文档内容
2024 年高三教学测试
数学试题卷
（2024.4）
本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自已的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答
题纸规定的位置.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试
题卷上的作答一律无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知函数 是奇函数，则 的值可以是（ ）
A.0 B. C. D.
3.设 ，则“ ”是“ 是纯虚数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若正数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.2
5.如图，这是一个水上漂浮式警示浮标，它的主体由上面一个圆锥和下面一个半球体组成.已知该浮标上面
圆锥的侧面积是下面半球面面积的2倍，则圆锥的体积与半球体的体积的比值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
6.已知圆 ，若圆 上存在点 使得 ，则 的
取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.6位学生在游乐场游玩 三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个项目都有人游玩，若 项目必
须有偶数人游玩，则不同的游玩方式有（ ）
A.180种 B.210种 C.240种 D.360种
8.已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知一组数据 ，其中位数为 ，平均数为 ，极差为 ，方差为 .现从中删去某一个数，得
到一组新数据，其中位数为 ，平均数为 ，极差为 ，方差为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A.若删去3，则
B.若删去9，则
C.无论删去哪个数，均有
D.若 ，则
10.已知角 的顶点与原点重合，它的始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，定
义： .对于函数 ，则（ ）
A.函数 的图象关于点 对称
学科网（北京）股份有限公司B.函数 在区间 上单调递增
C.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到一个偶函数的图象
D.方程 在区间 上有两个不同的实数解
11.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反
之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.如图，已知抛物线
的准线为 为坐标原点，在 轴上方有两束平行于 轴的入射光线 和 ，分别经
上的点 和点 反射后，再经 上相应的点 和点 反射，最后沿直线 和 射出，
且 与 之间的距离等于 与 之间的距离.则下列说法中正确的是（ ）
A.若直线 与准线 相交于点 ，则 三点共线
B.若直线 与准线 相交于点 ，则 平分
C.
D.若直线 的方程为 ，则
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知平面向量 是非零向量，且 与 的夹角相等，则 的坐标
可以为__________.（只需写出一个符合要求的答案）
13.设数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ，若 ，
，则 __________.
学科网（北京）股份有限公司14.在四面体 中， ，且 与 所成的角为 .若四面体
的体积为 ，则它的外接球半径的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 .
（1）求 的值；
（2）若 为锐角三角形， ，求 的值.
16.（15分）
在如图所示的几何体中，四边形 为平行四边形， 平面 ，
.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
17.（15分）
春季流感对广大民众的健康生活带来一定的影响，为了有效预防流感，很多民众注射了流感疫苗.某市防疫
部门从辖区居民中随机抽取了1000人进行调查，发现其中注射疫苗的800人中有220人感染流感，另外没
注射疫苗的200人中有80人感染流感.医学研究表明，流感的检测结果是有错检的可能，已知患有流感的
人其检测结果有 呈阳性（感染），而没有患流感的人其检测结果有 呈阴性（未感染）.
（1）估计该市流感感染率是多少？
（2）根据所给数据，判断是否有 的把握认为注射流感疫苗与预防流感有关；
（3）已知某人的流感检测结果呈阳性，求此人真的患有流感的概率.（精确到0.001）
附： ，
学科网（北京）股份有限公司0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
18.（17分）
已知双曲线 的虚轴长为4，浙近线方程为 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）过右焦点 的直线 与双曲线 的左､右两支分别交于点 ，点 是线段 的中点，过点 且
与 垂直的直线 交直线 于点 ，点 满足 ，求四边形 面积的最小值.
19.（17分）
已知集合 ，定义：当 时，把集合 中所有的数从小到大排
列成数列 ，数列 的前 项和为 .例如： 时，
，
.
（1）写出 ，并求 ；
（2）判断88是否为数列 中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；
（3）若2024是数列 中的某一项 ，求 及 的值.
学科网（北京）股份有限公司2024 年高三教学测试
数学参考答案
（2024.4）
一､单选题（40分）
1-8DCBA DBCD
第8题：由 变形得 ，从而有 ，
，所以 ，所以 ，则 ，
又 ，所以 在 上单调递增，在 单调递减，所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司又 ，又 ，所以 ，所以
，故选D.
二､多选题（18分）
9.ACD 10.AB 11.ACD
第11题：对于选项 ，因为直线 经过焦点，设直线 ，与抛物线 联立得
，
由题意得 ，
，所以 ，
即 三点共线， 正确；
对于选项 ，因为 ，
所以 ，所以 ，与 和 相交于 点矛盾， 错误；
对于选项 与 距离等于 与 距离，则 ，
所以 正确；
对于选项D， ，
学科网（北京）股份有限公司，
，D正确.故选ACD
三､填空题（15分）
12. 均可 13. 14.3
第14题：依题意，可将四面体 补形为如图所示的直三棱柱 ，因为 与 所成的
角为 ，所以 或 ，设 ，外接球半径记为 ，
外接球的球心如图点 .
，得 ，
在Rt 中， ，
所以当 时，外接球的半径会更小.
在 中，由余弦定理得 ，
所以 ，所以 .
四､解答题（77分）
15.（13分）
解析：（1） ，即 ，解得 或 ；
（2）解法一：由正弦定理得 ，
学科网（北京）股份有限公司，因为 ，所以 ；
，解得 ，所以 .
解法二：由余弦定理得 ，因为 ，所以
，又 ，所以 ，所以 .
16.（15分）
解析：（1）解法一： ，
，
底面 ，
平面 平面 ，
平面 平面 .
解法二： .
学科网（北京）股份有限公司如图建立空间直角坐标系， ，
，则 ，
设 是平面 的法向量，则
，取 ，
设 是平面 的法向量，则
，取 ，
所以 ，所以平面 平面 .
（2）解法一：在直角梯形 中，解得 ，
过 作 分别平行于 ，连结 ，作
交 于 点，连结 ，
平面 ，
平面 ，
，
为平面 与平面 的夹角，
，在 中解得 ，
学科网（北京）股份有限公司.
（2）解法二：在直角梯形 中，解得 ，
如图建立空间直角坐标系， ，
，
平面 的法向量为 ，
，
设平面 的法向量为 ，
，
，
即平面 与平面 夹角的余弦值为 .
17.（15分）
解析：（1）估计流感的感染率 .
（2）列联表：
流感情况
疫苗情况 合计
患有流感 不患有流感
打疫苗 220 580 800
不打疫苗 80 120 200
学科网（北京）股份有限公司合计 300 700 1000
根据列联表，计算 .
因为 ，所以有 的把握认为注射流感疫苗与流感发病人数有关.
（3）设事件 为“一次检测结果呈阳性”，事件 为“被检测者确实患有流感”，
由题意得 ，
，
由全概率公式得 ，
，所以此人真的患有流感的概率是 .
18.（17分）
解析：（1）易知双曲线的标准方程为 .
（2）设 ，联立方程 得
，
且 ，
由 三点共线得 ①，
由 得 ，即 ②，
由①②解得 .
由 可知，四边形 是平行四边形，所以 ，
学科网（北京）股份有限公司，
，
所以 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号.
19.（17分）
解析：（1）因为 ，此时 ，
，
.
（2）当 时， ，
是数列 中的项，
学科网（北京）股份有限公司比它小的项分别有 个，
有 个，
有 个，
所以比88小的项共有 个，故88是数列 的第30项.
（3） 是数列 中的项，故 ，
则当 时， ，
方法一：比它小的项分别有以下7种情况：
① 个数字任取7个得 个，
② ，得 个，
③ ，得 个，
④ ，得 个，
⑤ ，得 个，
⑥ ，得 个，
⑦ ，得 个，
所以比2024小的项共有 个，
其中
故2024是数列 的第329项，即 .
方法二： 共有元素 个，
最大的是 ，其次为 ，
学科网（北京）股份有限公司所以2024是数列 的第 项，即 .
在总共 项中，含有 的项共有 个，同理 都各有 个，所以
，则
.
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