文档内容
秘密★启用前
2027 届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣大联考（高一）
数学（北师大版）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷
上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．下列选项中，与角 的终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
2．已知i为虚数单位，则 （ ）
A． B．1 C． D．
3．已知角 的终边过点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．从半径为r的圆中剪下圆心角为 弧度，半径为r的扇形，此扇形的周长为 ，剩余部分扇形的周长为 ，
若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．在锐角三角形ABC中， ， ， 的面积为 ，若 ，则 （ ）A．4 B． C． D．5
6．已知函数 的部分图象如图所示，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
7．在 中， ， ，点M满足 ，直线BM交AC于点D，
则 （ ）
A． B． C． D．
8．音叉发出的纯音振动的数学模型是函数 ，其中x表示时间，y表示纯音振动时
音叉的位移．我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音振动的数学模型是函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．在区间 上， 的最小值为
B．函数 的图象关于点 中心对称
C．函数 的图象关于直线 对称
D． 在区间 上单调递增
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列函数中，以 为周期的函数有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知复数 ，i为虚数单位， 为z的共轭复数，则下列说法正
确的是（ ）
A．若z是纯虚数，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则 或
11．已知 ， ， ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 与 共线，则
C． 在 方向上的投影向量为 D．若 ，则 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知函数 ，则 ________．
13．已知 ， ， ，则 ________．
14 ． 已 知 ， ， 则 ________ ，
的最小值是________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知复数 ，i为虚数单位．
（1）若复数z的实部与 的虚部相等，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围；
（3）当 时，若复数z是关于x的方程 的一个根，求实数a，b的值．16．（15分）已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求 的解析式；
（2）求函数 的单调区间；
（3）若将 的图象上的每个点先向右平移 个单位长度，再把所有点的横坐标伸长为原来的 2倍，得到
函数 的图象，若 ，求 的值．
17．（15分）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求角B的大小；
（2）已知 的周长为 ，外接圆的面积为 ，求 的面积．
18．（17分）已知向量 ， ，函数 ．
（1）求 的最小值；
（2）若对任意的 ， 都有解，求实数a的取值范围；
（3）设 ，若对任意的 ，总存在 ，使 成立，求实数
m的取值范围．
19．（17分）对于向量 ， ， ， 均为非零向量，定义运算 ．
（1）对于非零向量 ， ， ， ， 一定成立吗？并给出理由；
（ 2 ） 已 知 为 非 零 向 量 ， 若 向 量 与 向 量 共 线 ， 向 量与向量 垂直，求 ；
（ 3 ） 已 知 向 量 ， 向 量 ， ， 且
， ，求 的取值范围．2027 届普通高等学校招生全国统一考试
青桐鸣大联考（高一）
数学（北师大版）参考答案
1．D【解析】因为 ，与 终边相同的角的集合为 ，因为
．
故选D．
2．A【解析】 ．
故选A．
3．C【解析】因为角 的终边过点 ，由三角函数的定义可得 ，
，所以 ．
故选C．
4．C【解析】由题意得 ， ，故 ，解得 ．
故选C．
5．B【解析】由 ，得 ，
∵ 为锐角，∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选B．6．A【解析】由题图可知 相邻对称轴间的距离为 ，可得 ，因此 ，
，当 时， ， ，故 ， ．由 可得 ，
由函数的最大值为 3 可得 ，因此 ，由 ，得 ，所以
．
故选A．
7．A【解析】如图，
设 ， ， 则
， 又
， 所 以 ， 解 得 ， 所 以 ， 所 以
．
故选A．
8 ． B 【 解 析 】 因 为，
在区间 上， ， ，最小值为4，故A错误；
．所以函数 的图象关于点 中心对称，故B正确；
令 ， ，故C错误；
由 ， ，函数 在区间 上单调递减，在区间 上
单调递增，故 在区间 上先单调递减，再单调递增．故D错误．
故选B．
9 ． BC 【 解 析 】 对 于 A ， 因 为 ， ， 所 以
，故A错误；
对于B，因为 ，所以函数的最小正周期为 ，故B正确；
对于C，因为 ，故C正确；
对于D，因为 为偶函数，所以 ，所以最小正周期为 ，故D错误．
故选BC．
10．BCD【解析】因为 ，
对于选项A，若z是纯虚数，则 ，解得 ，故A错误；对于选项B，若 ，则 ，解得 ，故B正确；
对于选项C，若 ，则 ， ，故C正确；
对于选项D，若 ，可知z是实数，所以 ，可知 或 ，故D正确．
故选BCD．
11 ． ABD 【 解 析 】 对 于 A ， 由 可 得 ， 所 以 ， 得
，又 ， ， ，得 ，所以 ，故A正确；
对于 B，因为 ，所以 与 不共线，因为 ，所以 ，因为 与
共线，则 ，故B正确；
对于C， 在 方向上的投影向量为 ，故C错误；
对于 D，
，当且仅当 时， 取得最小值，最小值为 ，故D正确．
故选ABD．
12．3【解析】因为 ， ，所以 ．
13． 【解析】由 ，得 ，因为 ，所以
， 即 ， 得 ， 所 以
．
14．1，2（第1个空2分，第2个空3分）【解析】因为 ，所以，
所以 ，于是有 ．
又
，当且仅当 ，即 时取等号，所以
的最小值是2．
15．解：（1）由题意得 ，解得 ．（3分）
（2）因为复数z在复平面内对应的点位于第三象限，所以 ，（6分）
解得 ．
所以实数m的取值范围为 ．（8分）
（ 3 ） 因 为 复 数 是 关 于 x 的 方 程 的 一 个 根 ， 所 以
，（11分）
所以 ，解得 ，（12分）
．（13分）
16．解：（1）由图象可知周期 ，所以 ，（1分）
由 ， ，所以 ， ，因为 ，所以 ，（2分）
所以 ，由 ，得 ，（3分）所以 ．（4分）
（2）令 ，解得 ，（6分）
∴ 的单调递增区间为 ，无单调递减区间．（9分）
（3）由题意得 ，（12分）
所以 ，得 ，（13分）
所以 ．（15分）
17．解：（1）因为 ，（4分）
所以 ，得 ，（6分）
因为 ，所以 ．（7分）
（2）设外接圆的半径为r，由 ，得 ，（8分）
又因为 ，（9分）
所以 ，（10分）
，得 ，（13分）
所以 的面积为 ．（15分）
18 ． 解 ： （ 1 ），（3分）
故 的最小值为 ．（4分）
（2）令 ， 有解，即 有解，（5分）
因为 时， ，（6分）
所以 ，故 ，（7分）
因为 ，故当 时， 取最小值 ；当 时， 取最大值3，（8分）
所以 ，（9分）
因为 有解，所以实数a的取值范围为 ．（10分）
（3）对任意的 ，总存在 ，使 成立，所以 ，（12分）
由（1）得 ，所以 ，（13分）
因为 ，当 时， ；当 时，
，
所以 或 ，解得 或 ，故实数m的取值范围为 或 ．（17
分）
19．解：（1） 不一定成立，（1分）
一定成立．（2分）
理由如下：设向量 ， ， ，则 ，
，所以 不一定成立．（3分）
因为 ，所以 ，（4分）
，
所以 ．（5分）
（2）设 ，则 ，由 与 共线，得 ．（6分）
由题意得
，（8分）
因为 与 垂直，所以 ，（9分）
又 ，得 ，所以 ，所以 ．（10分）
（3） ， ，（11分）
当 时，因为 ， ，两式相减得 ，所以
，得 ；
又由 ，得 ；
同理 ，所以 ；
，所以 ，
，所以 ；
，所以 ；
，所以 ，（13分）
又 ，所以 ，（14分）
故 ， ，所以， 因 为
， 当 且 仅 当
，即 时等号成立，所以 ，故 的取
值范围为 ．（17分）
