 项，其和为 ，∴
𝑎𝑎1+𝑎𝑎2𝑛𝑛+1 2𝑎𝑎𝑛𝑛+1
(𝑛𝑛+1) 2 ⋅(𝑛𝑛+1)= 2 ⋅(𝑛𝑛+1)=290 (𝑛𝑛+1)𝑎𝑎𝑛𝑛+1 =
．偶数项共有n项，其和为 ，∴ ．故选：B．
𝑎𝑎2+𝑎𝑎2𝑛𝑛 2𝑎𝑎𝑛𝑛+1
290 2 ⋅𝑛𝑛 = 2 ⋅𝑛𝑛 =𝑛𝑛𝑎𝑎𝑛𝑛+1 =261 𝑎𝑎𝑛𝑛+1 =290−261=29
5．C [试题解析]依题意可得圆锥的体积 ，又 （其中h为
2√3𝜋𝜋 2 4𝜋𝜋 3 1 2 3
圆锥的高），则 cm，则圆锥的母线长为𝑉𝑉 =1×� 3 � =cm3，𝑐𝑐𝑚𝑚故圆锥 𝑉𝑉 的 = 侧3面 𝜋𝜋 积 × 为 1 ×ℎ(𝑐𝑐𝑚𝑚 ) ．故选：A．
2 2 3
6．B [试题解ℎ析=]因4 为A在B的前面出场，√且1 A+，4B=都不√1在7 3号位置，则情况如下：√1①7𝜋𝜋A𝑐𝑐在𝑚𝑚1号位置，B
有2,4,5号三种选择，有3A3＝18种出场次序；②A在2号位置，B有4,5号两种选择，有2A3＝12种出场
3 3
次序；③A在4号位置，B有5号一种选择，有A3＝6种出场次序，故不同的出场次序共有18＋12＋6＝
3
36种．故选B.
7．A [试题解析]解：由题意，作图如下：
设圆 与 轴、 、 分别切于点 、 、 ，
因为𝐼𝐼双曲𝑥𝑥线 的𝑃𝑃𝐹𝐹右2顶𝑃𝑃点𝐹𝐹为1 ， 𝐸𝐸 𝐻𝐻 ，𝐹𝐹 ，
所以 𝐶𝐶 𝐴𝐴(3,0) 𝐹𝐹1(−5,0)， 𝐹𝐹2(5,0)
因为|𝐴𝐴𝐹𝐹1|−|𝐴𝐴𝐹𝐹2|=(3，+ 5)−(5−3)=6
所以|𝑃𝑃𝐹𝐹1|−|𝑃𝑃𝐹𝐹2|=6
|𝑃𝑃𝐹𝐹1|−|𝑃𝑃𝐹𝐹2|=(|𝑃𝑃𝐹𝐹|+|𝐹𝐹𝐹𝐹1|)−，( |𝑃𝑃𝐻𝐻|+|𝐻𝐻𝐹𝐹2|)
因=此|𝐹𝐹𝐹𝐹切1|点−|与𝐻𝐻𝐹𝐹2重|=合|．𝐹𝐹1又𝐸𝐸|因−为|𝐸𝐸内𝐹𝐹2切|=圆6的半径为 ，
𝐸𝐸 𝐴𝐴 𝐼𝐼 1 1 / 8所以 ，
又
𝐼𝐼(3,1)
， ，
65+5−100 3
𝐹𝐹1(−5,0) 𝐹𝐹2(5,0) |𝐼𝐼𝐹𝐹1|=√ 65,|𝐼𝐼𝐹𝐹2|=√ 5,cos∠𝐹𝐹1𝐼𝐼𝐹𝐹2 = 2√ 65×√ 5 =−√ 13,
所以 解得
2 ∠𝐹𝐹1𝑃𝑃𝐹𝐹2 3
tan∠𝐹𝐹1𝐼𝐼𝐹𝐹2 =−3, tan 2 =2,
所以 ，
2
𝑏𝑏 32
所以 𝑆𝑆△𝐹𝐹1𝑃𝑃𝐹𝐹2 = 面t积an ∠ 为 𝐹𝐹1 2 𝑃𝑃𝐹𝐹 ． 2 = 3
32
△𝑃𝑃𝐹𝐹1𝐹𝐹2
3
8．C [ 试 题 解 析 ] 解 ： 在 同 一 坐 标 系 中 作 ， 的 图 象 ，
1
𝑦𝑦 =𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 =2
若由图象观察可知， ，
当 时， 0<𝑥𝑥1 <1<𝑥𝑥2 <2<𝑥𝑥3 <3<𝑥𝑥4 <4
1
由𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑥𝑥))=，2 存在 个不同根，
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=，𝑥𝑥1 0<𝑥𝑥1 <存1在 个4不根，
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥2，1<𝑥𝑥2 <2存在2个不根，
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥3，2<𝑥𝑥3 <3，存2在 个不根，
综𝑓𝑓(上𝑥𝑥)=𝑥𝑥4 3<𝑥𝑥的 4 实<根4个数为2 ．
1
𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑥𝑥))=2 10
9．ACD [试题解析]A：由 ，根据等比的性质有 ，正确；
𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 𝑏𝑏 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐
sin𝐴𝐴=sin𝐵𝐵 =sin𝐶𝐶 sin𝐵𝐵=sin𝐴𝐴+sin𝐵𝐵+sin𝐶𝐶
B：当 时，有 ，错误；
𝜋𝜋 𝜋𝜋
C： 𝐴𝐴 = 3,𝐵𝐵 = 6 sin2𝐴𝐴=sin2，𝐵𝐵而 ，即 ，由正弦定理易
得 sin𝐵𝐵cos𝐶𝐶+sin𝐶𝐶co，s𝐵𝐵正=确s；in (𝐵𝐵+𝐶𝐶) 𝐵𝐵+𝐶𝐶 =𝜋𝜋−𝐴𝐴 sin𝐵𝐵cos𝐶𝐶+sin𝐶𝐶cos𝐵𝐵 =sin𝐴𝐴
D：𝑎𝑎如=图𝑏𝑏c，os𝐶𝐶+𝑐𝑐cos𝐵𝐵 是单位向量，则 ，即 、 ，
𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗ 𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗ 𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗ 𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗ 1
𝐴𝐴����𝐸𝐸�⃗ =|𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗|,𝐴𝐴����𝐹𝐹�⃗ =|𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗| |𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗|+|𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗| =𝐴𝐴����𝐸𝐸�⃗+𝐴𝐴����𝐹𝐹�⃗ =𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ 𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗⋅𝐵𝐵����𝐶𝐶�⃗ =0 𝐴𝐴����𝐸𝐸�⃗⋅𝐴𝐴����𝐹𝐹�⃗ =2
则 且 平分 ， 的夹角为 ， 易知 为等边三角形，正确.故选：ACD
𝜋𝜋
𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ ⊥𝐵𝐵����𝐶𝐶�⃗ 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∠𝐵𝐵𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐴𝐴����𝐸𝐸�⃗,𝐴𝐴����𝐹𝐹�⃗ 3 △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 1 1
10．ABC [试题解析]令x= y =0，可得 f(0)=2f(0)f(a)，因为 f(0)= ，所以 f(a)= .A正确.
2 2
1 1
令 y=0，可得 f(x)= f(x)f(a)+ f(0)f(a−x)，代入 f(a)= ， f(0)= ，可得 f(a−x)= f(x).
2 2
2 / 81 1
同 理， 令 x=0 ， 可得 f(y)= f(0)f(a− y)+ f(y)f(a) ， 代入 f(a)= ， f(0)= ， 可得
2 2
f(a− y)= f(y).
即原等式变形为 f(x+ y)=2f(x)f(y)，C正确.
令 y = x可得 f(2x)=2[f(x)]2 0，即函数取值非负.
1 1
令 y =a−x可得 f(a)=2[f(x)]2，即[f(x)]2 = ，解得 f(x)= ，B正确.
4 2
1
因此仅有一个函数关系式 f(x)= 满足条件，故D错误.故选ABC
2
11．CD [试题解析【详解】A：由题意知，AD //BC ，BC ⊂平面BCCB，AD ⊄平面BCCB
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以AD //平面BCCB，又EF⊂平面BCCB，所以AD 与EF不相交，故A错误；
1 1 1 1 1 1 1 1
B：连接AD、DF、AF、AE、CB ，如图，
1 1 1
当点E为BC的中点时，EF//CB ，又AD ⊥CB ，所以EF ⊥ AD ，
1 1 1 1
若点E在平面ADF的射影为F，则EF ⊥平面ADF，垂足为F，
1 1
所以EF ⊥ AF，设正方体的棱长为2，则AE= AF = 5，EF = 2，
在AEF中，AF2+EF2 ≠ AE2，所以∠AFE≠90°，
即EF ⊥ AF不成立，故B错误；
C：建立如图空间直角坐标系D−xyz，连接BC ，则AD //BC ，
1 1 1
所以异面直线EF与AD 所成角为直线EF与BC 所成角，
1 1
设正方体的棱长为2，若存在点E(a,2,0)(0≤a≤2)使得EF与BC 所成角为30°，
1
则B(2,2,0)，F(2,2,1)，C (0,2,2)，所以EF =(2−a,0,1)，BC =(−2,0,2)，
1 1
所以EF⋅BC =2a−2，又 EF⋅BC = EF BC cos30°，
1 1 1
3
得 2a−2 =2 2× (2−a)2+1× ，解得a=4± 3，
2
符合题意，故不存在点E使得EF与AD 所成角为30°，故C错误；
1
D：如图，由等体积法可知V =V ，
E−ADF F−ADE
1 1 1
又V = S ⋅BF = × ×AD×AB×BF，AD、AB、BF为定值，所以V 为定值，所以三棱锥
F−ADE 3 ADE 3 2 F−ADE
E−ADF的体积为定值，故D正确.故选：CD.
3 / 812． [试题解析]因为 ， ， ,又因为 ，
4√2 π 1 π π 5π π 1 5π 1
− 9 sin�𝛼𝛼−6�=3 𝛼𝛼 ∈(0,π) 𝛼𝛼−6∈�−6, 6� sin�𝛼𝛼−6�=30，
2 2
b2+c2−a2 1 π
b2+c2−a2 =bc，由余弦定理得cosA= = ，所以A= .
2bc 2 3
π
（2）由（1）知，A= ，b2+c2−a2 =bc，而a=4，于是16=b2+c2−bc，
3
即16≥2bc−bc=bc，当且仅当b=c=4时取等，
1 π 3
因此ABC的面积S = bcsin = bc≤4 3，
2 3 4
所以当b=c=4时，ABC面积取得最大值4 3.
16．解： 由题意， ，
为等差数列，设公差为 ，
(1) 𝑎𝑎𝑛𝑛+2−𝑎𝑎𝑛𝑛+1 =𝑎𝑎𝑛𝑛+1−𝑎𝑎𝑛𝑛
由题意得 ，
∴{𝑎𝑎𝑛𝑛} 𝑑𝑑
．
2=8+3𝑑𝑑 ⇒𝑑𝑑 =−2
若 ，则 ，
∴𝑎𝑎𝑛𝑛 =8−2(𝑛𝑛−1)=10−2𝑛𝑛
当 时，
(2) 10−2𝑛𝑛≥0 𝑛𝑛 ≤5
𝑛𝑛 ≤5
𝑆𝑆𝑛𝑛 =|𝑎𝑎1|+|𝑎𝑎2|+⋯+|𝑎𝑎𝑛𝑛| ，
8+10−2𝑛𝑛 2
=𝑎𝑎1+时𝑎𝑎，2+⋯+𝑎𝑎𝑛𝑛 = 2 ×𝑛𝑛 =9𝑛𝑛−𝑛𝑛
𝑛𝑛 ≥6 𝑆𝑆𝑛𝑛 =𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+⋯+𝑎𝑎5−𝑎𝑎6−𝑎𝑎7…−𝑎𝑎𝑛𝑛
=(𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+⋯+𝑎𝑎5)−[(𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+⋯+𝑎𝑎𝑛𝑛)− (𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+⋯+𝑎𝑎5)]
8+10−2𝑛𝑛
=2×(8+6+4，+ 2+0)− ×𝑛𝑛
2
2
=故𝑛𝑛 −9𝑛𝑛+40 ．
2
9𝑛𝑛−𝑛𝑛 ,𝑛𝑛 ≤5
𝑆𝑆𝑛𝑛 =� 2
𝑛𝑛 −9𝑛𝑛+40,𝑛𝑛 ≥6 ，
1 1 1 1 1
(3)∵𝑏𝑏𝑛𝑛 =𝑛𝑛(12−𝑎𝑎𝑛𝑛)=2𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)=2(𝑛𝑛−𝑛𝑛+1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 𝑛𝑛
∴𝑇𝑇𝑛𝑛 = [(1− )+( − )+( − )+⋯+( − )+( − )]=
若 2 对任意2 2 成3立，即3 4 对任意𝑛𝑛−1 成𝑛𝑛 立，𝑛𝑛 𝑛𝑛+1 2(𝑛𝑛+1)
𝑚𝑚 ∗ 𝑛𝑛 𝑚𝑚 ∗
𝑇𝑇𝑛𝑛 >32 𝑛𝑛 ∈𝑃𝑃 𝑛𝑛+1>16 𝑛𝑛 ∈𝑃𝑃
的最小值是 ，
𝑛𝑛 ∗ 1
∵𝑛𝑛+1(𝑛𝑛∈𝑃𝑃 )
2
， 的最大整数值是 ．
𝑚𝑚 1
∴16<2 ∴𝑚𝑚 7
即存在最大整数 ，使对任意 ，均有 ．
∗ 𝑚𝑚
17．（15分）解：
𝑚𝑚
依
=
题
7
意，以 为原
𝑛𝑛
点
∈
，
𝑃𝑃
分别以
𝑇𝑇𝑛𝑛
、
>32、
的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直
角坐标系（如图），可得 𝐶𝐶 、 、 𝐶𝐶����𝐴𝐴�⃗ 、𝐶𝐶����𝐵𝐵�⃗ 𝐶𝐶����𝐶𝐶���1⃗ 、 𝑥𝑥 、 𝑦𝑦 𝑧𝑧 、 、 、
. 𝐶𝐶(0,0,0) 𝐴𝐴(2,0,0) 𝐵𝐵(0,2,0) 𝐶𝐶1(0,0,3) 𝐴𝐴1(2,0,3) 𝐵𝐵1(0,2,3) 𝐷𝐷(2,0,1) 𝐸𝐸(0,0,2)
（𝑀𝑀(Ⅰ1）,1依,3题) 意， ， ，
𝐶𝐶���1���𝑀𝑀��⃗ =(1,1,0) 𝐵𝐵����1��𝐷𝐷�⃗ =(2,−2,−2)
5 / 8从而 ，所以 ；
（Ⅱ）𝐶𝐶���1�依��𝑀𝑀��⃗题⋅𝐵𝐵�意���1��𝐷𝐷，�⃗ =2−2+0=是0平面 𝐶𝐶1的𝑀𝑀一⊥个𝐵𝐵1法𝐷𝐷向量，
，𝐶𝐶����𝐴𝐴�⃗=(2,0,0) ． 𝐵𝐵𝐵𝐵1𝐸𝐸
𝐸𝐸设����𝐵𝐵���1⃗=(0,2,1)为𝐸𝐸��平��𝐷𝐷�⃗面=(2,0,的−1法)向量，
则𝑛𝑛�⃗=(𝑥𝑥,𝑦𝑦,𝑧𝑧)，即 𝐷𝐷𝐵𝐵1𝐸𝐸 ，
𝑛𝑛�⃗⋅𝐸𝐸����𝐵𝐵���1⃗=0 2𝑦𝑦+𝑧𝑧 =0
不{妨
𝑛𝑛�⃗
设
⋅𝐸𝐸����𝐷𝐷�⃗ =
，
0
可得{
2𝑥𝑥−𝑧𝑧 =0
．
𝑥𝑥 =1 𝑛𝑛�⃗=(1,−1,2) ，
𝐶𝐶����𝐴𝐴�⃗⋅𝑛𝑛�⃗ 2 √6
cos<𝐶𝐶����𝐴𝐴�⃗,𝑛𝑛�⃗>=|𝐶𝐶����𝐴𝐴�⃗|⋅|𝑛𝑛�⃗|=2×√6= 6
．
2
√30
∴sin<𝐶𝐶����𝐴𝐴�⃗,𝑛𝑛�⃗>=�1−cos <𝐶𝐶����𝐴𝐴�⃗,𝑛𝑛�⃗>= 6
所以，二面角 的正弦值为 ；
√30
（Ⅲ）依题意，𝐵𝐵−𝐵𝐵1𝐸𝐸−𝐷𝐷
． 6
由（Ⅱ）知
𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗=(−为2,平2,0面)
的一个法向量，于是 ．
𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗⋅𝑛𝑛�⃗ −4 √3
𝑛𝑛�⃗=(1,−1,2) 𝐷𝐷𝐵𝐵1𝐸𝐸 cos<𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗,𝑛𝑛�⃗>=|𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗|⋅|𝑛𝑛�⃗|=2√2×√6=− 3
所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
√3
18．（17分）𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐷𝐷𝐵𝐵1𝐸𝐸 3
解： 由题意得 ， ，所以 ，
� 𝑎𝑎 2 −1 � 𝑎𝑎 2 +1 � 𝑎𝑎 4 −1 √ 15
又 (1)，解得 𝑒𝑒1 =， 𝑎𝑎 𝑒𝑒2 = 𝑎𝑎 𝑒𝑒1𝑒𝑒2 = 𝑎𝑎 2 = 4
2
𝑎𝑎 >0 𝑎𝑎 =4
故双曲线 的渐近线方程为 ；
1
(𝑖𝑖) 𝐶𝐶2 𝑦𝑦=±2𝑥𝑥
设直线 的方程为 ，
(𝑖𝑖𝑖𝑖) 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑥𝑥 =𝑡𝑡𝑦𝑦+4
则 消元得： ， 且 ，
𝑥𝑥 =𝑡𝑡𝑦𝑦+4,
2 2 2
�𝑥𝑥 2 (𝑡𝑡 −4)𝑦𝑦 +8𝑡𝑡𝑦𝑦+12=0 𝛥𝛥 >0 𝑡𝑡 ≠±2
4 −𝑦𝑦 =1,
所以
−8𝑡𝑡
𝑦𝑦1+𝑦𝑦2 = 2 ,
𝑡𝑡 −4
� 12
故 𝑦𝑦1𝑦𝑦2 = 𝑡𝑡 2 −4 , ，
1 1 𝑦𝑦1+𝑦𝑦2 2𝑡𝑡
𝑦𝑦1 +𝑦𝑦2 = 𝑦𝑦1𝑦𝑦2 =− 3
6 / 8又直线 的方程为 ，
𝑦𝑦1
𝐴𝐴𝐴𝐴1 𝑦𝑦 =𝑥𝑥1+2(𝑥𝑥+2)
所以 ，同理 ，
3𝑦𝑦1 3𝑦𝑦2
𝑦𝑦3 =𝑥𝑥1+2 𝑦𝑦4 =𝑥𝑥2+2
所以
1 1 1 𝑥𝑥1+2 𝑥𝑥2+2 1 𝑡𝑡𝑦𝑦1+6 𝑡𝑡𝑦𝑦2+6
𝑦𝑦3 +𝑦𝑦4 =3( 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 )=3( 𝑦𝑦1 + 𝑦𝑦2 )
，
2𝑡𝑡𝑦𝑦1𝑦𝑦2+6(𝑦𝑦1+𝑦𝑦2) 2 2(𝑦𝑦1+𝑦𝑦2) 2 1 1 2 4 2
= 3𝑦𝑦1𝑦𝑦2 =3𝑡𝑡+ 𝑦𝑦1𝑦𝑦2 =3𝑡𝑡+2(𝑦𝑦1 +𝑦𝑦2 )=3𝑡𝑡−3𝑡𝑡 =−3𝑡𝑡
故 ．
1 1 1 1
𝑦𝑦设1 + 两𝑦𝑦个2 = 切𝑦𝑦点3 + 为𝑦𝑦4 ， ，由题意知 ， 斜率存在，
直(2)线 方程为 𝑃𝑃1(𝑥𝑥5,𝑦𝑦5) 𝑃𝑃2(𝑥𝑥6,𝑦𝑦6)， 𝑃𝑃𝑃𝑃1 𝑃𝑃𝑃𝑃2
𝑃𝑃𝑃𝑃1 𝑙𝑙1:𝑦𝑦=𝑘𝑘1(𝑥𝑥−𝑥𝑥5)+𝑦𝑦5
联立
2
𝑥𝑥 2
𝑎𝑎 2+𝑦𝑦 =1,
�
由
𝑦𝑦=得𝑘𝑘1(𝑥𝑥−𝑥𝑥5)+，𝑦𝑦所 5,以
，
𝑥𝑥5 𝑥𝑥5𝑥𝑥
𝛥𝛥=0 𝑘𝑘1 =−𝑎𝑎 2 𝑦𝑦5 𝑙𝑙1: 𝑎𝑎 2 +𝑦𝑦5𝑦𝑦 =1
同理直线 方程为 ，
𝑥𝑥6𝑥𝑥
𝑃𝑃𝑃𝑃2 𝑙𝑙2: 𝑎𝑎 2 +𝑦𝑦6𝑦𝑦 =1
由 ， 过 点可得 可得直线 的方程为 ，
𝑥𝑥5𝑥𝑥0
𝑎𝑎 2 +𝑦𝑦5𝑦𝑦0 =1, 𝑥𝑥0𝑥𝑥
𝑙𝑙1 𝑙𝑙2 𝑃𝑃 �𝑥𝑥6𝑥𝑥0 𝑃𝑃1𝑃𝑃2 𝑎𝑎 2 +𝑦𝑦0𝑦𝑦 =1
𝑎𝑎 2 +𝑦𝑦6𝑦𝑦0 =1
不妨设，直线 与双曲线两渐近线 交于两点 ，
2
1 𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝑃𝑃1𝑃𝑃2 𝑦𝑦 =±𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑃𝑃1′(𝑥𝑥0+𝑎𝑎𝑦𝑦0 ,𝑥𝑥0+𝑎𝑎𝑦𝑦0 )
，
2
𝑎𝑎 −𝑎𝑎
则
𝑃𝑃2′
围
(𝑥𝑥成0−三𝑎𝑎𝑦𝑦0角 ,𝑥𝑥形0−的𝑎𝑎𝑦𝑦面0 )
积
2 2 3
1 𝑎𝑎 −𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝑆𝑆 = | ⋅ − ⋅ |=| 2 2 2|.
2 𝑥𝑥0+𝑎𝑎𝑦𝑦0 𝑥𝑥0−𝑎𝑎𝑦𝑦0 𝑥𝑥0+𝑎𝑎𝑦𝑦0 𝑥𝑥0−𝑎𝑎𝑦𝑦0 𝑥𝑥0−𝑎𝑎 𝑦𝑦0
因 在双曲线 上， ，则 为定值．
3
2 2 2 2 𝑎𝑎
19．𝑃𝑃（17分）𝐶𝐶 2 𝑥𝑥0 −𝑎𝑎 𝑦𝑦0 =𝑎𝑎 𝑆𝑆 =𝑎𝑎 2 =𝑎𝑎
解： 是 数表，
1 2 3
(1)𝐴𝐴3 =�2 3 1� 𝛤𝛤3
3 1 2
𝑑𝑑(𝑎𝑎由1,1题,𝑎𝑎可2,2知)+ 𝑑𝑑(𝑎𝑎2,2,𝑎𝑎3,3)=2+3=5. ．
(当2) 𝑑𝑑时(𝑎𝑎，𝑖𝑖,𝑗𝑗有,𝑎𝑎 𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1)=|𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗−𝑎𝑎𝑖𝑖+1,𝑗𝑗|+|𝑎𝑎𝑖𝑖+1,𝑗𝑗−𝑎𝑎𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1|=1 ，(𝑖𝑖 =1,2,3;𝑗𝑗 =1,2,3)
所以𝑎𝑎𝑖𝑖 +1,𝑗𝑗 =1 𝑑𝑑( 𝑎𝑎．𝑖𝑖,𝑗𝑗 ,𝑎𝑎𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1)=|𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗 −1|+|𝑎𝑎𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1−1|=1
当 𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗+𝑎𝑎𝑖𝑖 +时1,，𝑗𝑗+1有= 3 ，
𝑎𝑎𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 =2 𝑑𝑑(𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗,𝑎𝑎𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1)=|𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗 −2|+|𝑎𝑎𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1−2|=1
7 / 8所以 ．
所以 𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗+𝑎𝑎𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1 =3
所以 𝑎𝑎𝑖𝑖,𝑗𝑗+𝑎𝑎𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1 =3(𝑖𝑖 =1,2,3;𝑗𝑗 =1,2,3 ).
𝑎𝑎1,1+𝑎𝑎2,2+𝑎𝑎3,3+𝑎𝑎4,4 = 或3者+ 3=6,𝑎𝑎1,3+𝑎𝑎2,4 =3,𝑎𝑎3,1+𝑎𝑎 ，4,2 =3.
𝑎𝑎1,2+𝑎𝑎2,3+𝑎𝑎3,4 =3+1=4 或者 𝑎𝑎1,2+𝑎𝑎2,3+𝑎𝑎3,4 =3+2=5 ，
𝑎𝑎2,1+𝑎𝑎3 或,2+ 𝑎𝑎4,3 = 3，+ 1=4 或 𝑎𝑎2,1+𝑎𝑎 3，,2 +𝑎𝑎4,3 =3+2=5
𝑎𝑎故1,各4 =数1之和𝑎𝑎 1,4 =2 𝑎𝑎4,1 =1 𝑎𝑎4,1 =2 ，
⩾6+3+3+4+4+1+1=22
当 时，各数之和取得最小值 ．
1 1 1 1
1 2 2 2
𝐴𝐴4 =� � 22
1 2 1 1
由于 1 数表2 1 中2共 个数字，
(必3)然存在𝛤𝛤 4 𝐴𝐴10 ，使10得0数表中 的个数满足
设第 行中𝑘𝑘 ∈ 的{1个,2,3数,4为} 𝑘𝑘 𝑇𝑇 ≥25.
当 𝑖𝑖 时，𝑘𝑘 将横向相邻𝑟𝑟𝑖𝑖(两𝑖𝑖 =个1 ,2 用,⋅⋅⋅从,1左0)向. 右的有向线段连接，
则该𝑟𝑟𝑖𝑖行≥有2 条有向线段， 𝑘𝑘
𝑟𝑟𝑖𝑖−1
所以横向有向线段的起点总数
𝑖𝑖=1
设第 列中 的个数为 𝑅𝑅 =∑𝑟𝑟𝑖𝑖⩾2 ． (𝑟𝑟 𝑖𝑖−1)⩾ 1 ∑ 0 (𝑟𝑟𝑖𝑖−1)=𝑇𝑇−10.
当 𝑗𝑗 时，𝑘𝑘 将纵向相邻𝑐𝑐𝑗𝑗(两𝑗𝑗=个1 ,2 用,⋅⋅⋅从,1上0)到下的有向线段连接，
则该𝑐𝑐𝑗𝑗列≥有2 条有向线段， 𝑘𝑘
𝑐𝑐𝑗𝑗 −1
所以纵向有向线段的起点总数
𝑗𝑗=1
所以 ， 𝐶𝐶 =∑𝑐𝑐𝑗𝑗⩾2 (𝑐𝑐𝑗𝑗 −1)⩾ 1 ∑ 0 (𝑐𝑐𝑗𝑗−1)=𝑇𝑇−10.
因为 𝑅𝑅+𝐶𝐶 ≥ ，2所𝑇𝑇−以2 0 ．
所以必𝑇𝑇存≥在25某个 既𝑅𝑅是+横𝐶𝐶向−有𝑇𝑇向⩾线2𝑇𝑇段−的2起0−点𝑇𝑇，=又𝑇𝑇是−纵2向0有>向0 线段的终点，
即存在 𝑘𝑘
使得 1<𝑢𝑢 <𝑣𝑣 ⩽10,1< ，𝑝𝑝 <𝑞𝑞 ⩽10,
所以 𝑎𝑎𝑢𝑢,𝑝𝑝 =𝑎𝑎𝑣𝑣,𝑝𝑝 =𝑎𝑎𝑣𝑣,𝑞𝑞 =𝑘𝑘 ，
则命题𝑑𝑑(得𝑎𝑎𝑢𝑢证,𝑝𝑝,．𝑎𝑎𝑣𝑣 ,𝑞𝑞)=|𝑎𝑎𝑢𝑢,𝑝𝑝−𝑎𝑎𝑣𝑣,𝑝𝑝|+|𝑎𝑎𝑣𝑣,𝑝𝑝−𝑎𝑎𝑣𝑣,𝑞𝑞|=0
8 / 8
