福建福州高三上(质检Ⅰ)-数学试题+答案(1)_2023年9月_029月合集_2024届福建省福州市高三上学期第一次质量监测

{#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}{#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}{#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}{#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}2023－2024 学年第一学期福州市高中毕业班开门考 数 学 试 题 （完卷时间：120分钟；满分:150分） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1到2页，第Ⅱ卷3 至4页． 注意事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生 要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓 名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答 题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，考生必须将答题卡交回． 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1 1. 已知复数z满足 1i ，则在复平面内，z对应的点在 z A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考查意图】本小题以复数为载体，主要考查复数的基本运算、几何意义等基础知识； 考查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等数学核心素养，体现基础性． 【答案】A． 1 1 1i 【解析】由 1i得z  ，应选A． z 1i 2 2. 已知集合A  x x2＜1 ，B x x＞0 ，则AB A．0，1 B．0， C．1， D．， 【考查意图】本小题以不等式为载体，主要考查集合运算等基础知识；考查运算求解能 力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性． 【答案】C． 【解析】A x 1＜x＜1 ，B x x＞0 ，故AB (1,)，应选C． 3. 已知点Px ，2在抛物线C:y2 4x上，则P到C的准线的距离为 0 A．4 B．3 C．2 D．1 1 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}【考查意图】本小题以抛物线为载体，主要考查抛物线的图象和性质、直线与抛物线的 位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想、化归与转化 思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性． 【答案】C． 【解析】抛物线 y2 4x的准线为x1，由PC得x 1，故P到准线的距离为2， 0 应选C． 4. “二十四节气”是中国古代劳动人民伟大的智慧结 晶，其划分如图所示．小明打算在网上搜集一些与 二十四节气有关的古诗．他准备在春季的6个节气 与夏季的6个节气中共选出3个节气，若春季的节 气和夏季的节气各至少选出1个，则小明选取节气 的不同情况的种数是 A．90 B．180 C．270 D．360 【考查意图】本小题以二十四节气为载体，主要考查排列与组合等基础知识；考查运算 求解能力、推理论证能力和应用意识；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和 应用性． 【答案】B． 【解析】根据题意可知，小明可以选取1春2夏或2春1夏．其中1春2夏的不同情况 有：C1 C2 90种；2春1夏的不同情况有：C2C1 90种，所以小明选取节气的不同情 6 6 6 6 况有：9090180种．应选B． 5. 一个正四棱台形油槽可以装煤油190000cm3，其上、下底面边长分别为60cm和40cm， 则该油槽的深度为 75 A． cm B．25cm C．50cm D．75cm 4 【考查意图】本小题以正四棱台形油槽为载体，主要考查空间几何体的体积等基础知识； 考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查数形结合思想、化归与转化思想； 考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和应用性． 【答案】D． 【解析】设正四棱台的高，即深度为h cm，依题意，得190000 h 602 402 6040 ， 3 解得h75，应选D． 6. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个黄球，每次从中随机摸 出1个球，摸出的球不再放回．则第二次摸到黄球的条件下，第一次摸到红球的概率为 2 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}1 1 2 3 A． B． C． D． 3 2 3 4 【考查意图】本小题主要考查条件概率、全概率公式等基础知识；考查推理论证能力、 运算求解能力与创新意识；考查化归与转化思想；考查数学建模、逻辑推理、数据分析等核 心素养，体现综合性、应用性与创新性． 【答案】C． 【解析】解法一：记第i次摸到红球为事件 A ，摸到黄球为事件B （i1，2），则 i i PB  PAP  B A PB P  B B  1  2  1  1  1 ， 2 1 2 1 1 2 1 2 3 2 3 2 PAB PAP  B A  2  2  1 ，故P(A B ) P(A 1 B 2 )  2 ．应选C． 1 2 1 2 1 4 3 3 1 2 P(B ) 3 2 解法二：记第i次摸到红球为事件A ，摸到黄球为事件B （i1，2）．由抽签的公平 i i 2 1 22 1 P(AB ) 2 性可知PB   ，又PAB   ，所以P(A B ) 1 2  ．应选C． 2 4 2 1 2 43 3 1 2 P(B ) 3 2 1 7. 已知a ，bln 2，cln55，则 e A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞a＞b 【考查意图】本小题以数的大小比较为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运 算求解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养， 体现基础性、应用性和综合性． 【答案】A． 1 lne ln2 ln4 ln5 lnx 【解答】解法一：a  ，bln 2   ，cln55 ，令 f x ， e e 2 4 5 x 1lnx fx ，当x≥e时，fx≤0，故 f x在区间e，上单调递减，所以a＞b＞c． x2 解法二：因为 2 1025 1032＞1025 55 ，所以 ln 2＞ln55，即b＞c． 在同一坐标系中作出函数 f x2x，gx x2的图象， 如图所示，由图可知， f e＜ ge，即2e＜e2 ，所以 e 2 1 1 1 1 1 22e ＜e2e，即22 ＜ee ，所以 ln2＜ lne ，即b＜a． 2 e e lnx 1lnx （令 f x ， fx ，当0 xe时， fx0，故 f x在区间0，e上 x x2 1 lne ln2 单调递增，所以a   ln 2 b．） e e 2 3 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}综上，a＞b＞c．应选A． 8. 若定义在R上的函数 f  x sinxcosx（＞0）的图象在区间 0，上恰有5条 对称轴，则的取值范围为 17 21 17 25 17 25 33 41 A．  ，  B． ，  C．  ，  D．  ，   4 4   4 4   4 4   4 4  【考查意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等 基础知识；考查抽象概括能力、推理论证能力、应用意识；考查数形结合思想；考查直观想 象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合性． 【答案】A．  π 【解析】由已知， f  x  2sin x ，  4 π  (4k1)π 令x =kπ ，kZ，得x ，kZ， 4 2 4 (4k1)π 依题意知，有5个整数k满足0≤ ≤π，即0≤4k1≤4，所以k 0，1， 4 17 21 2，3，4，则441≤4＜451，故 ≤＜ ，应选A． 4 4 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 某市抽查一周空气质量指数变化情况，得到一组数据：80，76，73，82，86，75，81．以 下关于这组数据判断正确的有 A．极差为13 B．中位数为82 C．平均数为79 D．方差为124 【考查意图】本小题主要考查极差、中位数、平均数、方差等基础知识；考查推理论证 能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查数据分析等核心素养，体现基础性． 【答案】AC．   10. 已知圆M: x2  y2 1，直线l:yk x 3 1，则   3 A．l恒过定点 3，1 B．若l平分圆周M，则k  3 C．当k  3时，l与圆M相切 D．当 3＜k＜ 3时，l与圆M相交 【考查意图】本小题以直线与圆为载体，考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置 关系等基础知识；考查运算求解能力；考查直观想象、逻辑推理等核心素养；体现基础性和 综合性． 【答案】BC．   【解析】依题意，l恒过定点  3，1 ，选项A错误； 4 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}3 若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心0，0，代入直线方程得k  ，选项B正确； 3 3k1 圆心O0，0到l的距离d  ，当k  3时，d 1r，l与圆M相切，选项C k2 1  2 正确；若l与圆M相交，则d＜1，即 3k1 ＜k2 1，即0＜k＜ 3，故选项D错误． 综上，应选BC． 11. 已知函数 f x x3 3ax2有两个极值点．则 A． f x的图象关于点0，2 对称 B． f x的极值之和为4 C．aR，使得 f x有三个零点 D．当0＜a＜1时， f(x)只有一个零点 【考查意图】本小题以三次函数为载体，主要考查函数与导数等基础知识；考查运算求 解能力、推理论证能力、应用意识；考查数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现 基础性、应用性和综合性． 【答案】ACD． 【解答】 f x的图象可由奇函数gx x3 3ax的图象向上平移2个单位长度得到， 故 f x的图象关于点0，2对称，选项A正确． 设 f x 的极值点分别为 x ，x （ x ＜x ），则由对称性可知 x x 0 ，故 1 2 1 2 1 2 f x  f x 224，即 f x的极值之和为4，选项B错误． 1 2 依题意，方程 fx3x2 3a0有两异根，则a＞0，x  a，x  a， f x在区间 1 2     ，a上单调递增，在区间  a，a 上单调递减，在区间 a， 单调递增．由图象   可知，当 f x ＞0＞ f x 时，f x的图象与x轴有3个交点，即 f x有3个零点，选项 1 2     C正确．当0＜a＜1时， f a a a 3a a 22 1a a ＞0，此时 f x只有一个零 点，选项D正确． 综上，应选ACD． 12. 已知正四棱柱ABCDABCD 的底面边长为2，球O与正四棱柱的上、下底面及侧棱 1 1 1 1 都相切．P为平面CDD 上一点，且直线BP与球O相切，则 1 A．球O的表面积为4π B．直线BD 与BP夹角等于45 1 C．该正四棱柱的侧面积为16 2 D．侧面ABB A与球面的交线长为2π 1 1 【考查意图】本小题以正四棱柱为载体，主要考查球、直线与平面的位置关系等基础知 识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想；考查直观想 象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、应用性和综合性． 【答案】BCD． 5 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}【解答】如图，设球O与下底面相切于点O ，则OO 平面ABCD，连接OA，则OAO 1 1 1 1 为直线OA与平面 ABCD 所成的角．因为球 O 与正四棱柱的侧棱相切，所以其半径 ROO O A 2，所以S 4π28π，四棱柱的侧面积为242 2 16 2，故选项 1 1 表 A错误，C正确． 依题意， BB ，BP 均为球O 的切线， BD 经过球心O，所以BBD PBD ，又 1 1 1 1 1 BD 2 2 BB ，所以PBD BBD  45，选项B正确． 1 1 1 1 1 1 对于选项D，棱AA 的中点F ，即球O与棱AA 的切点应为 1 1 交线上的点，故交线应为过F 的圆．截面圆的圆心即为矩形 1 ABB A的中心E，在Rt△OEF 中，OF R 2，OE  BC 1， 1 1 2 所以截面圆半径r EF  211，周长为2π，该选项正确． 综上，应选BCD． 第Ⅱ卷 注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效． 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量a1，2，b1，2，若ab，则实数的值为 ． 【考查意图】本小题以平面向量为载体，主要考查平面向量的基本运算等基础知识；考 查运算求解能力、推理论证能力；考查数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养，体现基 础性． 【答案】5． 【解析】由ab得1220，解得5． 14. 将圆周16等分，设每份圆弧所对的圆心角为，则sincos的值为 ． 【考查意图】本小题以圆的等分为载体，考查三角恒等变换等基础知识；考查推理论证 能力，抽象概括能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性与应用性． 2 【答案】 ． 4  1 1 π 2 【解析】依题意，得 ，所以sincos sin2 sin  ． 8 2 2 4 4 15. 已知定义域为R的函数 f x同时具有下列三个性质，则 f x ．（写出一个 满足条件的函数即可） ① f x y f x f y；② fx是偶函数；③当x y＞0时， f x f y＜0． 6 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}【考查意图】本小题以函数的性质为载体，考查函数的奇偶性、函数与导数等基础知识； 考查推理论证能力；考查逻辑推理等核心素养；体现基础性、综合性与应用性． 【答案】x（答案不唯一，kxk＜0均可）． x2 y2 16. 已知双曲线C:  1（a＞0，b＞0）的左焦点为F ，两条渐近线分别为l ，l ．点 a2 b2 1 2 A在l 上，点B在l 上，且点 A位于第一象限，原点O与B关于直线 AF 对称．若 1 2 AF 2b，则C的离心率为 ． 【考查意图】本小题以双曲线为载体，主要考查双曲线的离心率、双曲线的图象和性质、 直线与双曲线的位置关系等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思 想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和综合 性． 【答案】2． b 【解答】依题意，l 的方程为 y x， AF l ，设垂足为 P ，则 FP b．因为 1 a 2 AF 2b 2 FP ，所以点F，A关于直线l 对称，FOPAOP，又l ，l 关于y轴对称， 2 1 2 1 b b2 所以l 的倾斜角为 18060，故 tan60 3，所以离心率e 1 2． 1 3 a a2 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （本小题满分10分） 已知等比数列a 的前n项和为S ，且a S 2． n n n1 n （1）求a 的通项公式； n （2）若b log a ，求数列b 的前n项和T ． n 2 2n1 n n 【命题意图】本小题主要考查等差数列、等比数列、递推数列及数列求和等基础知识， 考查运算求解能力、逻辑推理能力和创新能力等，考查化归与转化思想、分类与整合思想、 函数与方程思想、特殊与一般思想等，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性和 综合性．满分10分． a S 2， 【解答】（1）解法一：由a S 2得  2 1 ········································1分 n1 n a S 2， 3 2 设等比数列a 的公比为q， n 所以     a a 1 1   q q 2   1 q   2 1  ， 2， ················································································2分 a 2， a 2， 解得 1 或 1 （舍去）．·························································· 4分 q2， q0 7 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}所以a 2n．··························································································5分 n （2）b log a log 22n1 2n1，························································7分 n 2 2n1 2 故b 1，b b 2n1 2(n1)1 2（n≥2）， 1 n n1 所以b 是首项为1，公差为2的等差数列， n nb b  n12n1 所以T  1 n  n2．······················································10分 n 2 2 解法二：（1）因为a S 2，① n1 n 所以当n≥2时，a S 2，②·······························································1分 n n1 ①－②得a 2a ，················································································ 2分 n1 n a 所以等比数列a 的公比q n1 2．························································3分 n a n 由①式得a a 2，得a 2，·································································4分 2 1 1 所以a 2n．··························································································5分 n （2）T b b b n 1 2 n log a log a log a 2 1 2 3 2 2n1 log aa a  ········································································7分 2 1 3 2n1 log 2132n1 2 12n1n log 2 2 2 n2．·······················································································10分 18. （本小题满分12分） π 记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b 2 ，B ． 6 （1）若c2，求a； （2）求△ABC面积的最大值． 【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理及三角恒等变换等基础知识，考查逻 辑推理能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想等， 考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性和综合性．满分12分． π 【解答】解法一：（1）因为b 2 ，c2，B ， 6 根据余弦定理得b2 a2 c2 2accosB，  2 π 所以 2 a2 22 4acos ，···································································3分 6 8 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}即a2 2 3a20， 解得a 31．······················································································6分 （2）根据余弦定理,得b2 a2 c2 2accosB, π   所以2a2 c2 2accos a2 c2  3ac≥2ac 3ac 2 3 ac，·················8分 6 （当且仅当ac 31时取等号），···························································9分 2   即ac≤ 2 2 3 ， 2 3 1 1 π 1 1   2 3 所以△ABC面积S  acsinB acsin  ac≤ 2 2 3  ， △ABC 2 2 6 4 4 2 2 3 即△ABC面积的最大值为 ．·························································12分 2 π 解法二：（1）因为b 2，c2且B , 6 b c 根据正弦定理,得  , sinB sinC 2 2 2 所以  ，即sinC  ，·····························································1分 π sinC 2 sin 6 π 5π 因为cb，所以CB，所以 C  ， 6 6 π 3π 所以C 或C  ，··············································································2分 4 4 π π π 1 2 3 2 6  2 当C 时，sinAsinBCsin       ， 4 6 4 2 2 2 2 4 a b 根据正弦定理,得  , sinA sinB 6 2 2 所以a bsinA  4  31；······················································4分 sinB π sin 6 3π π 3π 1  2 3 2 6  2 当C  时，sinAsinBCsin           ， 4 6 4  2  2  2 2 4 a b 根据正弦定理,得  , sinA sinB 6 2 2 所以a bsinA  4  31； sinB π sin 6 9 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}综上，a 31．···················································································6分 （2）略，同解法一． π 解法三：（1）因为b 2 ，c2且B , 6 b c 根据正弦定理,得  , sinB sinC 2 2 2 所以  ，即sinC  ，·····························································1分 π sinC 2 sin 6 π 5π 因为cb，所以CB，所以 C  ， 6 6 π 3π 所以C 或C  ，··············································································2分 4 4 π π π 7π 当C 时，AπBCπ   ， 4 6 4 12 a b 根据正弦定理,得  , sinA sinB 7π 2sin 所以a bsinA  12  2 2sin π  π    2 2  sin π cos π cos π sin π   sinB π 3 4  3 4 3 4 sin 6  π π π π 2 2sin cos cos sin  31；······················································4分  3 4 3 4 3π π 3π π 当C  时，AπBCπ   ， 4 6 4  12 a b 根据正弦定理,得  , sinA sinB π 2sin 所以a bsinA  12 2 2sin π  π   2 2  sin π cos π cos π sin π   sinB π 3 4  3 4 3 4 sin 6  π π π π 2 2sin cos cos sin  31；  3 4 3 4 综上，a 31．···················································································6分 a c b 2 （2）根据正弦定理,得     2 2 , sinA sinC sinB π sin 6 所以a2 2sinA，c2 2sinC ， 10 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#} 2 5π  1 3  即ac 2 2 sinAsinC8sinAsin A 8sinA  cosA sinA   6  2 2  1cos2A 2sin2A4 3sin2A 2sin2A4 3 2sin2A2 3cos2A2 3 2 1 3   π 4  sin2A cos2A  2 3 4sin2A 2 3，·································· 8分 2 2   3 5π π π 4π 因为0 A ，所以 2A  ， 6 3 3 3 π π 5π  π 所以当2A  ，即A 时，sin2A  取得最大值为1，即ac最大值为42 3， 3 2 12  3 1 1 π 1 1   2 3 所以△ABC面积S  acsinB acsin  ac≤  42 3  ， △ABC 2 2 6 4 4 2 2 3 即△ABC面积的最大值为 ．·························································12分 2 19. （本小题满分12分） 国际上常采用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体肥瘦程度，其 体重（单位：kg） 计算公式是BMI ．为了解某公司员工的身体肥瘦情况，研究人员从该公 身高（2 单位：m2） 司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名男员工、30名女员工的 身高和体重数据．计算得到他们的BMI值，并根据“中国成人的BMI数值标准”简称“指 标”整理得到如下结果： 指标 偏瘦 正常 偏胖 肥胖 人数 （BMI＜18.5） （18.5≤BMI＜24） （24≤BMI＜28） （BMI≥28） 性别 男 12 17 11 10 女 9 11 7 3 （1）若该公司男员工有1500名，则该公司共有多少名员工？ （2）以频率估计概率，分别从该公司男、女员工中各随机抽取2名员工，求抽到的员 工中至少有一名是肥胖的概率． 【命题意图】本小题主要考查分层抽样、独立事件的概率、互斥事件、对立事件的概率 等基础知识；考查数学建模能力，运算求解能力，逻辑推理能力，创新能力以及阅读能力等； 考查统计与概率思想、分类与整合思想等；考查数学抽象，数学建模和数学运算等核心素养； 体现应用性和创新性．满分12分． 【解】（1）设该公司共有x名员工， 1500 50 依题意得  ，·········································································3分 x 5030 11 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}解得x2400， 所以该公司共有2400名员工．·································································· 5分 40 4 （2）依题意，事件“抽到一名男员工不为肥胖”的概率为  ，事件“抽到一名女 50 5 27 9 员工不为肥胖”的概率为  ，···································································7分 30 10 4 4 16 由事件的独立性，得抽到的两个男员工都不存在肥胖的概率为   ，·········8分 5 5 25 9 9 81 抽到的两个女员工都不存在肥胖的概率为   ，·································9分 10 10 100 设事件M为“抽到的员工中至少有一名是肥胖”，则事件M 为“抽到的员工都不存在 肥胖”，   81 16 324 所以P M    ，···································································10分 100 25 625 324 301 所以PM1  ， 625 625 301 所以抽到的员工中至少有一名是肥胖的概率为 ．·····································12分 625 20. （本小题满分12分） 如图，在底面为菱形的四棱锥M ABCD中，ADBDMB2，MAMD 2 ． （1）求证：平面MAD平面ABCD；   （2）已知MN 2NB，求直线BN 与平面ACN所成角的正弦值． 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，直 线与平面所成角等基础知识；考查空间想象能力，逻辑推理能力，运算求解能力等；考查化 归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等；考查直观想象，逻辑推理，数学运算等 核心素养；体现基础性和综合性．满分12分． 【解答】（1）取AD的中点为O，连结OM,OB， 因为四边形ABCD是为菱形，且ADBD2， 所以△ABD为正三角形，所以BO AD，且BO 3 ． 因为MAMD  2，所以MO AD，·····················································2分 12 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#} 2 所以MO MA2  AO2  2 12 1， 又因为MB2，所以MO2 BO2 MB2， 所以MOBO，···················································································4分 因为ADBOO，AD平面ABCD，BO平面ABCD 所以MO平面ABCD，········································································5分 又因为MO平面MAD， 所以平面MAD平面ABCD．································································6分    （2）由（1）知，OA,OB, OM 两两垂直，故以O为坐标原点，分别以OA,OB,OM 为x，y， z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 则A1,0,0,B  0, 3,0  , C  2, 3,0  , M  0,0,1  , N  0, 2 3 , 1 ,·························7分    3 3 所以C  A    3, 3,0  , C  N    2, 3 , 1 , C  B   2,0,0 ，    3 3 设平面ACN的法向量为n x,y,z ，  3x 3y0，  nCA0，  则  即 3 1 nCN 0， 2x y z0，  3 3   取x1，则n 1, 3,3 ．·····································································9分    因为BM  0, 3,1 ,   BM n 33 3 13 则cos BM ，n     ，··············································11分 BM n 2 13 13 3 13 所以直线BN 与平面ACN所成角的正弦值为 ．··································· 12分 13 21. （本小题满分12分） 13 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}x2 y2 已知椭圆E:  1的右焦点为F ，左、右顶点分别为A，B．点C在E上， 4 3 P4，y ，Q  4，y 分别为直线AC，BC上的点． P Q （1）求y y 的值； P Q （2）设直线BP与E的另一个交点为D，求证：直线CD经过F ． 【命题意图】本小题主要考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与圆、椭圆的位置 关系，平面向量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力，直观想象能力和创新能力 等；考查数形结合思想，函数与方程思想，化归与转化思想等；考查直观想象，逻辑推理， 数学运算等核心素养；体现基础性，综合性与创新性．满分12分． 【解答】（1）依题意，A2，0，B2，0．··············································· 1分 x2 y2 设Cx ，y ，则 1  1 1， 1 1 4 3 y 6y 直线AC 方程为y 1 x2，令x4得y  1 ，·····························2分 x 2 P x 2 1 1 y 2y 直线BC方程为y 1 x2，令x4得y  1 ，·····························3分 x 2 Q x 2 1 1 12y2 所以y y  1 P Q x2 4 1  x2 1231 1   4   ········································································4分 x2 4 1 9， 即y y 的值为9．·············································································5分 P Q （2）设Dx ，y ，P4，t，则 2 2 t t 直线AP方程为y x2，直线BP的方程为y x2， 6 2  t 由   y 6 x2， 得 t2 27  x2 4t2x4t2 1080，···································6分  3x2 4y2 12 4t2 108 542t2 t 18t 所以2x  ，即x  ，故 y  x 2 ．················7分 1 t2 27 1 27t2 1 6 1 27t2  t 由   y 2 x2， 得 t2 3  x2 4t2x4t2 120，  3x2 4y2 12 4t2 12 2t2 6 t 6t 所以2x  ，即x  ，故y  x 2 ．·····················8分 2 t2 3 2 t2 3 2 2 2 t2 3 14 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}所以x 1y x 1y 1 2 2 1 273t2 6t t2 9 18t     27t2 t2 3 t2 3 27t2 6t  273t23t227    0，···························································10分  t2 3  27t2   又F1，0，所以向量FCx 1，y 与FDx 1，y 共线，···················11分 1 1 2 2 所以直线CD经过F ．··········································································12分 解法二：（1）依题意，A2，0，B2，0．··············································· 1分 x2 y2 设Cx ，y ，则 1  1 1， 1 1 4 3 y y 所以k k  1  1 ·····································································2分 AC BC x 2 x 2 1 1 y2  1 x2 4 1  x2 31 1   4   ·······································································3分 x2 4 1 3  ．············································································4分 4 3 y y 即 k k  P  Q ，故y y 的值为9．·····································5分 4 AP BQ 42 42 P Q （2）设Cx ，y ，Dx ，y ，P4，t． 1 1 2 2 要证直线CD经过F1，0，   只需证向量FCx 1，y 与FDx 1，y 共线，··································6分 1 1 2 2 即证x 1y x 1y ．（*）·······························································7分 1 2 2 1 x2 y2 22 02 y 3 x 2 y 因为 1  1 1  ，所以k  1   1  P ， 4 3 4 3 AC x 2 4 y 6 1 1 y 3 x 2 y 同理可得k  2   2  P ，···················································9分 BD x 2 4 y 2 2 2 k x 2y 1 所以 AC  2 1  ，即x y 3x y 6y 2y 0，① k x 2y 3 1 2 2 1 1 2 BD 1 2 同理可得3x y x y 2y 6y 0，②·················································10分 1 2 2 1 1 2 ①－②得4x y 4x y 4y 4y 0，即x 1y x 1y ．···················11分 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 所以（*）式成立，命题得证．·······························································12分 15 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}22. （本小题满分12分） 已知函数 f xlnxa，记曲线y f x在点 x ，f x 处的切线为l ，l在x轴上的 1 1 截距为x （x ＞0）． 2 2 （1）当x e，a1时，求切线方程； 1 （2）证明： x ea ≥ x ea ． 1 2 【命题意图】本小题主要考查导数，函数的单调性、零点、不等式等基础知识；考查逻 辑推理能力，直观想象能力，运算求解能力和创新能力等；考查函数与方程思想，化归与转 化思想，分类与整合思想等；考查逻辑推理，直观想象，数学运算等核心素养；体现基础性、 综合性和创新性．满分12分． 1 【解答】（1） f(x) ，··········································································1分 x 当x e，a1时， f x lne10，即切点为e，0，································2分 1 1 1 所以所求切线斜率k  fe ，································································3分 e 1 1 所以所求的切线方程为y (xe)，即y x1．········································4分 e e （2）由于 f x lnx a， 1 1 1 所以切线l的方程为y(lnx a) (xx )．··············································5分 1 x 1 1 1 令y 0，得(lnx a) (xx )，解得x  x x (lnx a)．（*）·················6分 1 x 1 2 1 1 1 1 由x 0，得x ea1．·············································································7分 2 1 构造函数gxxx(lnxa)， 所以g xaln x， 所以当0＜x＜ea时，gx＞0，gx单调递增；当x＞ea时，gx＜0，gx单 调递减．故gx g  ea ea． max 所以x 2„ea．···························································································8分 若x 1„ea，由（*）式知x 1„x 2 ， 所以x 1„x 2„ea， 故 x 1 ea x 2 ea ．··············································································10分 若x >ea，则 x ea  x ea (x ea)(ea x ) (x x )2ea， 1 1 2 1 2 1 2 16 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}所以 x ea  x ea 2x x (lnx a)2ea ． 1 2 1 1 1 构造函数(x)2xx(lnxa)2ea（ea xea1)， 所以(x)(1a)lnx0， 故(x)在区间(ea ，ea1）上单调递增， 所以(x)(ea)0， 所以2x x (lnx a)2ea 0，即 1 1 1 所以 x ea  x ea 0，即 x ea  x ea ． 1 2 1 2 综上，不等式成立 x 1 ea x 2 ea 成立（当且仅当x 1 ea时取等号）．············12分 17 {#{QQABKYaAggCgAAAAARgCEQUgCEGQkAGAAAgOwFAEoAIBCBNABAA=}#}