2024届高三暑假作业检测试卷
数学
本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|-1<x≤2},B={-1,0,1,2} ,则A∩B=
A. {-1,0,1} B. {-1,0} C. {0,1} D. {0,1,2}
2.已知(1-ai)(2+ i)=b+3i(i为虚数单位),其中a,b为实数,则a,b的值分别为
A.-1,1 B.1,-1 C.1,1 D. -1,- 1
★3.设P是双曲线 =1上一点,F ,F 分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF |=9,则|PF |等于
1 2 1 2
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
A.1 B.8 1 6 − 2C0.17 D.1或17
4.为了庆祝中国共产党第二十次全国代表大会,学校采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一1002人,高二1002
人,高三1503人中抽取126人观看“中国共产党第二十次全国代表大会”直播,那么高三年级被抽取的人数为
A.36 B.42 C.50 D.54
★5.一个圆锥的侧面展开图是圆心角为 ,弧长为 的扇形,则该圆锥轴截面的面积S=
2𝜋𝜋
A. B. C.2 3 D2.2𝜋𝜋
★√62.已知cos( √)5= ,sin( )=√2 , ∈( , ),β∈√(50, ),则sin( +β)的值为
𝜋𝜋 3 5𝜋𝜋 12 𝜋𝜋3𝜋𝜋 𝜋𝜋
4−𝛼𝛼 5 4 +𝛽𝛽 −13𝛼𝛼 4 4 4 𝛼𝛼
A. B. C. D.
56 33 16 63
7.某65学生进行投6篮5 训练,采取积−6分5制,有7次投篮−机65会,投中一次得1分,不中得0分,若连续投中两次则额外加1分,连续
投中三次额外加2分,以此类推,连续投中七次额外加6 分,假设该学生每次投中的概率是 ,且每次投中之间相互独立,
1
则该学生在此次训练中恰好得7分的概率是 2
A. B. C. D.
9 5 11 3
128 64 128 32
8.设a= ,b=sin ,c=ln ,则
2 2 11
A.a>b>c2 1 2B1.a>c>b10 C.c>a>b D.b>c>a
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分
选对的得2分,有选错的得0分.
★9.已知m,n是两条不重合的直线, ,β是两个不重合的平面，下列命题不正确的是
A.若m// ,m// B,n// ,n//β,则 //β B.若m⊥n,m// ,n⊥β,则 ⊥β
𝛼𝛼
C.若m⊥n,m⊂ ,n⊂β,则 ⊥β D.若m//n,m⊥ ,n⊥β,则 //β
𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼
★10.已知圆M:x2+y2+2.x- 4y+ 1=0,以下结论正确的是
𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼 𝛼𝛼
A.过点A(1,2)与圆M相切的直线方程为x=1
B.圆M与圆N:(x+4)2+(y-6)2=1相交
C.过点(1,1)可以作两条直线与圆M相切
D.圆M上的点到直线4x-3y+5=0的距离的最大值为3
11.在平面直角坐标系 xOy中,点F是抛物线C:y2 =ax(a>0)的焦点,两点A( ,1),B(a,b)(b<0)在抛物线 C 上,则下列说法正
𝑎𝑎
确的是 16
A.抛物线C的方程为y2=4x B. b=-4
C.以AB为直径的圆的方程是(x- )2+(x+ )2= D.A,F,B三点共线
17 3 25
12.定义在R上的函数f(x)的导函8数为f’2(x),且8 3f(x)+xf’(x)>0,则对任意x <x ,下列结论成立的是
1 2
学科网（北京）股份有限公司A. B. f( )>0
3
𝑥𝑥1 𝑓𝑓(𝑥𝑥2) 3𝑥𝑥1 𝑥𝑥1
3
𝑥𝑥2 <𝑓𝑓(𝑥𝑥1) 𝑒𝑒 𝑒𝑒
C.不存在x ,x ,使得 f( )= f( ) D.存在x ,x ,使得 <f(1)
1 2 1 2
3
6 2 6 2 𝑥𝑥1 𝑥𝑥1
三、填空题:本题共𝑥𝑥4 1小𝑥𝑥1题,每𝑥𝑥2小𝑥𝑥题2 5分,共20分. 𝑥𝑥2 3 𝑓𝑓(𝑥𝑥2)
13.已知|a|=3,b=(1,2),则(a+b)·(a-b)= .
14.设等差数列{a }的前n项和为S ,已知a +a +a +a =28,则S = .
n n 1 3 7 9 9
15.已知函数f(x)=1- sin( x+ ),则f(1)+ f(2)+ f(3)+...+f(2023)= .
𝜋𝜋 𝜋𝜋
★16.当x∈[-2,1]时,不等3式6ax3-x2+4x+ 3≥0恒成立,则实数a的取值范围是 .
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (10分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，且csinBsinC=(ccosB+2b- a)cosC.
(1)求角C;
(2)若c2= 2ab,△ABC的面积为 ,求a+b的值.
18. (12分)已知数列{a }的前n项和为S ,S =620,S =5S +20.
n n 3 n+1 n
√3
(1)求数列{a }的通项公式;
n
(2)若b = log , 数列{b }的前n项和为T ,求 ...+ .
n 5 n n
𝑎𝑎𝑛𝑛 1 1 1 1
4 𝑇𝑇1+𝑇𝑇2+𝑇𝑇3+ 𝑇𝑇𝑛𝑛
19. (12分)如图所示，直三棱柱ABC-A B C 中,AB⊥AC,AB=AC=AA =3,AD= AC,CE= CC .
1 1 1 1 1
1 1
(1)求证:A D⊥BE; 3 3
1
(2)求直线A D与平面BDE所成角的正弦值.
1
★20. (12 分)元宵佳节,是民间最重要的民俗节日之一. 在某庆祝活动现场,为了解观众对该活动的观感情况(“一般”
或“激动”)，现从该活动现场的观众中随机抽取200名,得到下表:
(1)填补上面的2×2列联表,并依据小概率值 =0.1的独立性检验,能否认为性别与对该活动的观感程度有关?
(2)该活动现场还举行了有奖促销活动,凡当天消费每满300元,可抽奖一次.抽奖方案是:从装有3个红球和3个白球(形
α
学科网（北京）股份有限公司状、大小、质地完全相同)的抽奖箱里一次性摸出2个球,若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现;若摸出1个
红球,则可获得50元现金的返现;若没摸出红球,则不能获得任何现金返现.若某观众当天消费600元,记该观众参加抽
奖获得的返现金额为X,求随机变量X的分布列和数学期望.
附: ，其中n=a+b+c+d.
21. (12分)已知椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F ,F ,点B是椭圆C的，上顶点,△BF F 是等边三角形,△
1 2 1 2
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
2 2
𝑎𝑎 +𝑏𝑏
BF F 的内切圆的面积为
1 2
𝜋𝜋
(1)求椭圆C的方程; 3
(2)已知T在x轴负半轴上且|OT|=4|OF |,过T的直线与椭圆交于M, N两点,求△MNF 面积的最大值.
1 1
22. (12分)已知函数f(x)= .
𝑥𝑥−𝑡𝑡
(1)若f(x)在(t, f(t))处的切线𝑒𝑒方程−𝑡𝑡平行于直线x-y+1=0,求t的值以及此时的切线方程;
𝑒𝑒
(2)若方程f(x)=x在(0,+∞)上有两个不同的实数根,求实数t的取值范围.
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