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秘密 启用前
★
年山西省高考考前适应性测试
2023
数学参考答案详解及评分说明
评分说明：
考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定
1.
评分。
计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不
2.
给分。
A卷选择题答案
一、单项选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
8 5 40
1.A
{ | }
【解析】化简得A x x ,或x ，B ， ，
= ≥ 3 ≤ -1 ={-2 -1,0,1,2}
A B ，
∴ ∩ ={-2 -1}.
2.C
【解析】令z=a+b ，a，b R
i ∈ .
- | |
∵
z
+
z
= 2, ∴
a
= 1
，z
= 1+
b
i
，
∵|
|| 1
z |
||
=
2，
∴
|z|
= 2
，
∴ 1+
b
2 = 2
，
2
解得b ， z
= ±1 ∴ = 1± i.
3.B
【解析】|a b| (a b) 2 a 2 b 2 a b
- = - = + - 2 ∙ = 2 3.
4.B
{
x x Q
2 ( ) ( )
【解析】由题可知f (x) - 1, ∈ ,所以f ( ) ，f ，f ，而f (x) 无解
= x x Q 1 = 0 2 = 2 3 = 3 = 1 .
2 , ∈ ∁R .
5.A
【解析】法 ： （ ） ＋ ＋ ＋…＋ ＋ 对于 ，当n ，，，
22 22 0 22 1 21 2 20 2 21 21 22 22 22
1 22 = 20+2 = C22×20 C22×20 ×2 C22×20 ×2 C22×20×2 C222 . 2 = 1 2 3
，，…时，n ，，， ， ，…，其个位数以 为周期变化 ，所以 的个位数为 ，故所求余
22
4 5 2 = 2 4 8 16 32 4 .22÷4 = 5……2 2 4
数为
4.
法 ：直接观察 （n n ）的个位数随n变化的规律求解
*
2 22 ∈NN .
法 ： （ ） （ ）＋ （ ）＋…＋ （ ）＋ （ ），可
22 11 0 11 1 10 2 9 2 10 1 10 11 11
3 22 = 485-1 =C11 × 485 + C11 × 485 × -1 C11×485 × -1 C11×485 × -1 C11 -1
知 除以 的余数，即为 （ ） 除以 的余数，故所求余数为
22 11 11
22 5 C11 -1 = -1 5 4.
6.D
( ) ( )
【解析】f (x) ωx ωx ωx π ，由f (x) ，得 ωx π 1
= 3sin - cos = 2sin - = 1 sin - = .
6 6 2
( )
x ， ωx π π ω π
∵ ∈(0,π) ∴ - ∈ - , π - .
6 6 6
( )
令ωx - π t，则 t 1在区间 π ω π 有三个根， π ω π π， 7 ω
= sin = - , π - ∴ 2π + < π - ≤ 3π - ∴ < ≤ 3.
6 2 6 6 6 6 6 3
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1 107.C
P
【解析】设圆锥体积为V ，底面半径为R，其内切球体积为V ，半径为r，由题可得
1 2
V 1 R 2 h D
π
V 1 = 3 = 2，整理得：R 2 = 2 r 3 .① O
2 4 r 3 1
π A B
3 C
OD PO r r （第7题答图）
如图，由 POD PBC可得 ，即 4 - ，
△ ∽ △ BC = PB R = R
2
16 +
两边平方得： r 2 ( 4 - r) 2
R = R .②
2 2
16 +
将 代入 化简整理得r r ，
2
① ② - 2 + 1= 0
r
∴ =1.
8.D
【解析】设直线l为曲线y f (x)在点 ( x f ( x )) 处的切线，f (x) 1，
= 1, 1 ′ = x
( )
ly x 1 x x 即ly 1 x x ；
∴ : - ln 1 = x - 1 , : = x + ln 1 - 1
1 1
设直线l为曲线y g(x)在点 ( x g ( x )) 处的切线，g (x) axa
-1
(x )，
= 2, 2 ′ = > 0
ly xa axa
-1
( x x ) 即ly axa
-1
x ( a)xa
∴ : - 2 = 2 - 2 , : = 2 + 1- 2.
ì
ïï1 axa -1
由题知í x = 2 , ①
ïï 1
î x ( a)xa.
ln 1 - 1= 1- 2 ②
注意到x x ，必有a 由 式得 x a (a ) x ，
1 > 0, 2 > 0 > 0. ① ln 1 = -ln - - 1 ln 2
a
代入 式得 a (a ) x ( a)xa，显然a ，整理得 x xa 1+ ln
② -ln - - 1 ln 2 - 1= 1- 2 ≠ 1 ln 2 - 2 = a .
1-
axa
记h(x) x xa a 且a 则h (x) 1 axa -1 1- ，
= ln - ( > 0 ≠ 1), ′ = x - = x
( ) ( )
( )1 ( )1
a a
当x 1 时，h (x) ；当x 1 时，h (x) ，
∈ 0, a ′ > 0 ∈ a , + ∞ ′ < 0
( ) ( )
( )1 ( )1
a a
h(x)在 1 上单调递增，在 1 上单调递减，
∴ 0, a a , + ∞
( )
( )1
a a
h(x) h 1 1+ ln ，
∴ = a = - a
max
h ( x ) h(x) 即1+ ln a 1+ ln a ，
∴ 2 ≤ max , a ≤ - a
1-
a æ ù
化简得 1+ ln ，解得a ç 1ú ( )
a( a) ≤ 0 ∈ è0, û⋃ 1, + ∞ .
1- e
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2 10二、多项选择题：本题共 小题，每小题 分，共 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的
4 5 20
得 分，部分选对的得 分，有选错的得 分。
5 2 0
9.ACD
【解析】对于 ，函数（f x）定义域为R，且（f x） | x | | x | |x| | x| （f x），所以（f x）是偶函数，即 正确；
sin(- ) sin(- ) sin sin
A - =e + e = e + e = A
对于 ，当x ，且y 时，x ，且y ，所以x y ；反之x y 不一定有x ，且y ，比如x 且y 因此
2 2 2 2 2 2
B ≥1 ≥1 ≥1 ≥1 + ≥2 + ≥2 ≥1 ≥1 =-1 =-1.
“x ，且y ”是“x y ”的充分不必要条件，所以 错误；
2 2
≥1 ≥1 + ≥2 B
对于 ，“ x R，x ax ”是假命题，则“ x R，x ax ”是真命题，所以 a ，解得 a ，所以
2 2 2
C ∃ ∈ +2 +1<0 ∀ ∈ +2 +1≥0 ∆=4 -4≤0 -1≤ ≤1 C
正确；
b a b a
对于 ，由1 1 1 可得 ，当ab 时， ，所以 正确
D a - b = b a a + b = 3 >0 a + b≥2 D .
-
10.AD
【解析】对于选项 ， ，所以男生每周锻炼身体的平均时长的 分位数是为第 项数据，即 ，
A 16×80%=12.8 80% 13 9.2
选项 正确；对于选项 ，（
A B 5× 2 + 6 × 4 + 7 × 4 + 8 × 4 + 9 × 2 + 0.1× 2 + 0.2 × 3+ 0.3× 2 + 0.4 × 2 + 0.5×
） ，选项 错误；对于选项 ，男生每周锻炼身体的平均时长大
2 + 0.6 × 2 + 0.7 + 0.8 ÷16 = 117.9 ÷ 16 = 7.36875 B C
于 的有 周，所以概率为 ，选项 错误；对于选项 ，男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间
9h 4 4 ÷ 16 = 0.25 C D
（ ，）内的共 个，女生为 个；男生每周锻炼身体的平均时长分布在区间（ ， ）内的共 个，女生为 个；男
8 9 8 4 7 10 14 10
生每周锻炼身体的平均时长的极差为 ，女生为 ，据此可知与男生相比，女生每周锻炼身体的平均时长波
3.8 4.3
动性比较大 也可通过计算方差、标准差判断 选项 正确
. . D .
11.ABD
【解析】当n 时，1 - a = a ，a 1
=1 a 1 1 1 = .
1 2
当n ≥2 时，1 S - S n = S n - S n -1 ，
n
平方，得 1 + S S - S ，
S n - 2 = n n -1
n
1 = - S ，S = 1 （n ），选项 正确；
∴S 2 n -1 n S ≥2 A
n 2 - n -1
S
S 1 - = n -1 - 1，
n - 1= S 1 S
2 - n -1 2 - n -1
S
1 2 - n -1 1 ， 1 1 ，
∴S = S = S - 1 S - S = -1
n - 1 n -1 - 1 n -1 - 1 n - 1 n -1 - 1
{ }
1 是首项为 1 ，公差为 的等差数列，选项 正确；
∴ S S = -2 -1 B
n - 1 1 - 1
1 （n ） （ ） （n ），n N * ，
∴S = -2 + -1 × -1 =- +1 ∈
n - 1
n
S = ，n N ，
∴ n n ∈ *
+ 1
( )
2
a 1 S = 1 ，选项 错误；
∴ n= S - n n n C
n ( + 1)
记f (n) nS S S ，
=4 2 1 2 3⋯ 2 2 n -1
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3 10f (n ) n n ( n ) 2 n 2
则 f ( + n) 1 = + n 1 S 2 2 n +1= + n 1 2 n + 1 = (2 n n + 1) =1+ n n 1 ＞ 1 ，
2 + 2 4 ( + 1) 4 ( + 1)
f (n ) f (n)，f (n)为递增数列，
∴ + 1 >
∴ f (n) ≥ f ( 1 ) =4 a 2 1=1 ，即S 2 1 S 2 3⋯ S 2 2 n -1≥ 1 n ，选项 D 正确 .
4
12.BD
( ) ( )
【解析】设点A x ,y ，点B x ,y ，直线l的方程为x 3 y c，其中c 2 a 2 b 2 ，
1 1 2 2 = + = +
3
{
联立 x = 3 y + c , 得 (b 2 a 2 )y 2 b 2 cy b 4 ，
3 - 3 + 2 3 + 3 = 0
b x a y a b
2 2 2 2 2 2
- = ,
所以y y 2 3 b 2 c ，y y 3 b 4
1 + 2 = -b 2 a 2 1 2 = b 2 a 2 .
- 3 - 3
y y y ( y y ) 2
由AF F B，得y y ，即 1 ，所以 1 2 50，即 1 + 2 36，
2 = 7 2 1 = -7 2 y = -7 y + y = - y y = -
2 2 1 7 1 2 7
( )
b c 2
2
2 3
即 -b 2 - 3 a 2 4 c 2 36 ，整理得 c 2 a 2 ，
4 = 9
b = b a = -
4 2 2
3 - 3 7
b a
2 2
- 3
c
即 c a，离心率e 3，故 错误；
2 = 3 = a = A
2
| |
S 1 AF h
AFF ⋅ 2 ⋅
设点F 到直线l的距离为h，则 △ 1 2 2 ，故选项 正确；
1 S △ BF 1 F 2 = 1 | BF | h = 7∶1 B
⋅ 2 ⋅
2
a a
由e 3，得b 5 ac 3 a，代入韦达定理并化简得 y y y 15 3 ，y 5 3 ，
= = , = -6 2 = 1 + 2 = 2 = -
2 2 2 7 14
( )
| BF | 3 2| y | 5 a， | AF | | BF | a，
∴ 2 = 1+ 2 = 2 = 7 2 = 5
3 7
| | | | | | | |
又 AF AF a a，BF BF a 19 a，
1 = 2 + 2 = 7 1 = 2 + 2 =
7
| | | |
所以 AFF 的周长为 AF AF c a a a a，
△ 1 2 1 + 2 + 2 = 7 + 5 + 3 = 15
| | | |
BFF 的周长为 BF BF c 19 a 5 a a 45 a，
△ 1 2 1 + 2 + 2 = + + 3 =
7 7 7
a
所以 AFF 与 BFF 周长之比为 15 ，故 错误；
△ 1 2 △ 1 2 = 7∶3 C
45 a
7
设 AFF 与 BFF 内切圆半径分别为r ，r ，
△ 1 2 △ 1 2 1 2
S 1 a r
AFF ⋅ 15 ⋅ 1
△ 1 2 2 ，r r ∶ ，故 正确
S
△ BF 1 F 2
=
1 45 a r
= 7 1∶ 2=3 1 D .
⋅ ⋅ 2
2 7
卷选择题答案
B
1.B 2.A 3.C 4.C 5.D 6.D 7.B 8.A 9.ABD 10.BD 11.ABC 12.BD
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4 10A、B卷非选择题答案
三、填空题：本题共 小题，每小题 分，共 分。
4 5 20
；4
13.0.4
15
【解析】设H表示“第i次摸到红球”，B表示“第i次摸到白球”，L表示“第i次摸到蓝球”，i ， 则P（H）
i i i = 1 2. 1 =
4
=0.4.
4 + 3+ 3
第一次没有摸到红球第二次摸到红球包括第一次摸到白球第二次摸到红球，和第一次摸到蓝球第二次摸到红
-
球，所以所求概率为P（H H） P（B）P（H B）＋P（L）P（H L） 3 4 4
2| 1 = 1 2| 1 1 2| 1 = × ×2= .
10 9 15
( ∞, ]
14. - -8
【解析】由图可知当圆C位于两直线l 和l 之间时，P点到直线l 和l 的距离之和均为l 和l y
1 2 1 2 1 2
两平行直线间的距离，即点P到直线l 和l 的距离之和与点P的位置无关 l
1 2 . 1
| m|
当直线l 与圆相切时，4 - 1+ ， C l
= 5 2
2 5 O x
解得m 或m （舍去），
= -8 = 2
m ，即m的取值范围为 ( ∞, ]
∴ ≤ -8 - -8 . （第14题答图）
15. 7
【解析】将图 中的 AA B和 A BC放置于同一个平面内，如图 所示，则PA PC AC
1 △ 1 △ 1 2 + ≥ .
直三棱柱ABC A B C 中，BC AA ，AB AC ，
∵ - 1 1 1 = 2 1 = 2 = = 3
在 A AB中 ABA A B
A C
∴ 同理， R 在 t△ 1 A AC ,∠ 中 A C 1 = 30 ， °, 1 = 2. 1 B 1 A C
1
Rt△ 1 , 1 = 2 P 1 P
A BC ，
∴ ∠ 1 = 60° A
在图 中，ABC ABA A BC ，
A C
∴ 2 ∠ = ∠ 1 + ∠ 1 = 90°
AC AB BC ，
∴ 2 = 2 + 2 =7 B B
PA+PC的最小值是
（第 题答图 ） （第 题答图 ）
∴ 7. 15 1 15 2
16.2
【解析】由（f x ） 1（f x） 3g（x），得g（x） 2 3 （f x ） 3 （f x） ，
+1 =- + = +1 + ①
2 2 3 3
g（x ） 2 3 （f x ） 3 （f x ）
∴ +1 = +2 + +1 ②.
3 3
将 ， 代入g（x ） 1 g（x） 3 （f x），并整理得：
① ② +1 =- -
2 2
（f x ） （f x ）（f x），
+2 =- +1 -
（f x ） f x f x f (x)
∴ +3 = - ( + 2) - ( + 1) = .
（f x）是以 为周期的周期函数
∴ 3 .
由 可知，g（x）也是以 为周期的周期函数， g( ) g( )
① 3 ∴ 2 = 365 = - 3.
由 得2 3 （f ） 3 （f ） g ，
① 3 + 2 = (2) = - 3
3 3
又 （f x） （f x）， （f ） （f ），解得（f ） （f ） ，
∵ = 5- ∴ 3 = 2 3 = 2 = -1
（f ） （f ） （f ） （f ）
∴ 1 = 4 =- 3 - 2 =2.
注意到（f x ） （f x ） （f x） ， ，
+2 + +1 + =0 2023=3×674+1
2023 f (k) f ( )
∴∑k = 1 = 2.
=1
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5 10四、解答题：本题共 小题，共 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6 70
{
a q a
{ } 3
解：（）设数列 a 的公比为q，则 1 - 1 = 7, ……………………………………………………………… 分
17. 1 n a 2 q 3 2
1 = 8,
{
{ a
a 1 = -8,
解得 1 = 1,或 ………………………………………………………………………………………… 分
q q 1 . 4
= 2, =
2
{ }
又 数列 a 是正项等比数列，
∵ n
a ，q ，a n ……………………………………………………………………………………………… 分
∴ 1=1 =2 n=2 -1 . 5
（）若选 ：b （ n ）n ， ……………………………………………………………………………………… 分
2 ① n= 2 -1 2 -1 6
S （ n ）n ，…………………………………………………………………………………… 分
n=1×2 0 +3×2 1 +⋯+ 2 -1 2 -1 7
S （ n ）n，
2 n=1×2 1 +3×2 2 +⋯+ 2 -1 2
S （ n ）（ n ）n
∴- n=1×2 0 +2× 2 1 +2 2 +⋯+2 -1 - 2 -1 2
n
-1
2 - 2 × 2 n n
= 1+ 2 × -(2 - 1)2
1- 2
（ n）n ，……………………………………………………………………………………………… 分
= 3-2 2-3 9
S （ n ）n ……………………………………………………………………………………………… 分
∴ n= 2 -3 2+3. 10
( )
若选 ：b 1 1 1 1 1 ，…………………………………… 分
② n= n 2 n -1 = n n = n - n 7
(2 + 1)·log22 (2 - 1)(2 + 1) 2 2 - 1 2 + 1
( ) ( ) ( )
S 1 1 + 1 1 1 + …+ 1 1 1
∴ n = 1- - n - n
2 3 2 3 5 2 2 - 1 2 + 1
( )
n
1 1 ………………………………………………………………………………… 分
= 1- n = n . 10
2 2 + 1 2 + 1
解：（） θ θ 7， ( θ θ) 2 7 ，即 θ θ 9
18. 1 ∵ sin + cos = ∴ sin + cos = 2sin cos = - < 0.
4 16 16
θ为 ABD的内角，所以 θ ， θ …………………………………………………………………… 分
∵ △ sin > 0 cos < 0. 2
又( θ θ) 2 θ θ 25，所以 θ θ 5，
sin - cos = 1- 2sin cos = sin - cos =
16 4
θ 7 + 5 ………………………………………………………………………………………………… 分
∴ sin = . 4
8
ABD的面积为：S 1 AB AD θ 1 7 + 5 7 + 5 ………………………………… 分
∴△ △ ABD= ∙ ∙sin = × 4 × 2 × = . 5
2 2 8 2
（）由（）得 θ = 7 - 5，
2 1 cos
8
BC BD AD AB AB AD θ
2 2 2 2
= = + - 2 ⋅ ⋅ cos
2 2 7 - 5 …………………………………………………………… 分
= 2 + 4 - 2 × 4 × 2 × = 30 - 2 7. 6
8
AD BD θ
设 ABD α，由正弦定理得： ，即 2sin ，
∠ = α = θ sinα = BD
sin sin
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6 10( )
θ
所以 ABC π α α 2sin ………………………………………………………………… 分
cos∠ = cos + = -sin = - BD . 8
2
ABC中，由余弦定理得：
△
AC2 AB2 BC2 AB BC ABC
= + - 2 ∙ ∙cos∠
( )
( ) θ
BD 2sin
= 16 + 30 - 2 7 - 2 × 4 × × - BD
θ
= 46 - 2 7 + 16sin
7 + 5 ， …………………………………………………………………………… 分
= 46 - 2 7 + 16 × = 56 11
8
所以AC ………………………………………………………………………………………………… 分
= 2 14. 12
解：（）从 组数据中任选两组，选法数为： ；………………………………………………………………… 分
2
19. 1 12 C12 1
选取的 组数据恰好是相邻的 天，选法数为： ； …………………………………………………………… 分
2 2 11 2
所以所求概率为P 11 1 …………………………………………………………………………………… 分
= 2 = . 3
C12 6
( ) ( ) ( )
（）设剩下的 组数据分别为 u v ，u v ， u v
2 10 1, 1 2, 2 ⋯, 10, 10 .
10 u v 12 x y - ；…………………………………………………… 分
∑i i i =∑i i i 10 × 21- 10 × 22 = 2965- 430 = 2535 5
=1 =1
- -
u 1 12 x ，v 1 12 y
=
10
(∑i
=1
i - 20) = 10.8 =
10
(∑i
=1
i - 43) = 22.7
--
uv ；……………………………………………………………………………… 分
10 =10 × 10.8 × 22.7 = 2451.6 6
10 u 2i 12 x 2i ；………………………………………………………………………… 分
∑i =∑i -2×10²=1394-200=1194 7
=1 =1
-
u2 ；………………………………………………………………………………………… 分
10 =10×10.8²=1166.4 8
--
10
u v uv
所以b
∑i
=1
i i - 10
2535- 2451.6 ……………………………………………………………… 分
= 10 - = ≈ 3.0. 10
∑i
u 2i
- 10
u2 1194 - 1166.4
=1
- -
所以a v bu
= - =22.7-3.0×10.8=-9.7≈-10.
所以所求回归方程为y x ………………………………………………………………………………… 分
=3 -10. 11
（）当x 时，y
3 =10 =20.
因为 ； ，
21-20=1<2 22-20=2
所以根据所给的研究方案，可以判断（）中所得的线性回归方程是可靠的 ………………………………… 分
2 . 12
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7 10解：（）如图 ，连接BD与CE交于点Q，连接PQ，由题可得DE BC，DE=1BC，
20. 1 1 ∥ A
2
DQ DE
P
1
∴BQ = BC = . E D
2
DP DQ Q
又 AP= PD， 1，……………………………………………………… ２分
∵ 2 ∴PA = QB = B C
2 （第 题答图 ）
20 1
AB PQ
∴ ∥ .
PQ 平面PEC，AB 平面PEC， AB 平面PEC …………………………………………………………… ４分
∵ ⊂ ⊄ ∴ ∥ .
（）法一：连接A点与BE的中点O，过点O作BE的垂线与BC交于点M，易知M为BC的中点
2 .
由已知可得AE=AB， AO BE
∴ ⊥ .
平面ABE 平面BCDE，平面ABE 平面BCDE BE，AO 平面ABE， z
∵ ⊥ ⋂ = ⊂
A
AO 平面BCDE
∴ ⊥ .
OM 平面BCDE， AO OM P
∵ ⊂ ∴ ⊥ .
E D
以O为原点建立空间直角坐标系如图 所示 …………………………………… 分
2 . 5 O
易知BE CE ，OA OB OE OM
B
= =2 = = = =1. C
x M
所以A（ ，，），B（ ，，），C（ ，，），D（ ，，），E（ ，，），
0 0 1 1 00 -1 2 0 -2 1 0 -1 0 0 y
所以AE（ ，， ），AC（ ，， ），AD（ ，， ），CE（ ， ，），
= −1 0 −1 = −1 2 −1 = −2 1 −1 = 0 −2 0 （第 题答图 ）
设AP λAD （ λ，λ，λ），则点P ( λλ λ) ， 20 2
= = -2 - -2 , ,1-
PE ( λ λλ ) ……………………………………………………………………………………… 分
∴ = 2 - 1, - , - 1 . 7
( ) ( )
设平面AEC与平面PEC的法向量分别为m x ,y z ,n x ,y ,z ，
= 1 1 , 1 = 2 2 2
{ m A E , { ( x ,y ,z ) ( , , ) , { x z ,
则 ⋅ = 0 即 1 1 1 ∙ -10 - 1 = 0 即 - 1 - 1 = 0
m AC , ( x ,y ,z ) ( , , ) , x y z ,
⋅ = 0 1 1 1 ∙ -12 - 1 = 0 - 1 + 2 1 - 1 = 0
令x ,得y ,z ,则m ( , , )
1 = 1 1 = 0 1 = -1 = 10 - 1 ,
{ n P E , { ( x ,y ,z ) ( λ , λ,λ ) ,
由 ⋅ = 0 即 2 2 2 ⋅ 2 - 1 - - 1 = 0
n CE , ( x ,y ,z ) ( , , ) ,
⋅ = 0 2 2 2 ⋅ 0 - 20 = 0
{( λ )x λy (λ )z ,
即 2 - 1 2 - 2 + - 1 2 = 0 可得y ,
y , 2 = 0
-2 2 = 0
令x λ ,则z λ，
2 = - 1 2 = 1- 2
n (λ , , λ) ………………………………………………………………………………………… 分
∴ = - 101- 2 . 8
由题知可令m n λ λ ，，
⋅ = - 1- 1+ 2 =0
λ 2 ………………………………………………………………………………………………………… 分
∴ = , 10
3
即当点P满足AP 2 AD时，平面AEC与平面PEC的夹角为
= 90°.
3
( )
此时，V 2V 2V 2 1 S OA 2 1 2 ……………… 分
C - APE = C - ADE = A - CDE = × × △ CDE × = × × 2 × 2 × 1= . 12
3 3 3 3 9 2 9
法二：由（）：当AP PD时，PQ AB
1 =2 ∥ .
AB AE， AE PQ……………………………………………………………………………………………… 分
∵ ⊥ ∴ ⊥ . 5
由已知得，在矩形ABCD中，E为AD的中点，AB AE 1AD，
= =
2
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8 10DE=DC=1AD， AEB DEC ， BEC ，即CE BE ……………………………………………… 分
∴ ∴∠ =∠ =45° ∴∠ =90° ⊥ . 7
2
又 平面ABE 平面BCDE，平面ABE 平面BCDE=BE，CE 平面BCDE，
∵ ⊥ ⋂ ⊂
CE 平面ABE
∴ ⊥ .
AE 平面ABE，
∵ ⊂
CE AE ………………………………………………………………………………………………………… 分
∴ ⊥ . 8
又 CE PQ Q，CE 平面PEC，PQ 平面PEC，
∵ ∩ = ⊂ ⊂
AE 平面PEC
∴ ⊥ .
AE 平面AEC，
∵ ⊂
平面AEC 平面PEC，即当AP PD时，平面AEC与平面PEC的夹角为 ……………………………… 分
∴ ⊥ =2 90°. 10
此时，V 2V 2V
C - APE = C - ADE = A - CDE
3 3
( )
2 1 S OA 2 1 2 ……………………………………………………… 分
= × × △ CDE × = × × 2 × 2 × 1= . 12
3 3 9 2 9
x x x
解：（）f (x)定义域为 ( ) ，f (x) ln 1 - ln + 1 …………………………………………… 分
21. 1 0, + ∞ ′ = - x + 1+ x = x . 2
x
记h(x) x x h (x) 1 - 1，
= - ln + 1, ′ = 1- x = x
当x ( ) 时，h (x) ；当x ( ) 时，h (x) ，
∈ 0,1 ′ < 0 ∈ 1, + ∞ ′ > 0
h(x)在 ( ) 上单调递减，在 ( ) 上单调递增， ………………………………………………………… 分
∴ 0,1 1, + ∞ 4
故h(x) h( ) ，f (x) ，
≥ 1 = 2 > 0 ′ > 0
f (x)是增函数 ………………………………………………………………………………………………… 分
∴ . 6
（）g(x)定义域为R，g (x) x x ax x( x a)
2 ′ = e - = e - .
当a 时，g(x) (x ) x有唯一零点x ，符合题意；…………………………………………………… 分
① = 0 = - 1 e =1 7
当a 时，x a ，当x ( ) 时，g (x) g(x)单调递减；当x ( ) 时，g (x) g(x)单调递增，
② < 0 e - > 0 ∈ -∞,0 ′ < 0, ∈ 0, + ∞ ′ > 0,
g(x) g( ) a 2 ，
= 0 = - 1
min
若a ，则g(x) g( ) ，g(x)无零点，不符题意；
< -1 ≥ 0 > 0
若a ，g(x)有唯一零点x ，符合题意；
= -1 = 0
若 a ，则g( ) a 2 ，又g( ) a 2 1 a ，
-1< < 0 0 = - 1< 0 1 = - > 0
2
( )
ax x
x 时，(x ) x x xa 2 g(x) x 2 ( ax) g 4 ，
< -1 - 1 e > - 1> 2 , > 0, ∴ > 2 - = 4 - , ∴ a > 0
2 2
故g(x)有两个零点，不符题意； ………………………………………………………………………………… 分
9
当 a 时，易知g(x)在 ( a) ( ) 上单调递增，在 ( a ) 上单调递减，又g( a) a( a )
③ 0 < < 1 -∞,ln , 0, + ∞ ln ,0 ln = ln - 1 -
a( a)
2
ln a 2 af (a) af ( ) ，
+ = < 1 = 0
2
( ) ( )
ax a a
x 时，易证 x x 2 ，故g(x) (x )x 2 2 x 2 x ，故g ， g(x)有唯一零点，符合题
> 1 e > > - 1 - = - 1- + 1 > 0 ∴
2 2 2
意； ……………………………………………………………………………………………………………… 分
11
综上，a的取值范围为{ } [ ) …………………………………………………………………………… 分
-1 ⋃ 0,1 . 12
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9 10( ) x 2 y 2 y
解：（）设点M x y ，其中 1 1 x ，且x ，则
22. 1 1, 1 + b 2 = 1,-2 ≤ 1 ≤ 2 1 ≠ 1 E
4
P
|AM| ( x ) 2 y
2
= 1 - 1 + 1 M
( ) O
( x ) 2 b 2 x 2 1 A x
= 1 - 1 + 1-
4 N
( )
b
2
x x b ……………………………………… 分
2 2 （第 题答图）
= 1- 1 - 2 1 + + 1, 2 22
4
由|AM| ，得 ( b 2 ) x 2 x b 2 ( x ) é êê ( b 2 ) x b 2 ù úú ……………………………………… ４分
≥ 1 1- 1 - 2 1 + = 1 - 2 ë 1- 1 - û≥ 0.
4 4 2
( )
x b ， x b 2 b 2 x b 2 x 2 b 2
∵ 1 ≤ 2,0 < < 2 ∴ 1 - 2 ≤ 0,1- > 0.∴ 1- 1 - ≤ 0, 1 ≤ b 2.
4 4 2 4 -
b
2
只需 2 又 b ， b
2 ≤ b 2 . ∵ 0 < < 2 ∴ 2 ≤ < 2.
4 -
[ )
b的取值范围是 ……………………………………………………………………………………… 分
∴ 2,2 . 6
（）k k k 或k k k 成等差数列 证明如下：…………………………………………………………………… 分
2 1, 3, 2 2, 3, 1 . 7
x
若b ，则C
2
y
设点E( t)
，t
2
= 1 : + = 1. 1, ≠ 0.
4
t t
若直线l斜率为 ，则点P( ) ，不妨令点M( ),N( ) ，则k tk k ，此时k k k 的任意排列
① 0 4,0 2,0 -2,0 1 = - , 2 = , 3 = - 1, 2, 3
3 3
k k k 均不成等比数列，k k k 或k k k 成等差数列 ……………………………………………………… 分
i 1, i 2, i 3 1, 3, 2 2, 3, 1 . 8
( )
若直线l斜率不为 ，设直线lx my (m ) M ( x y ) N ( x y ) ，易知点P 3
② 0 : = + 1 ≠ 0 , 1, 1 , 2, 2 4,m .
{
x my ,
= + 1
由 x 2 y , 得 (m 2 + 4 )y 2 + 2 my - 3= 0 ，
2
+ = 1
4
m
y y -2 ，y y -3 …………………………………………………………………………… 分
∴ 1 + 2 = m 2 1 2 = m 2 . 10
+ 4 + 4
3 t
y t y t m - mt
因为k 1 - ，k 2 - ，k 3- ，
1 = x 2 = x 3 = = m
1 - 1 2 - 1 3 3
y t y t y t y t
所以k k 1 - 2 - 1 - 2 -
1 + 2 = x + x = my + my
1 - 1 2 - 1 1 2
( ) ( ) ( )
y y t y y t y y t y y
2 1 - + 1 2 - 2 1 2 - 1 + 2
= my y = my y
1 2 1 2
mt
-6 2
m + m mt
2 + 4 2 + 4 6 - 2 k ，
= m = m = 2 3
-3 3
m
2
+ 4
k k k 或k k k 成等差数列
∴ 1, 3, 2 2, 3, 1 .
综上，k k k 或k k k 成等差数列 …………………………………………………………………………… 分
1, 3, 2 2, 3, 1 . 12
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10 10
