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沈丘县长安高中 2024 届高三年级第一次月考
数学试卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求．
1. 已知集合 ， ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定集合N,根据集合的交集运算，可求得答案.
【详解】由题意， ，所以 ,
故选:B
2. 已知命题p： ， ，则命题p的否定 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系可得：
命题“p： ， ”的否定式为“ ， ”.
故选：D.
3. 若函数 在区间 上单调递减，则实数 满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】求出函数的对称轴，依题意可得 ，解得即可.
【详解】解：因为函数 在区间 上单调递减，函数的对称轴为 ，开口向上，
所以 ，解得 ，即 .
故选：A.
4. 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由函数 的定义域求出 的定义域，再由 可得答案.
【详解】因为函数 的定义域为 ，所以 满足 ，即 ，
又函数 有意义，得 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：C
5. 已知函数 满足 ， 恒成立，则函数 是
A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又偶函数 D. 非奇非偶函数
【答案】A
【解析】
【分析】利用奇偶函数的定义，判断 与 的关系．
【详解】解：由已知， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司，
为奇函数；
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的判断；在定义域关于原点对称的情况下，判断 与 的关系，
属于基础题．
6. 已知正实数 、 满足 ，则 最小值为（ ）
A. B. 4
C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】命题人以已知条件为依托，经过巧妙的构思设制一道组合优题，考查了考生灵活的运用均值公式
和探究问题的能力，这体现了数学的理性思维、等价转化、恒等变形的数学核心素养，落实了基础性、探
究开放的考查要求．试题难度：中．
【详解】∵ ，则 ，于是整合得
，当且仅当
时取等号，于是 的最小值为3．故选:D．
7. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2022
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】求出函数的周期，利用周期和 可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 的周期为4，
函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，
.
故选：B.
8. 若 ， 为真命题，则 的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】主元变换，构造关于 的函数 .根据函数性质，只需 与 都大于 即可.
【详解】由题意知， ， 恒成立，
设函数 ，
即 ， 恒成立.
则 ，即 ，
解得 ，或 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 下列说法错误的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司的
A. 解集为
B. 不等式 的解集为
C. 如果 中 ， ，则 的解集是
D. 的解集和不等式组 的解集相同
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A， 的解集为 ，A错误；
对于B， ， 的解集为 ，B正确；
对于C，若 ， ，则 的解集为 ，C错误；
对于D， 的解集为 ；不等式组 的解集为 ，D错误.
故选：ACD.
10. 当 时，不等式 恒成立，则m的范围可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】将 时，不等式 恒成立，转化为 时，不等式 恒成
立求解.
【详解】解：因为 时，不等式 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 时，不等式 恒成立，
令 ，由对勾函数的性质得 在 上递减，
所以 ，则 ，
所以 ，
所以m的范围可以是 ， ，
故选：AB
11. 已知 且 ，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式，判断不等关系，即可求解.
【详解】A. ， ，当且仅当 时等号成立，故A正确；
B. ，当且仅当 时，即 时等号成立，故B
错误；
C. ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，故C正确；
D. ，当且仅当 时，等号成立，故D正确.
故选：ACD
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学科网（北京）股份有限公司12. 设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
.若 ，则下列关于 的说法正确的有（ ）
A. 的一个周期为4 B. 是函数的一条对称轴
C. 时， D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由 为奇函数， 为偶函数，可求得 的周期为4，即可判断函数 的对称
性，由 为奇函数，可得 ，结合 ，可求得 ， 的值，从而得到
时， 的解析式，再利用周期性从而求出 的值．
【详解】对于A， 为奇函数， ，且 ，函数 关于点
，
偶函数， ，函数 关于直线 对称，
，
即 ， ，
令 ，则 ， ，
，故 的一个周期为4，故A正确；
对于B，则直线 是函数 的一个对称轴，故B正确；
对于C、D，∵当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ，
又 ， ，解得 ，
， ，
当 时， ，故C不正确；
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 集合 ， ，若 ，则实数 的范围是_____
【答案】
【解析】
【分析】由 可知集合 与集合 没有公共的元素,由此可得 的范围
【详解】由题,因为 ,
所以
故答案为：
【点睛】本题考查由集合的运算结果求参数问题,做题时合理利用数轴会更清晰直观地得到结果
14. 若 是偶函数且在 上单调递增，又 ，则不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可；
【详解】因为 是偶函数，所以
所以 ，
又因为在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
解得： ，
故答案为： .
15. 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等
式组，求出实数 的取值范围.
【详解】根据题意得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
16. 函数 ，在区间 上的最大值为 ，最小值为 .则
_____.
【答案】
【解析】
【分析】
可将原函数化为 ，可设 ，可判断 为奇函数，再根据
奇函数与最值性质进行求解即可．
【详解】因为
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学科网（北京）股份有限公司设 ，
所以 ；
则 是奇函数，
所以 在区间 上的最大值为 ，即 ，
在区间 上的最小值为 ，即 ，
∵ 是奇函数，
∴ ， 则 .
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分．解答应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知全集 ，集合 ．
（1）求 , ；
（2）已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并补运算，即可得到本题答案；
（2）结合题意，列出不等式组求解，即可得到本题答案.
【小问1详解】
全集 ，集合 ；
∴ ；
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学科网（北京）股份有限公司，
∴ ；
【小问2详解】
∵ ，
又集合 ，且 ，
∴ ，解得 ，
∴实数 的取值范围是 ．
18. 已知函数 （ ）是定义在 上的奇函数，且 .
（1）求 ， 的值；
（2）判断函数 在 的单调性，并证明.
【答案】(1) ， ；(2)单调递增，证明见解析.
【解析】
【分析】(1)由奇函数的性质及所给 的值列式即可得解；
(2)利用函数单调性定义通过“取值，作差，判断符号”的步骤即可作答.
【详解】(1)因函数 是 上的奇函数，于是有 ，解得 ，即有 ，
，解得 ，此时 是 上的奇函数，
所以 ， ；
(2)函数 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司， ，而 ，
， ，
于是得 ，即 ，
所以函数 在 上单调递增.
19. 已知函数 .
（1）当 时，求 在 上的最值；
（2）若 在 上有最大值2，求实数 的值.
【答案】（1）最大值为1，最小值为 ；
（2） 或2.
【解析】
【分析】（1）把 代入函数式，再利用二次函数性质求出最值作答.
（2）根据二次函数图象对称轴与区间的关系分类，探讨取得最大值2的a值作答.
【小问1详解】
当 时，函数 ， ，
显然函数 在 上递增，在 上递减，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 的最大值为1，最小值为 .
【小问2详解】
函数 ， ，
当 时，函数 在 上单调递减， ，由 ，得 ，则 ；
当 时，函数 在 上单调递增， ，即有 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，由 ，解得 ，无解，
所以实数 的值为 或2.
20. 已知函数 是奇函数．
（1）求实数 的值；
（2）当 时， ，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数的定义可得出 ，结合对数的运算性质可求得 的值，对参数的
值进行检验，即可得出实数 的值；
（2）求出函数 在 上 值域为 ，令 ，则 ，由已知不等
的
式结合参变量分离法可得出 在 上恒成立，求出函数 在 上的最大值，即可
得出实数 的取值范围.
【小问1详解】
解：由 是奇函数，得 ，
即 ，所以 ，
整理得 ，对于 定义域内的每一个 恒成立，
所以 ，解得 ．
当 时， 为奇函数，符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ， 不存 在．
综上， .
【小问2详解】
解： ，其中 ，
易知 在 上单调递减，所以 ．
设 ，则 ，
由 ，得 在 上恒成立，
令 ，其中 ，
因为函数 、 均为 上的增函数，故 在 上单调递增，
所以 ，则 ，
故实数 的取值范围为 ．
21. 已知函数 .
（1）当 时，求关于x的不等式 的解集；
（2）求关于x的不等式 的解集；
（3）若 在区间 上恒成立，求实数a的范围.
【答案】（1） ；
（2）答案见解析； （3） .
【解析】
【分析】（1）把 代入可构造不等式 ，解对应的方程，进而根据二次不等式“大于看
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学科网（北京）股份有限公司两边”得到原不等式的解集.
（2）根据函数 ，分类讨论可得不等式的解
集.
（3）若 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，利用换元法，结
合基本不等式，求出函数的最值，可得实数a的范围.
【小问1详解】
当 时，则 ，
由 ，得 ，
原不等式的解集为 ；
【小问2详解】
由 ，
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 ；
当 时，原不等式的解集为 .
【小问3详解】
由 即 在 上恒成立，得 .
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
则 ，.故实数a的范围是
22. 已知奇函数 和偶函数 满足
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学科网（北京）股份有限公司（1）求 和 的解析式；
（2）判断并证明 在 上的单调性
（3）若对于任意的 ，存在 ，使得 ，求实数 的取值范围
【答案】（1） ，
（2） 在 上单调递增，证明见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件用 替换 ，构造一个关于 、 的方程，再利用函数的奇偶性
化简，与已知方程联立即可求得答案；
（2）先判断，在利用定义法证明；
（3）设A= ，B= ，由 可知，
A ，列出不等式组即可求出k的范围．
【小问1详解】
由奇函数 和偶函数 可知，
， ，
因为 ，①
用 替换 得
故 ，即 ，②
联立解得， ，
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司在 上单调递增；证明如下：
取
所以
因为
所以 ，
所以
所以 在 上单调递增
【小问3详解】
设A= ，
令 ，则 化为 ，
易知 在 上单调递增，
故 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司故 ；
设B= ，
令 ，则 化为 ，
易知 在 单调递增，
故 ，
则 时， ．
若对于任意的 ，存在 ，
使得 可知A ，
则A ，则显然 ，则B= ，
则 ，
则 ，解得 ．
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学科网（北京）股份有限公司
