文档内容
2023 学年第一学期江浙高中（县中）发展共同体高三年级 10 月联考
数学
考生须知：
1.本试卷共4页，22小题.本卷满分150分，考试时间120分钟；
2.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题
纸规定的位置上；
3.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题
卷上的作答一律无效；
4.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使
用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹签字笔或钢笔描黑.
一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1.已知集合 ，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3.在 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A.-20 B.20 C.-15 D.15
4.若函数 有极大值，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知向量 满足 ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6.记 为等比数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A.6 B. C. D.18
7.漏刻是中国古代的一种计时系统，“漏”是指计时器——漏壶，“刻”是指时间，《说文解字》中记载：
“漏以铜壶盛水，刻节，昼夜百刻.”某展览馆根据史书记载，复原唐代四级漏壶计时器，如图，计时器由三
个圆台形漏水壶和一个圆柱形受水壶组成，当最上层漏水壶盛满水时，漂浮在最底层受水壶中的浮箭刻度为
0，当最上层漏水壶中水全部漏完时，浮箭刻度为100.已知最上层漏水壶口径与底径之比为5：3，则当最上
层漏水壶水面下降到其高度的一半时，浮箭刻度约为（ ）（四舍五入精确到个位）
A.38 B.60 C.61 D.62
8.将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，若函数 和
在 上都恰有两个极值点，则正整数 的最小值为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.袋中有3个大小､形状完全相同的小球，其中1个黑球2个白球.从袋中不放回取球2次，每次取1个球，记
取得黑球次数为 ；从袋中有放回取球2次，每次取1个球，记取得黑球次数为 ，则（ ）
A.随机变量 的可能取值为0或1
B.随机变量 的可能取值为0或1
C.随机事件 的概率与随机事件 的概率相等
D.随机变量 的数学期望与随机变量 的数学期望相等
10.已知正三棱柱 分别为棱 的中点，则（ ）
A. B. 面
C. D. 面
11.已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 .直线 与 没有公
学科网（北京）股份有限公司共点，直线 经过点 .则（ ）
A. B. 与 有两个公共点
C.以 为直径的圆与 轴相离 D. 小于
12.已知 是定义在 上的奇函数， ，设函数 ，若 是
偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.设圆 ，直线 经过原点且将圆 分成 两部分，则直线 的方程为__________.
14.在 中， ， ，以 为焦点且经过点 的椭圆离心率记为 ，以 为焦点且
经过点 的椭圆离心率记为 ，则 __________.
15.已知 ，则 __________.
16.第19届杭州亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址，
“莲莲”代表世界遗产西湖，“宸宸”代表世界遗产京杭大运河.现有6个不同的吉祥物，其中“琮琮”､
“莲莲”和“宸宸”各2个，将这6个吉祥物排成前后两排，每排3个，且每排相邻两个吉祥物名称不同，
则排法种数共有__________.（用数字作答）
四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明
过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）为研究农药 对农作物成长的功效，在甲､乙两块试验田播种同一种农作物，甲试验田
喷洒农药 ，乙试验田没有喷洒农药 ，经过一段时间后，从甲､乙两块试验田各随机选取100株幼苗，统
计200株幼苗高度（单位：cm）如下表：
幼苗高度
甲试验田 10 15 55 20
乙试验田 10 35 45 10
（1）分别求甲､乙两块试验田中幼苗的平均高度的估计值（同一组中的数据以该组区间的中点值为代表）；
学科网（北京）股份有限公司（2）分别统计样本中甲､乙两块试验田幼苗高度小于 和不小于 的株数，完成下列联表，并依据小
概率 的独立性检验，分析是否喷洒农药 与幼苗生长的高度有关联？
高度 高度
喷洒农药
没有喷洒农药
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
，其中
18.（本题满分12分）记 是数列 的前 项和，已知 ，且 .
（1）记 ，求数列 的通项公式；
（2）求 .
19.（本题满分12分）在 中，角 所对的边分别为 ， ，且有
，求
（1） ；
（2） 的最大值.
20.（本题满分12分）如图，三棱锥 中， 平面 是空间中一点，且 平面 .
（1）证明： 平面 ；
学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，求平面 与平面 的夹角的余弦值.
21.（本题满分12分）已知函数 .（e为自然对数的底）
（1）若曲线 在 处的切线与曲线 也相切，求 ；
（2） ，求 的取值范围.
22.（本题满分12分）已知双曲线 的离心率为 ，右顶点 到 的一条渐近
线的距离为 .
（1）求 的方程；
（2） 是 轴上两点，以 为直径的圆 过点 ，若直线 与 的另一个交点为 ，直线
与 的另一个交点为 ，试判断直线 与圆 的位置关系，并说明理由.
2023 学年第一学期江浙高中（县中）发展共同体高三年级 10 月联考
数学参考答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】B
5.【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，所以向量 在向量 上的投影向量为 ，故选C.
6.【答案】D
【解析】设公比为 ，则 ，显然 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 .
7.【答案】D
【解析】由题意，最上层漏水壶所漏水的体积与浮箭刻度成正比，设最上层漏水壶的口径与底径分别为 ，
学科网（北京）股份有限公司，高为 ，则体积为
当最上层漏水壶水面下降到高度的一半时，设此时浮箭刻度为 ，因为已漏水体积
所以，
8.【答案】B
【解法1】当 时， ，因为曲线 在 上恰有两个极值点，
所以 ，解得 .
当 时， ，因为 ，所以 ，在
内只有一个极值点 ，不合；
当 时， ，因为 ，所以 ，在
内有两个极值点： ，满足题意.所以选B.
【解法2】当 时， ，因为曲线 在 上恰有两个极值点，
所以 ，解得 .①
由题意， ，当 时， ，
由①知， ，又函数 在 上恰有两个极值点，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 .②
由①和②得， 的取值范围是 .选B.
二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.【答案】AD
10.【答案】BD
【解析】对于 ，显然 与 异面，故 错误；
对于B，取 中点 ，连结 ，易证面 面 ，所以 面 ，故B正确；
对于 ，假设 ，则 垂直平分 ，设 ，则 ，易算得 ，
因为 ，这与 垂直平分 矛盾，故C错误；
对于D，可证 ，所以 ，又 面 ，所以 ，所以 面
，故D正确.
综上，本题选BD.
11.【答案】ACD
【解析】联立直线 与抛物线 方程，消去 得，
，因为直线 与 没有公开点，
所以 ，所以 ，故点 位于抛物线 内部.
对于A，因为 ，且 ，所以 ，故A
正确；
学科网（北京）股份有限公司对于B，当直线 平行于 轴时， 与 有唯一公共点；当直线 与 轴不平行时， 与 有两个公共点，
故B错误；
对于C，延长 交 于点 ，则以 为直径的圆 与 轴相切，因为以 为直径的圆 与圆 内切，
切点为 ，且圆 半径较小，所以圆 与 轴相离，故C正确；
对于 ，过点 与 相切的切线斜率为1，倾斜角为 ，又点 是位于 内部的一点，所以 小于
，故D正确.综上，
本题选ACD.
12.【答案】AC
【解析】因为 是 上的奇函数，所以 ，且 也是 上的奇函数，
因为 是偶函数，所以 ，所以 是以4为周期的周期函数.
因为 周期为4，所以 也是以4为周期的周期函数.
对于A，因为 ，令 得 ，故A正确；
对于 ，故B错误；
对于C， ，所以 ，故C正确；
对于D，因为 ，故 ；
学科网（北京）股份有限公司；同理
所以 ，
所以 ，故D错误.
综上，本题选 .
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13.【答案】 ，或
14.【答案】
【解析】设 ，则 ，
，所以 .
15.【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 .
16.【答案】336
【解析】分两种情形：
①前排含有两种不同名称的吉祥物，首先，前排从“琮琮”“莲莲”和“宸宸”中取两种，其中一种两个，
另一种一个，有 种排法；其次，后排有 种排法，故共有48种不同的排法；
学科网（北京）股份有限公司②前排含有三种不同名称的吉祥物，有 种排法.
因此，共有336种排法.
四､解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明､证明
过程或演算步骤.
17.解析：（1）样本平均数为： ，
所以估计甲块试验田中幼苗的平均高度为 ；估计乙块试验田中幼苗的平均高度为10.1 .
（2）列联表为：
高度 高度 合计
喷洒农药 25 75 100
没有喷洒农药 45 55 100
合计 70 130 200
零假设为
：喷洒农药 与幼苗生长的高度无关联.
根据列联表中数据，可得
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为喷洒农药 与幼苗生长的高度有关联，
此推断犯错的概率不大于0.01.
18.解析：因为 ，①
所以 ，②
②-①得， ，
因为 ，所以 ，
所以数列 的奇数项和偶数项分别是以4为公差的等差数列，
（1）令 代入 ，得 ，由 ，得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以数列 是公差为4，首项为5的等差数列，其通项公式为
（2）当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，
所以
19.解：（1）因为 ，
所以 ，
化简得 ，
所以 .
又因为 ，
所以 .
（2）法一：
学科网（北京）股份有限公司由（1）可知， ，所以 ，
所以 ，当 时， ，
所以 的最大值为 .
法二：由余弦定理得： ，
由基本不等式得： ，当且仅当 ，等号成立，所以
，所以 的最大值为 .
20.（1）证明：过 点作 ，垂足为 ，
因为 面 面 ，所以 ，
因为 面 ，
所以 面 ，
因为 面 ，所以 ，
因为 面 面 ，
所以 面 .
学科网（北京）股份有限公司（2）解：设 ，以 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则 ，
又 ，
由（1）设 ，
设平面 的一个法向量 ，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
同理可求得平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
21.解析：（1）因为 ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线 的方程为
设直线 与与曲线 切于点 ，
则直线 方程为： ，即
学科网（北京）股份有限公司所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
综上， 的值为
（2）因为 ，
当 时， 在 上递增，
；满足题意；
当 时，设 ，
因为 ，所以 在 上递增，
又
所以存在 ，使得 ，
当 时， ，即 递减.
所以 ，故 不符合.
所以 的取值范围为 .
22.【解析】（1）因为 的离心率为 ，所以 ，
所以 ，渐近线方程 ，
因为点 到一条渐近线距离为 ，所以 ，解得 ，
所以 的方程为 .
（2）直线 与圆 相交，理由如下：
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
因为点 在以 为直径的圆 上，所以 ，
所以 ，
即 ，
由（1）得 ，直线 方程为： 与双曲线 方程联立，消去 得，
，因为直线 与 都有除 以外的公共点，所以 ，
所以 ，即 ，
同理当 时， .
，
所以直线 方程为： ，
令 得， ，
即直线 经过定点 .
学科网（北京）股份有限公司因为 ，
所以 点在圆 内，故直线 与圆 相交.
学科网（北京）股份有限公司
