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2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型专用）02
数学·答案及评分标准
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
D B A D A B C C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
AD ACD ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）当 时， ，……………………1分
求导得 ，…………………………………2分
则 ，………………………………………………3分
而 ，………………………………………………4分
于是 ，即 ，
所以 的图象在点 处的切线方程是 .……………5分
（2）函数 定义域为 ，求导得 ，…………6分由 ，得 ，…………7分
令 ，…………8分
求导得 ，…………9分
令函数 ，
显然函数 在 上单调递增，而 ，
则当 时， ， ，
当 时， ， ，
函数 在 上递减，在 上递增， ，…………11分
因此 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .…………13分
16．（15分）
【解析】（1）∵抛物线 的焦点为 ，…………………………………1分
∴椭圆 的半焦距为 ，…………………………………2分
又 ，得 ， .…………………………………4分
∴椭圆 的方程为 …………………………………5分
（2）证明：由题意可知，直线 的斜率存在且不为0，
设直线 的方程为 ，…………………………………6分
联立 ，得 .…………………………………8分
，即 ，…………………………………9分
设 ， ，
则 ， ，…………………………………11分
∴ ，…………………………………12分∴ .…………………………………14分
∴ 为定值…………………………………15分
17．（15分）
【解析】（1）延长 交于一点P，连接BD交AC于O；…………………………………1分
由正四棱台定义可知，四条侧棱交于点P，且四棱锥 为正四棱锥，……………………2分
即 ，又点O分别为 的中点，
故 ，而 ， 平面 ，
故 平面 ，……………………4分
又 平面 ，……………………5分
故平面 平面 ，即平面 平面 ；……………………5分
（2）由（1）知 两两垂直，故分别以 为 轴建立空间直角坐标系，……………………6分
设棱台的高为h，则 ，
又平面 的法向量可取为 ，而 ，……………………8分
由题意知直线 与平面 所成角的正切值为 ，
则其正弦值为 ，
则 ，解得 ，……………………10分
所以 ，……………………11分
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，……………………13分
故 ，而二面角范围为 ，……………………14分
故二面角 的正弦值为 .……………………15分17．（17分）
【解析】（1）依据表中数据， ，…………2分
依据 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为在不同区域
就餐与学生性别没有关联．……………………3分
（2）设 “第 天去甲餐厅用餐”， “第 天去乙餐厅用餐”， “第 天去丙餐厅用餐”，
则 两两独立， ．
根据题意得 ，
．……………………5分
（ⅰ）由 ，结合全概率公式，得
，
因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为 ．……………………8分
（ⅱ）记第 天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为 ，
则 ，……………………9分
由全概率公式，得故 ①
同理 ②
③
④
由①②， ，
由④， ，……………………12分
代入②，得： ，即 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，……………………13分
即 ，所以 ……………………14分
于是，当 时
……………………16分
综上所述： ……………………17分
19．（17分）资料来源：微信公众号 智慧学库
【解析】（1）因为 ，则 ，又 ，所以 ，故函数 具有性质 ；……………………2分
因为 ，则 ，又 ，
，故 不具有性质 .……………………4分
（2）若函数 具有性质 ，则 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 ；……………………5分
若 ，不妨设 ，由 ，
得 （*），
只要 充分大时， 将大于1，而 的值域为 ，
故等式（*）不可能成立，所以必有 成立，
即 ，……………………7分
因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，此时 ，……………………8分
则 ，
而 ，即有 成立，
所以存在 ， 使函数 具有性质 .……………………9分
（3）证明：由函数 具有性质 及（2）可知， ，……………………10分
由 可知函数 是以 为周期的周期函数，则 ，
即 ，所以 ， ；……………………11分由 ， 以及题设可知，
函数 在 的值域为 ，所以 且 ；
当 ， 及 时，均有 ，
这与 在区间 上有且只有一个零点矛盾，因此 或 ；……………………13分
当 时， ，函数 在 的值域为 ，
此时函数 的值域为 ，……………………14分
而 ，于是函数 在 的值域为 ，
此时函数 的值域为 ，……………………15分
函数 在当 时和 时的取值范围不同，
与函数 是以 为周期的周期函数矛盾，……………………16分
故 ，即 ，命题得证.……………………17分
