文档内容
第一章 空间向量与立体几何章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(每题只有一个正确的选项，5分/题，共40分）
1．（2020·宜昌天问教育集团高二期末）在正四面体 中，棱长为2，且E是棱AB中点，则
的值为( )
A． B．1 C． D．
2．（2020·宜昌高二期末）已知 （2，1，﹣3）， （﹣1，2，3）， （7，6，λ），若P，
A，B，C四点共面，则λ＝（ ）
A．9 B．﹣9 C．﹣3 D．3
3．（2020·全国高二课时练习）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．基底 中基向量与基底 基向量对应相等
4．（2020·全国高二课时练习）若直线 的方向向量为 ,平面 的法向量为 ,则(
)
A． B． C． D． 与 相交
5．（2020·河北新华.石家庄二中高一期末）在正方体 中， 分别为 ， 的
中点， 为侧面 的中心，则异面直线 与 所成角的余弦值为A． B． C． D．
6．（2020·吉化第一高级中学校）已知正四棱柱 中， ，则CD与平面
所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2020·延安市第一中学高二月考）在棱长为2的正方体 中， ， 分别为棱 、
的中点， 为棱 上的一点，且 ，设点 为 的中点，则点 到平面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．（2019·黑龙江大庆四中高二月考）已知空间直角坐标系 中， ， ，
，点 在直线 上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(每题不止一个正确的选项，5分/题，共20分）
9．（2020·河北省盐山中学高一期末）若长方体 的底面是边长为2的正方形，高为4，是 的中点，则（ ）
A． B．平面 平面
C．三棱锥 的体积为 D．三棱锥 的外接球的表面积为
10．（2020·福建厦门。高二期末）正方体 中，E、F、G、H分别为 、BC、CD、
BB、 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．平面 平面
C． 面AEF D．二面角 的大小为
11．（2020·江苏通州。高二期末）设 ， ， 是空间一个基底，则( )
A．若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥B．则 ， ， 两两共面，但 ， ， 不可能共面
C．对空间任一向量 ，总存在有序实数组(x，y，z)，使
D．则 ＋ ， ＋ ， ＋ 一定能构成空间的一个基底
12．（多选题）如图，在菱形 中， ， ，将 沿对角线 翻折到
位置，连结 ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（ ）
A． 与平面 所成的最大角为
B．存在某个位置，使得
C．当二面角 的大小为 时，
D．存在某个位置，使得 到平面 的距离为
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2019·重庆大足。高二期末（理））若 ， ， ，则
___________．
14．（2020·四川省南充市白塔中学）已知平面 的一个法向量 ， ， ，且
，则直线 与平面 所成的角为______．15．（2020·四川省岳池县第一中学高二月考）二面角的棱上有 ， 两点，直线 ， 分别在这个
二面角的两个半平面内，且都垂直于 .已知 ， ， ， ，则该二面角
的大小为________．
16．（2017·浙江余姚中学高二月考）如图，棱长为3的正方体的顶点 在平面 上，三条棱
都在平面 的同侧，若顶点 到平面 的距离分别为 ， ，则顶点 到平面 的
距离是______.
四、解答题（17题10分，其余题目12分每题，共70分）
17．（2020·全国高二）如图， ，原点 是 的中点，点 的坐标为 ， ， ，点 在平
面 上，且 ， ．（1）求向量 的坐标．
（2）求 与 的夹角的余弦值．
18．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都等于1，
．
（1）设 ， ， ，用向量 ， ， 表示 ，并求出 的长度；
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
19．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在长方体 中， ， ，
、 分别是 、 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ．20．（2020·四川内江）如图，在直棱柱 中， ， ， ，
， .
（1）证明：面 面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
21．（2019·浙江高三月考）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， 为线段
的中点，已知 ， ．（1）证明：直线 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
22．（2019·河西。天津市新华中学高三月考）如图，已知梯形 中， ， ，
，四边形 为矩形， ，平面 平面 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成二面角的正弦值；
（3）若点 在线段 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长．
