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机密"启用前!新教材卷"
华大新高考联盟#$#%届高三&月教学质量测评
数学参考答案和评分标准
一#选择题
题号 ! # & % ’ ( " ) * !$ !!
答案 + , - . , . + . ., .+, .-
!!#答案$+
#命题意图$本题考查复数的概念%复数的四则运算&考查数学运算%逻辑推理的核心素养!
&01#$#& !&21"!#01" (0&12#12! " ! !
#解析$依题意&"/ / / / 0 1&则"的虚部为0 &故选+!
#21 !#21"!#01" ’ ’ ’ ’
#!#答案$,
#命题意图$本题考查不等式的解法%集合的运算%韦恩图&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
’ *(
#解析$依题意&#/’$$##(&%/’$ !#$0*"!$2!"$$(/ $ 0!$$$ &故阴影部分表示的集合
#
’ *(
为 $$# &故选,!
#
&!#答案$-
#命题意图$本题考查正态分布的图象与性质&考查逻辑推理%直观想象的核心素养!
!
#解析$由 !& /#$!’ /&&故曲线( ! 的对称轴在曲线( # 的左侧&排除+%,)由"# & /%%" ’ #/ * &故曲线( #
比曲线( 瘦高&曲线( 比曲线( 矮胖&排除.&故选-!
! ! #
%!#答案$.
#命题意图$本题考查平面向量的数量积%平面向量的概念&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心
素养!
(#2## !
#解析$依题意&!2"/ !$&(2#"&345*!2"&"+/ /0 &则0($#$$&故
#2( ,槡*2## #
!(2#"# # !
/ /0 &解得#/0槡&&故选.!
!(2#"槡*2## 槡*2## #
’!#答案$,
#命题意图$本题考查三角函数的诱导公式%三角函数恒等变换&考查数学运算%逻辑推理的核心素养!
! !"
345$0
# 516$ ! 槡’0! 槡’2! &2槡’
#解析$ / / / &得345$/ &则345#$/ &516#$/!0345#$/
516#$ #516$345$ #345$ # % )
’0槡’ ’0槡’ &2槡’ !!0槡’
&故516%$2345%$/!516#$2345#$"#0#516#$345#$/!0#7 7 / &故选,!
) ) ) !(
(!#答案$.
#命题意图$本题考查抛物线的方程%焦点弦的性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
+ -. # !0345% # &
#解析$记直线)*的倾斜角为%&不妨设$8$%$*$8&则 &,-./ / &即 / &得345%/ &
+ /. ’ !2345% ’ "
&,/.
数学参考答案和评分标准!第!!!!!页!共"页"
{#{QQABCYCUoggIABJAAQhCUwHaCgOQkAACAKoGAEAIMAAByQFABAA=}#}
书书书#槡!$ #0 %* 0# !(
则516%/槡!0345#%/ &则 -/ / / &解得0/%&故+ /#+ /#, / /
" 516#% ’ &1-/ &,-/ #516% #槡!$
"
#)槡!$
&故选.!
’
"!#答案$+ y
#命题意图$本题考查点到直线的距离%圆的方程&考查数学运算%逻辑 3
推理%直观想象的核心素养! 2
l
#解析$易知点!2&3"在曲线(-$#24#0 $ 0 4 /$上&曲线(关于
1
2230&
原点中心对称)而5/ 表示曲线(上的点!2&3"到直线)-$2
x
槡#
2 O 2
40&/$的距离&可知临界状态为直线)与曲线(分别在第一%三象限
1
C
槡# ’槡#
相切&则5的最小值为 &最大值为 &故 2230& 的最小值与最大
# # 2
值之和为!2’/(&故选+!
)!#答案$.
#命题意图$本题考查抛物线的图象与性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
#解析$作点6关于线段7%的对称点6&过点6 作7(&#%的垂线&垂足分别为.&8&则9629./
! ! ! ! ! !
槡# 槡# ! ! !
6929.#6.&设’6%#/%&则516%/516!’#%70’(%7"/ 7 0 7 / &故
! ! ! ! ! ! ! 槡& 槡& 槡& 槡& &
6
!
8/%6
!
516%/ #
&
槡# &6
!
.
!
/%槡#0 #
&
槡# / !$
&
槡# &故实数#的取值范围为 ! 09& !$
&
槡# . &故选.!
二#选择题
*!#答案$.,
#命题意图$本题考查基本不等式&考查数学运算%逻辑推理的核心素养!
#解析$ ! 2 ! /# & ###槡 ! , ! &则:;# ! &当且仅当:/;/ 槡# 时等号成立&故.正确):#2;##
: ; : ; # #
槡# 槡# &
#:;#!&当且仅当:/;/ 时等号成立&故-错误)若:/;/ &则:2;/槡#$ &故+错误)
# # #
!:0;"# !! !"# !! !"# % ! ! !
#:;( 0 #%:;( 2 #%:;2 (:;2 )#&而:;2 ##槡:;, /
#:; : ; : ; :; :; :; :;
#&当且仅当:;/!时等号成立&故,正确)故选.,!
!$!#答案$.+,
#命题意图$本题考查空间几何体的表面积与体积&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
槡&
#解析$该正八面体结构的表面积+/)7 7:#/#槡&:#&故.正确)该正八面体结构的体积/%!7 / &故
+ #槡&:# #槡& #槡& &
,正确)故选.+,!
!!!#答案$.-
#命题意图$本题考查利用导数研究函数的性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
数学参考答案和评分标准!第!!!!#页!共"页"
{#{QQABCYCUoggIABJAAQhCUwHaCgOQkAACAKoGAEAIMAAByQFABAA=}#}:$0# ! :$0# :$0#
#解析$依题意& 2!0#2$2;6$#$在!$&29"上恒成立&当2) 时& 2!0#2$2;6$# 2
$ # $ $
!0$2;6$/:$0#0;6$2!0$2;6$&令?!@"/:@0@0!&?*!@"/:@0!&故当@*!09&$"时&?*!@"$$&当
!
@*!$&29"时&?*!@"%$&故?!@"#?!$"/$&故:$0#0;6$2!0$2;6$#$&则不等式成立)当2% 时&
#
令A!$"/$0#0;6$&因为A!!"/0!$$&A!%"/#0#;6#%$&故A!$"在!!&%"内必有零点&设为$&
$
则$0#/;6$&则:$ $ 0#/$&故
:$
$
0#
2!0#2$2;6$/!!0#2"$$$&不合题意&舍去)综上所述&2)
$ $ $ $ $ $ $
$
!
&故选.-!
#
三#填空题
!
!#!#答案$ !
#
#命题意图$本题考查函数的奇偶性&考查数学运算%逻辑推理的核心素养!
! #:"
#解析$易知B!$"为奇函数&则C!$"/;4&D.. 和=>&D.1中&由勾股定理可得&
! # ! ! # !
0!#:0#2"#2%:#/%E#&
E
/!#:0#2"#2:#/!:2#2"#&解得E/槡!&2&则F/ /槡!&!
2
1E#/2#23#&
四#解答题
!’!#命题意图$本题考查相互独立事件的概率%二项分布%离散型随机变量的期望&考查数学运算%逻辑推理%
数学建模的核心素养!
#解析$!!"依题意&小甲获胜&次且失利!次&
则.!0"/+&0&!!00"/0%0%2%0&&$$0$!&…………………………………………………… !#分"
%
故.*!0"/0!(0&2!#0#/%0#!0%02&"&………………………………………………………… !&分"
&
令.*!0"/$&解得0/ & …………………………………………………………………………… !%分"
%
! &" !& "
故当0* $& 时&.*!0"%$&当0* &! 时&.*!0"$$&……………………………………… !(分"
% %
数学参考答案和评分标准!第!!!!&页!共"页"
{#{QQABCYCUoggIABJAAQhCUwHaCgOQkAACAKoGAEAIMAAByQFABAA=}#}! &" !& " &
则.!0"在 $& 上单调递增&在 &! 上单调递减&故0/ )………………………………… !"分"
% % $ %
! & &
!#"由!!"可知&小甲参加#&%&(游戏获胜的概率分别为 & & )……………………………… !)分"
# " )
记G/代金券金额0!$$&
! !
若小甲参加#游戏&则6!G"/ 7’$2 7!0!$$"/0#’)
! # #
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若小甲参加%游戏&则6!G"/ 7!$$2 7!0!$$"/0 )
# " " "
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若小甲参加(游戏&则6!G"/ 7#$$2 7!0!$$"/ )…………………………………… !!#分"
& ) ) #
因为6!G"$6!G"$6!G"&故小甲选择(游戏获利的期望最大!…………………………… !!&分"
! # &
!(!#命题意图$本题考查空间线面的位置关系%向量法求空间角&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心
素养!
#解析$!!"依题意&%(/#&%(/!&#%/槡’&
! ! ! !
证明-如图所示&延长三条侧棱交于点7)
由##/%%/((可得&7#/7%/7(&且#&%&( 分别为线段7#&7%&7(的中点&
! ! ! ! ! !
取#%的中点-&则7-.#%) ……………………………………………………………………… !#分"
又?#(#2%(#/#%#&@(#.(%)
@#-/(-&则&7#-2&7(-&故’7-#/’7-(/*$8&
即7-.-(&而#%3-(/-&故7-.平面#%(& ……………………………………………… !%分"
又7-4平面#%%#&故平面#%%#.平面#%()……………………………………………… !’分"
! ! ! !
而直线)4平面#%%#&).#%&平面#%%#3平面#%(/#%&
! ! ! !
故直线).平面#%() ………………………………………………………………………………… !(分"
!#"以(为坐标原点&(#%(%所在直线分别为$%4轴&过点(作垂 [
D
直于平面#%(的直线为"轴&建立如图所示空间直角坐标系)
! ! " ! ! "
则#!%&$&$"&7!#&!&("&%!$&#&$"&# && && &( !& && )
! # ! #
……………………………………………………………… !"分"
A C
1 1
设"/!$&4&""为平面#%%的一个法向量)
! ! ! ! ! ! B
,,+ 1
0#%,"/0%$2#4/$&
! ! !
由/,,+ 求得平面#
!
%
!
%的一个法向量
1#7," ! /0#$ ! 24 ! 2(" ! /$& x
C
"/!!&#&$"& ……………………………………………… !!$分" A
!
设"/!$&4&""为平面#(%的一个法向量) M
# # # # ! !
0 % ,, ( + ,"/$0 & 42&"/$& B
! # # # #
由/ 求得平面#(%的一个法向量 y
,,+ & ! !
%#,"/&$0 42&"/$&
1 ! # # # #
"/!$&#&!"&………………………………………………………………………………………… !!&分"
#
% %
而 345*"&"+/ &所以平面#%%与平面#(%所成角的余弦值为 !…………………… !!’分"
! # ’ ! ! ! ! ’
!"!#命题意图$本题考查椭圆的方程%直线与椭圆的综合性问题&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心
素养!
#解析$!!"依题意&#! 0槡#&$ "&#! 槡#&$ "&.!0!&$"&.!!&$") ……………………………… !!分"
! # ! #
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{#{QQABCYCUoggIABJAAQhCUwHaCgOQkAACAKoGAEAIMAAByQFABAA=}#}$# #0$#
设1!$&4"&则 !24#/!&即4#/ !) ………………………………………………………… !#分"
! ! # ! ! #
4 &槡#4
直线1#-4/ ! ! $2槡# "&令$/#槡#&则4/ !)……………………………………… !&分"
! 7
$2槡# $2槡#
! !
4 槡#4
直线1#-4/ ! ! $0槡# "&令$/#槡#&则4/ ! )……………………………………… !%分"
# 6
$0槡# $0槡#
! !
#0$#
&槡#4 槡#4 (4#
(,
#
!
故44 / !, ! / ! / /0&)…………………………………………… !(分"
7 6 $
!
2槡# $
!
0槡# $#
!
0# $#
!
0#
!#"设点D!$&4"&依题意知直线1D的方程为$/:42!!:5$")
# #
$#
与椭圆 24#/!联立&消去$整理得!:#2#"4#2#:40!/$)………………………………… !"分"
#
#: !
显然&%$成立&故424/0 &44/0 &…………………………………………… !)分"
! # :#2# ! # :#2#
由椭圆定义得&1D. 的周长为%2/%槡#)
!
槡& ! 槡& 槡(
而&1D. 的内切圆半径为 &则&1D. 的面积+/ 7 7%槡#/ )……………………… !*分"
! % ! # % #
! 槡(
又由+/ , .. , 404 / 404 &得 404 / ) ……………………………… !!$分"
# ! # # ! ! # # ! #
& ! #: "# % &
从而得!424"#0%44/ &即 0 2 / &…………………………………… !!#分"
# ! ! # # :#2# :#2# #
整理得&:%0%:#0%/$&解得:#/#&故:/A槡#&……………………………………………… !!%分"
故直线1D的方程为$A槡#40!/$! ……………………………………………………………… !!’分"
!)!#命题意图$本题考查利用导数研究函数的性质&考查数学运算%逻辑推理%直观想象的核心素养!
#解析$!!"依题意&B!$"/;6!$2!"0$&$*!0!&29"&
!
故B*!$"/ 0!&…………………………………………………………………………………… !!分"
$2!
令B*!$"/$&解得$/$&故当$*!0!&$"时&B*!$"%$&当$*!$&29"时&B*!$"$$&
故B!$"在!0!&$"上单调递增&在!$&29"上单调递减&………………………………………… !&分"
故B!$")B!$"/$)…………………………………………………………………………………… !%分"
# !$ # !$
!#"依题意&B!$"2 516 /$(&;6!$2!"2:$2 516 /$ ……………………………… !’分"
&! # ! #
# !$
令C!$"/&;6!$2!"2:$2 516 &
! #
& !$ & ! !$
C*!$"/ 2345 2:&C>!$"/0 0 516 &………………………………………… !(分"
$2! # !$2!"# # #
0& 0& ! !$ !! "
当$*!0!&$"时& $ /0&&0 516 * &$ &则C>!$"$$&
!$2!"# ! # # #
0& ! !$
当$*!$&#"时& $$&0 516 $$&则C>!$"$$&故C*!$"在!0!&#"上单调递减!…… !)分"
!$2!"# # #
"当:#$时&$*!0!&#"时&C*!$"%C*!#"/:#$&所以C!$"单调递增!
又因为C!$"/$&所以C!$"仅有!个零点) ………………………………………………………… !*分"
#当0%$:$$时&因为C*!$"/%2:%$&C*!#"/:$$&故C*!$"存在唯一的零点$&且$$$$#&当
$ $
$*!0!&$"时&C*!$"%$&所以C!$"单调递增)当$*!$&#"时&C*!$"$$&所以C!$"单调递减)
$ $
数学参考答案和评分标准!第!!!!’页!共"页"
{#{QQABCYCUoggIABJAAQhCUwHaCgOQkAACAKoGAEAIMAAByQFABAA=}#}因为C!$"/$&故C!$"在!0!&$"上有唯一的零点$&又C!$"%C!$"/$&
$ $
&;6&
所以若C!#"/&;6&2#:$$&即0%$:$0 时&C!$"在/$&#"上有唯一的零点&C!$"在!0!&#"上
# $
&;6&
有#个零点)若0 ):$$&C!$"在/$&#"上无零点&C!$"在!0!&#"上有!个零点)……… !!#分"
# $
$当:/0%时&C*!$"/%2:/$&当$*!0!&$"时&C*!$"%$&所以C!$"单调递增)
当$*!$&#"时&C*!$"$$&所以C!$"单调递减&故C!$")C!$"/$&当且仅当$/$时取等号&
故此时C!$"仅有!个零点$)………………………………………………………………………… !!&分"
&
%当:$0%时&注意到C*!$"% 0!2:&
$2!
!#2:" & #2:
因此C* % 0!2:/$&且0!$ $$!
!0: #2: !0:
2!
!0:
又C*!$"/%2:$$&故C*!$"存在唯一的零点$&且0!$$$$!
$ $
当$*!0!&$"时&C*!$"%$&所以C!$"单调递增)当$*!$&#"时&C*!$"$$&所以C!$"单调递减!
$ $
因为C!$"/$&故C!$"在!$&#"上有唯一的零点$&注意到C!$"$&;6!$2!"2!0:&
$
故C!: : & 0! 0!"$&;6: : & 0! 2!0:/$&且0!$: : & 0! 0!$$!
又C!$"%C!$"/$&因此C!$"在!0!&$.上有唯一的零点&故此时C!$"有两个零点)……… !!(分"
$ $
&;6& &;6&
综上所述&当:$0 且:50%时&C!$"有两个零点)当:#0 或:/0%时&C!$"有一个零
# #
点!……………………………………………………………………………………………………… !!"分"
!*!#解析$!!"依题意&2/BCD’2 &2 (0B16’2 &2 (&显然2#$)
; ;2! ;2# ;2! ;2# ;
故2/BCD’2&2(0B16’2&2(/!)……………………………………………………………… !#分"
! # & # &
2/BCD’2&2(0B16’2&2(/#&
# & % & %
即202/#或202/#&则2/!或2/’!……………………………………………………… !%分"
& % % & % %
!#"依题意&2 为数列’2(的最大项&而2/BCD’2 &2 (0B16’2 &2 (&又2#$对6;*!7恒
H ; H H2! H2# H2! H2# ;
成立&
故2)BCD’2 &2 ()2&………………………………………………………………………… !’分"
H H2! H2# H
即BCD’2 &2 (0B16’2 &2 ()BCD’2 &2 (
H2! H2# H2! H2# H2! H2#
)BCD’2 &2 (0B16’2 &2 (&故B16’2 &2 (/$& …………………………………… !"分"
H2! H2# H2! H2# H2! H2#
故2 /$或2 /$&即0*’H2!&H2#()………………………………………………………… !)分"
H2! H2#
!&"?2/BCD’2 &2 (0B16’2 &2 (%$&@2 52 )…………………………………… !*分"
; ;2! ;2# ;2! ;2# ;2! ;2#
设+/’;-2%2 &;*!7(&
; ;2!
"若+/8&则2)2&2$2 !I##&I*!7"&
! # I I2!
/#.
对任意#%$&取;/ "2#!/$.表示不超过$的最大整数"&
! 2
!
当;%; 时&2/!202 "2!2 02 "202!202"22/2 22 202222#!;0!"2
! ; ; ;0! ;0! ;0# & # # ;0# ;0& ! # !
!/#. " #
%!;0!"2/ 2!2% ,2/#)………………………………………………………… !!!分"
! ! 2 ! 2 !
! !
#若+58&
&"若+为有限集&设:/BCD’;-2%2 &;*!7(&2 $2 !I*!7"&
; ;2! :2I :2I2!
/# .
对任意#%$&取;/ 2:2!!/$.表示不超过$的最大整数"&
# 2
:2!
当;%; 时&2/!202 "2!2 02 "202!2 02 "22 /2 22 202222 #
# ; ; ;0! ;0! ;0# :2# :2! :2! ;0# ;0& : :2!
数学参考答案和评分标准!第!!!!(页!共"页"
{#{QQABCYCUoggIABJAAQhCUwHaCgOQkAACAKoGAEAIMAAByQFABAA=}#}!/# . " #
!;0:"2 %!;0:"2 / 2!2 % ,2 /#) …………………………… !!&分"
:2! # :2! 2 :2! 2 :2!
:2! :2!
’"若+为无限集&设0/B16’;-2%2 &;*!7(&0 /B16’;-2%2 &;%0(!I*!7"&
! ; ;2! I2! ; ;2! I
若0 00/!&则2 %2 %2 &又2 $BCD’2 &2 (&矛盾)
I2! I 0I 0I 2! 0I 2# 0I 0I 2! 0I 2#
故0 00##!I*!7")
I2! I
记:/2 !I*!7")
I 0I 2!
当0 00/#时&2 %2 &2 $2 &2 %2 )
I2! I 0I 0I 2! 0I 2! 0I 2# 0I 2# 0I 2&
因为2 /2 02 &所以: /2 /2 /2 /2 02 /2 %2 /:)
0I 2! 0I 2# 0I 2& I2! 0I2! 2! !0I 2#"2! 0I 2& 0I 2# 0I 2! 0I 0I 2! I
当0 00#&时&2 %2 &2 $2 $0$2 &2 %2 &
I2! I 0I 0I 2! 0I 2! 0I 2# 0I2! 0I2! 0I2! 2!
因为2 /2 02 &故: /2 /2 02 /2 #2 /:)
0I2! 0! 0I2! 0I2! 2! I2! 0I2! 2! 0I2! 0I2! 0! 0I2! 0# 0I2! I
因为2 /2 02 &故2 /2 22 /2 2: #2 2:#2 2:&
0I2! 0I2! 2# 0I2! 2! 0I2! 2# 0I2! 0I2! 2! 0I2! I2! 0I2! ! 0I 2# !
/#.
故对任意#%$&取;/ 2!&当H%; 时&2 /!2 02 "2!2 02 "202
& :
!
& 0H 2# 0H 2# 0H0! 2# 0H0! 2# 0H0# 2#
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!2 02 "22 #!H0!":22 %H:% 2!:% ,:/#)
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综上所述&不存在实数#&使得6;*!7&2)#!
;
综上所述&不存在实数#&使得对任意的正整数;&都有2)#!…………………………………… !!"分"
;
数学参考答案和评分标准!第!!!!"页!共"页"
{#{QQABCYCUoggIABJAAQhCUwHaCgOQkAACAKoGAEAIMAAByQFABAA=}#}
