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2023-2024 学年秋学期高三年级期初调研考试
数学学科试卷
时间： 120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
.
A B. C. D.
2. 已知复数 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， 成等差数列，则数列 的公比 （
）
A. 1或 B. 或 C. D.
4. 若双曲线 的焦距为6，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 3 D.
5. 向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公
式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量 ，把 绕
其起点沿逆时针方向旋转 角得到向量 ，叫做把点B绕点A沿逆时针
方向旋转 角得到点P.已知平面内点 ，点 ，把点B绕点A沿顺时针方向旋转
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学科网（北京）股份有限公司后得到点P，则点P的坐标为（ ）
.
A B. C. D.
6. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 若关于 的方程 有三个不等的实数解 ，且 ，其中 ，
为自然对数的底数，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
的
9. 已知 ， ， ，下列结论正确 是（ ）
A. 的最小值为9 B. 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司C. 的最小值为 D. 的最小值为
10. “天宫课堂”是为发挥中国空间站的综合效益，推出的首个太空科普教育品牌.为了解学生对“天宫课堂”
的喜爱程度，某学校从全校学生中随机抽取200名学生进行问卷调查，得到以下数据，则（ ）
不喜欢天宫课
喜欢天宫课堂
堂
男生 80 20
女生 70 30
参考公式及数据：① ， .②当 时，
.
A. 从这200名学生中任选1人，已知选到的是男生，则他喜欢天宫课堂的概率为
B. 用样本的频率估计概率，从全校学生中任选3人，恰有2人不喜欢天宫课堂的概率为
C. 根据小概率值 的独立性检验，认为喜欢天宫课堂与性别没有关联
D. 对抽取的喜欢天宫课堂的学生进行天文知识测试，男生的平均成绩为80，女生的平均成绩为90，则参
加测试的学生成绩的均值为85
11. （多选题）如图，正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ， ，且
，以下结论正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
的
B. 点 到平面 距离为定值
C. 三棱锥 的体积是正方体 体积的
D. 异面直线 ， 所成的角为定值
12. 已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知“ ”是假命题,则实数 的取值范围为________.
14. 数据 的第25百分位数是__________.
15. 已知随机变量 ，其中 ，则
___________.
16. 定义在实数集 上的偶函数 满足 ，则 ____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在 中，
（1）求 ；
（2）若 的面积为 ，求 的周长．
18. 已知等差数列 和等比数列 满足 .
（1）求数列 和 的通项公式；
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学科网（北京）股份有限公司（2）记 ，求数列 的前 项和 .
19. 如图1，在 中， ， ， ，P是 边的中点，现把 沿
折成如图2所示的三棱锥 ，使得 .
（1）求证：平面 ⊥平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
20. 现有甲、乙、丙、丁等6人去参加新冠疫苗的接种排队，有A、B、C、D 4个不同的窗口供排队等候接
种，每个窗口至少有一位同学等候．
（1）求甲、乙两人在不同窗口等候的概率；
（2）设随机变量X表示在窗口A排队等候的人数，求随机变量X的期望．
21. 已知椭圆 的左右顶点为A、B，直线l： .已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l
于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.
（1）记直线AM，AN的斜率分别为 、 ，求 的值；
（2）证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.
22. 已知函数 ， 既存在极大值，又存在极小值.
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学科网（北京）股份有限公司的
（1）求实数 取值范围；
（2）当 时， 、 分别为 的极大值点和极小值点，且 ，求实数 的取
值范围.
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学科网（北京）股份有限公司
