文档内容
2023~2024 学年第一学期高三期初调研测试
数 学
2023.09
注意事项：
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：
1. 本卷共4页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填
空题（第13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分
钟.答题结束后，请将答题卡交回.
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题
卡的规定位置.
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用
0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠
笔.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知复数z满足 （其中 为虚数单位），则复数z在复平面上对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知函数 ，则“ ”是“ 在区间 上单调递增”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且 ，点F为线段AD的中点，记
，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知事件A，B，且 ， .若A与B互斥，令 ；若A与B相互独立，令
，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A. 0.3 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6
6. 若某圆柱体的底面半径与某球体的半径相等，圆柱体与球体的体积之比和它们的表面积之比的比值相等，
则该圆柱体的高与球体的半径的比值为（ ）
A. B. C. D. 2
7. 我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是
检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点 ， ，O为坐标原点，余弦相似度为向量
， 夹角的余弦值，记作 ，余弦距离为 .已知 ，
， ，若P，Q的余弦距离为 ， ，则Q，R的余弦距离
为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线C： 的右焦点为F，过F作直线分别与双曲线的两渐近线相交于A、
B两点，且 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2 D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，都有多
个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.请把正确的
选项填涂在答题卡相应的位置上.
9. 已知函数 的最小正周期为 ，则（ ）
A. B. 直线 是曲线 的一条对称轴
C. 点 是曲线 的一个对称中心 D. 在区间 内只有一个零点
10. 若一组不完全相同的数据 ， ，…， 的平均数为 ，极差为a，中位数为b，方差为 ，在这组数
学科网（北京）股份有限公司据中加入一个数 后得到一组新数据 ， ， ，…， ，其平均数为 ，极差为 ，中位数为 ，方差
为 ，则下列判断一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 如图，在棱长为2的正方体 中，点E，F分别是线段AC， 上的动点，
， ，且 .记EF与 所成角为 ，EF与平面ABCD所成角为 ，则（
）
A. 当 时，四面体 的体积为定值
B. 当 时，存在 ，使得 平面
C. 对于任意 ， ，总有
D. 当 时，在侧面 内总存在一点P，使得
12. 已知函数 定义域为 ， 是奇函数， ， ， 分别是函数
， 的导函数，函数 在区间 上单调递增，则（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
13. 的展开式常数项是______.（用数字作答）
学科网（北京）股份有限公司14. 已知 是等差数列 的前n项和，且 ， ，则 ______.
15. 请写出一条同时满足下列两个条件的直线方程：______.
①过抛物线 的焦点；
②与圆 相交所得的弦长为 .
16. 已知函数 有三个不同的零点 ， ， ，且 ，则实数a的取
值范围是______； 的值为______.
四、解答题：本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
（1）求角C；
（2）若 的面积为 ，点D为AB中点，且 ，求c边的长.
18.（本小题满分12分）已知等比数列 中， .
（1）求数列 的通项公式及它的前n项和 ；
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，求证： .
19.（本小题满分12分）如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面ABCD， ，
，M为BC的中点.
（1）求证： 平面PDB；
（2）求平面PAM与平面PBM夹角的余弦值.
20.（本小题满分12分）某校为了弘扬中华优秀传统文化，在校艺术节上举办班级“古诗词双人团体赛”，
每班限报一队，每队两人，每队通过回答多个问题的形式进行竞赛.现甲，乙两队进行竞答比赛，比赛规则是：
学科网（北京）股份有限公司每轮比赛中每队仅派一人代表答题，两人都全部答对或者都没有全部答对则均记1分；一人全部答对而另一
人没有全部答对，则全部答对的队伍记3分，没有全部答对的记0分.设每轮比赛中甲队全部答对的概率为 ，
乙队全部答对的概率为 ，甲，乙两队答题相互独立，且每轮比赛互不影响.
（1）经过1轮比赛，设甲队的得分为X，求X的分布列和期望；
（2）若比赛采取3轮制，请计算第3轮比赛后甲队累计得分低于乙队累计得分的概率.
21.（本小题满分12分）已知椭圆E： ，四点 ， ，
， 中恰有三点在椭圆E上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）点P为椭圆E上的一动点，设直线PA，PB的斜率分别为 ， .
①求 的值；
②若不与坐标轴垂直的直线l交椭圆E于M，N两点，O为坐标原点， ， ，求 的
面积.
22.（本小题满分12分）已知函数 ， ， .
（1）若函数 与 有相同的极小值点，求a的值；
（2）若对任意 ，恒有 ，求a的取值范围.
参考答案
一、单项选择题
1.【答案】D
【解析】 ，∴ ，位于第四象限，选D.
2.【答案】C
【解析】 ， ， ，选C.
3.【答案】B
学科网（北京）股份有限公司【解析】 时， ， ，∴ 在 ，充分， 在
单调增，∴ ，∴ ，不必要，充分不必要，选B.
4.【答案】A
【解析】 ， ，选
A.
5.【答案】A
【解析】A，B互斥，∴ ，A与B独立， ，
，选A.
6.【答案】B
【解析】设圆柱底面半径为r，则球的半径为r，设圆柱的高为h，
， ， ， ，
∴ ，∴ ，选B.
7.【答案】A
【解析】 ，∴ ， ，又
，∴ ，∴ ， ，
，选A.
8.【答案】B
【解析】 ，∴ ， ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，选B.
二、多项选择题
9.【答案】ACD
【解析】 ， ，∴ ，A对.
， 不是对称轴， 是对称中心，B错，C对.
， ， ， 在 只有一个零点，
∴ 在 有且只有一个零点，D对.
10.【答案】AB
【解析】互不相等的数据加入一个数 ，则极差不变，平均数不变，中位数有可能改变，方差一定改变，选
AB.
11.【答案】ABC
【解析】方法一：
时 为定值F到平面EAB的距离为定值，∴ 为定值，A对.
时，F为 中点，取AD中点M，则 .
时， ，则平面 平面 ，∴ 平面 ，
面ABCD，则 ，C对，选ABC.
方法二：对于A， 时，F到平面AEB的距离为定值，E为AC中点，
学科网（北京）股份有限公司为定值，A正确.
对于B， 时，F为 的中点，设AC与BD交于点O，当E为OA中点时，取OD中点G，此时，
，∴ 平面 ，B正确.
对于C，过F作 于点M，∴ 平面ABCD，∴ ， ， ，C
正确.
对于D，如图建系，∴ ， ，
设 ， ， ， ， ，
，
∴PE与PF始终成锐角，D错，选ABC.
12.【答案】ABD
【解析】对于A，∵ 是奇函数，∴ ，A正确.
对于B， 是奇函数 ，∴ ，
∴ ，B正确.
对于C， ， ，∴ ，
∴ ，C错.
对于D，由 知 关于直线 对称，∵ 在 上 ，
∴ 在 上 ， ，当且仅当 时取“＝”，
学科网（北京）股份有限公司而 ，∴ ，D正确.
选：ABD.
三、填空题
13.【答案】7
【解析】 展开式第 项 ， ，
， ， .
14.【答案】－55
【解析】 ，∴ ， .
15.【答案】 或
【解析】圆 ，圆心 ， ，弦长为 ，
圆心到直线距离为1，斜率不存在， 满足条件.
斜率存在，设 ，即 ， ， ，
此时l： ，∴l： 或 。
16.【答案】 ；1
【解析】由 ，
令 ，∴ ，
令 ， ，
当 时， ， ；当 时， ， ，
作出 大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点，
学科网（北京）股份有限公司（*）式关于t的一元二次方程有两个不等的实根 ， ，其中 ， ，
令 ，∴ ，
且 ， ， ，
∴ ，
应填： ；1.
四、解答题
17.【解析】
（1）
，
， .
（2） ，∴ ，∴ ，
学科网（北京）股份有限公司而 ， ， .
18.【解析】
（1）设 公比为q，∵ ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴ ， .
（2） ，
∴ .
19.【解析】
（1）证明：在矩形ABCD中， ，
，∴ ，∴ ，
设AM与BD交于O点，∴ ，
∴ ，又∵ 平面ABCD，∴ ， ，
∴ 平面PDB.
（2）如图建系，∴ ， ， ， .
学科网（北京）股份有限公司∴ ， ， ，
设平面PAM与平面PBM的一个法向量分别为 ， ，
∴ ，
，
设平面PAM与平面PBM所成角为 ，
∴ .
20.【解析】
（1）X的所有可能取值为0，1，3，
， ， ，
∴X的分布列如下：
X 0 1 3
P
.
（2）甲队累计得分低于乙的情形为：①甲至少有2场负于乙；
②甲有一场负于乙，另两场打平.
所求概率为： .
21.【解析】
学科网（北京）股份有限公司（1）显然A，B在E上，D不可能在E上，C在E上，
∴ ， ，∴椭圆E的方程为 .
（2）①设 ，∴ ，
.
②∵ ， ，∴ ，设 ， ，
∴ ，即 ，
且
，
∴ .
22.【解析】
（1）①当 时， 在 上 ， 在 上 ， 与 均无极小值，舍去；
②当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司当 时， ， ；当 时， ， ，
∴ 的极小值点为 .
，令 ，
当 ， ， ；当 时， ， ，
∴ 的极小值点为 ，∵ 与 有相同的极小值点，
∴ ，而 ，当且仅当 时取“＝”，
∴ ， .
（2）方法一：由 ，
令 ，由 ，而 ，
易得 在 上 ，∴ 对 恒成立，
∴ .
方法二：由 对 恒成立，
令 ，∴ ，
， ，
， （必要性）
下证充分性，当 时， 时
学科网（北京）股份有限公司，
∴ 在 上 ， ，符合.
综上： .
学科网（北京）股份有限公司
