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第一章 空间向量与立体几何（A卷·知识通关练）
核心知识1 空间向量及其线性运算
1．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，在斜棱柱 中，AC与BD的交点为点M， ，
， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 - ＝ ，
．
故选：A．
2．（2022·福建·浦城县教师进修学校高二期中）给出下列命题
①空间中所有的单位向量都相等；
②方向相反的两个向量是相反向量；
③若 满足 ，且 同向，则 ；
④零向量的方向是任意的；
⑤对于任意向量 ，必有 ．其中正确命题的序号为（ ）
A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤
【答案】C
【解析】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，
故①错误；
对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相反向量，故②错误；
对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度（模）能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③
错误；
对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，为任意的，
故④正确；
对于⑤， 为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故⑤正确．
综上，正确的命题序号为④⑤，
故选：C．
3．（多选题）（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在平行六面体 中，AC和BD的交点为
O，设 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC【解析】选项A： ．判断正确；
选项B： ．判断错误；
选项C： ．判断正确；
选项D： ．判断错误．
故选：AC
4．（多选题）（2022·福建宁德·高二期中）如图正四棱柱 ，则下列向量相等的是
（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】CD
【解析】由正四棱柱可知，
A： ，但 与 方向相反，故A不符题意；
B： ，但 与 方向不同，故B不符题意；
C： ，且 与 方向相同，故C符题意；
D： ，且 与 方向相同，故D符题意．
故选：CD．
核心知识2 空间向量的数量积运算
5．（2022·四川绵阳·高二期末（理））如图，空间四边形 中， ，， ，点 ， 分别在 ， 上，且 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ，
．
又 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以
，
所以 ．
故选：A．
6．（2022·江苏宿迁·高二期末）四面体 中， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】因为 ， ，所以
所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
故选：C
7．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，在三棱锥 中， 两两垂直，
为 的中点，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，故
．
故选：D．
8．（2022·江苏·沛县教师发展中心高二期中）已知空间四边形 的每条边和对角线的长都等于1，点
， 分别是 ， 的中点，则 的值为_________．
【答案】【解析】
根据题意 为正四面体，
两两成 角，
所以 ，
，
所以
．
故答案为：
核心知识3 空间向量基本定理
9．（2022·湖南师大附中高一期末）已知 是空间的一个单位正交基底，向量
是空间的另一个基底，用基底 表示向量 ___________．
【答案】
【解析】设 ，
即有 ，
因为 是空间的一个单位正交基底，所以有 ，
所以 ．
故答案为：
10．（2022·四川雅安·高二期末（理））设 是正三棱锥，G是 的重心，D是PG上的一点，
且 ，若 ，则 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为三棱锥 是正三棱锥，G是 的重心，
所以 ，
因为D是PG上的一点，且 ，
所以 ，
因为 ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 为 ，
故选：B
11．（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥 ，底面 为平行四边形，M，N分别为棱BC，
PD上的点， ， ，设 ， ， ，则向量 用 为基底表示为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
即
故选：D．
12．（多选题）（2022·江苏省镇江中学高二期中）如图，在平行六面体 中，以顶点A为
端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为 与 的交点，若 ，
则下列正确的是（ ）A． B．
C． 的长为 D．
【答案】BD
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于A选项， ，A错误，
对于B选项， ，B正确：
对于C选项， ，则 ，
则 ，C错误：
对于 ，则 ，D正确．
故选：BD．
13．（多选题）（2022·浙江浙江·高一期中）如图，在平行六面体 中，以顶点 为端点的
三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 ， 为 与 的交点．记 ，则下
列说法正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】由 ，故A正确；
由 为 中点，
所以 ，
故B错误；
对C，以顶点 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是 ，
即 模长为 ，夹角为 ，
，所以 ，故C正确；
， ，
又 ，
所以 ，故D正确．
故选：ACD．
14．（多选题）（2022·河北邯郸·高二期末）已知 ， ， 是空间的一个基底，则下列说法中正确的是
（ ）
A．若 ，则
B． ， ， 两两共面，但 ， ， 不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D． ， ， 一定能构成空间的一个基底
【答案】ABD
【解析】∵ ， ， 是空间的一个基底，则 ， ， 不共面，且两两共面､不共线，
∴若 ，则 ，A正确，B正确；
若存在x，y使得 ，则 ， ， 共面，与已知矛盾，C错误；
设 ，则 ，此方程组无解，
∴ ， ， 不共面，D正确．
故选：ABD．
核心知识4 空间向量运算的坐标表示
15．（2022·福建宁德·高二期末）已知 ， ， ，则 的坐标为______．
【答案】
【解析】由题设， ，
所以 ．故答案为：
16．（2022·福建莆田·高二期末）已知向量 ，且 与 互相垂直，则k的值为
（ ）
A．－2 B．－ C． D．2
【答案】A
【解析】由 与 互相垂直，则 ，解得
故选：A
17．（2022·贵州遵义·高二期末（理））在空间直角坐标系 中，与点 关于平面 对称的点
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为点 ，则其关于平面 对称的点为 ．
故选：A．
18．（2022·江苏淮安·高二期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，
，M为PC上一动点， ，若∠BMD为钝角，则实数t可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别以 、 、 为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设 ， ，故 ， ， ， ，
由 可知， ，即 ，
又因为 为钝角，所以 ，
由 ， ，可知 ， ，
，整理得 ，
解得 ，
故选：D．
19．（2022·江苏南通·高二期中）设 、 ，向量 ， ， 且 ， ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，则 ，解得 ，则 ，
因为 ，则 ，解得 ，即 ，所以， ，因此， ．
故选：D．
20．（2022·四川内江·高二期末（理））已知 ， ，则
（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】 ， ，
．
故选：B．
21．（多选题）（2022·福建宁德·高二期末）已知 ， ， ，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．
C． 为钝角 D． 在 方向上的投影向量为
【答案】BD
【解析】因为 ，所以 ， 不垂直，A错，
因为 ，所以 ，B对，
因为 ，所以 ，所以 不是钝角，C错，
因为 在 方向上的投影向量 ，D对，
故选：BD．
22．（多选题）（2022·云南师大附中高二期中）已知空间中四点A（1，1，0），B（0，1，2），C（0，
3，2），D（－1，3，4）．下列说法中，正确的有（ ）A． B．
C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面
【答案】ABD
【解析】易知 ， ， ， ， ，
因为 ，所以 ，故选项A正确；
因为 ，且 四点不共线，所以 ，故选项B正确；
因为 ，所以A，B，C三点不共线，故选项C错误；
易知当 时，A，B，C，D共面，
即 ，所以 ，
，解得 ，
，所以A，B，C，D共面，故选项D正确．
故选：ABD．
23．（2022·上海虹口·高二期末）已知空间三点 ， ， 共线，则 ________，
________．
【答案】3 6
【解析】由已知得： ．
因为A，B，C三点共线，所以 ．
所以 ，解得：p=3，q=6．
故答案为：3；6
核心知识5 用空间向量研究平行、垂直问题
24．（多选题）（2022·江苏·连云港高中高二期中）给出下列命题，其中是真命题的是（）
A．若直线 的方向向量 ，直线 的方向向量 ，则 与 垂直
B．若直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，则
C．若平面 ， 的法向量分别为 ， ，则
D．若存在实数 使 则点 共面
【答案】AD
【解析】对于A：因为直线 的方向向量 ，直线 的方向向量 ，
且 ，所以 ，所以 与 垂直．故A正确；
对于B：因为直线 的方向向量 ，平面 的法向量 ，且 ，所以 不成立．
故B不正确；
对于C：因为平面 ， 的法向量分别为 ， ，且 ，所以
不垂直，所以 不成立．故C不正确；
对于D：若 不共线，则可以取 为一组基底，由平面向量基本定理可得存在实数 使
则点 共面；
若 共线，则存在实数 使 所以 共线，则点 共面也成立．
综上所述：点 共面．故D正确．
故选：AD
25．（2022·北京房山·高二期末）如图，正方体 中， 是 的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．直线 与直线 垂直，直线 平面
B．直线 与直线 平行，直线 平面
C．直线 与直线 异面，直线 平面
D．直线 与直线 相交，直线 平面
【答案】A
【解析】连接 ；由正方体的性质可知 ， 是 的中点，所以直线 与直
线 垂直；
由正方体的性质可知 ，所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以直线 平面 ，故A正确；
以 为原点，建立如图坐标系，设正方体棱长为1，显然直线 与直线 不平行，故B不正确；
直线 与直线 异面正确， ， ，所以直线 与平面 不垂直，故C不
正确；
直线 与直线 异面，不相交，故D不正确；
故选：A．
26．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）如图，在正四棱柱 中， 是底面
的中心， 分别是 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A． //
B．
C． //平面
D． 平面
【答案】B【解析】在正四棱柱 中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
令 ， 是底面 的中心， 分别是 的中点，
则 ， ， ，
对于A，显然 与 不共线，即 与 不平行，A不正确；
对于B，因 ，则 ，即 ，B正确；
对于C，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，得 ，
，因此 与 不垂直，即 不平行于平面 ，C不正确；
对于D，由选项C知， 与 不共线，即 不垂直于平面 ，D不正确．
故选：B
27．（2022·浙江·於潜中学高二期中）在如图所示的平行六面体 中，已知 ，
， ，N为 上一点，且 ，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，因为 ，
所以 ，令 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
故选：D
28．（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））如图，下列正方体中，O为下底面的中心，M，N为正方体
的顶点，P为所在棱的中点，则满足直线 的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点 ，
对于A， ， ， ， 与 不垂直，
A不是；
对于B， ， ， ， ，B是；
对于C， ， ， ， 与 不垂
直，C不是；对于D， ， ， ， 与 不垂直，
D不是．
故选：B
核心知识6 用空间向量研究异面直线所成角问题
29．（2022·福建省福州第一中学高一期末）如图，三棱锥 中， ， ，
， 分别是 的中点， 是 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值
等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由题意可得 ，
，
由
可得
则异面直线 与 所成角的余弦值为
故选：C
30．（2022·陕西汉中·高二期末（理））正方体 中，E，F分别为 ， 的中点，则异
面直线AE与FC所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，建立空间直接坐标系，设正方体的棱长为2，因为E，F分别为 ， 的中点，易知，A（2，0，0），E（0，1，2），
C（0，2，0），F（2，2，1），所以 ， ，
所以 < >= ．
因为异面直线AE与FC所成角为锐角．
所以异面直线AE与FC所成角的余弦值为 ．故A，B，C错误．
故选：D．
31．（2022·山东济宁·高一期末）如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形， ，E为弧
AB的中点，F为母线BC的中点，则异面直线AC和EF所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】设圆台的上底面圆心为 ，下底面圆心为 ，则 ，
连接 ，因为 是弧AB的中点，所以 ，以 为原点，
分别以 为 轴建立如图空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，
，
设异面直线AC和EF所成角为 ，
所以 ，可得 ．
故选：C．
32．（2022·山东济南·高一期末）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线
DM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设该正面体的棱长为 ，因为M为BC中点，N为AD中点，
所以 ，
因为M为BC中点，N为AD中点，所以有 ，
，
根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为 ，
故选：B
核心知识7 用空间向量研究线面角问题
33．（2022·陕西渭南·高二期末（理））如图，在长方体 中， ， ，E
是线段 上的动点．
（1）求证： ；（2）是否存在点E，使得直线AC与平面 所成角为45°，若存在，求出DE的长；若不存在，请说明
理由．
【解析】（1）如图，连接 ，DB，在长方体 中，
∵ 底面ABCD， 底面ABCD，∴ ．又 ， ，∴ 平面 ，
又 平面 ，
（2）假设存在这样的点E，使得直线AC与平面 所成角为45°．设 ，如图，以D为
原点，直线DA，DC， 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ．∴ ， ，．设平面 的法向量为 ，则 令 ，则 ，
．∴平面 的一个法向量为 ．∴
，解得 ．∴存在这样的点E，当 时，
直线AC与平面 所成角为45°．
34．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高一期末）在如图所示的几何体中， 、 、 都
是等腰直角三角形，AB=AE=DE=DC，且平面ABE⊥平面BCE，平面DCE⊥平面BCE．
（1）求证： 平面BCE；
（2）求直线AB与平面EAD所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：分别取 的中点 ，连接 ，设 ，则
， ，又平面 平面 ，平面 平面
平面 ， 平面 ，同理可证 平面 ， ，又因为
，所以四边形 是平行四边形， ，又 平面 平面 ，
平面 ；
（2）如图，取 的中点为 ，则 ，以点 为坐标原点， 所在的直线分别为 轴，
轴， 轴，建立空间直角坐标系，则 ，则， ，设平面 的一个法向量为 ，
，则 ，令 ，得平面 的一个法向量为 ，则
，即直线AB与平面EAD所成角的正弦值为 ．
35．（2022·内蒙古通辽·高二期末（理））如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ， 分别
为 ， 的中点，
（1）证明： 平面 ．
（2）若 平面 ， ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ．因为 ， 分别为 ， 的中点，所以
， ，又底面 为菱形，所以 ， 所以 ， ，所以四边形 为平行四边形，所以 ．又 平面 ， 平面 ，所以 平面
．
（2）因为 平面 ， ，所以以 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 ．
因为 ，所以 ， ， ， ，则 ，
， ，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，得
，设直线 与平面 所成的角为 ，则
36．（2022·黑龙江·大庆中学高二期末）如图，在四棱锥 中， ，
，底面 是菱形， 是 的中点， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【解析】（1）连接 ，∵底面 是菱形，且 ，∴ 是等边三角形，∴ ，∵ ，∴ 是等腰三角形，∴ ，∵ ， 平面 ，∴ 平面
，∵ 平面 ，∴平面 平面 ；
（2）∵ ，∴ ，∵底面 是菱形， 是 的中点，
，∴ ，∵ ，∴ ，即 ，又由（1）知，
，∴以 为原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ， ， ，
，设 是平面 的一个法向量，∴ ，取 ，得
，设直线 与平面 所成角为 ，则 ，∴直线 与
平面 所成角的正弦值为 ．
核心知识8 用空间向量研究二面角问题
37．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）如图，在四棱锥 中， 是直角三角形，
，四边形 是等腰梯形， ， ， ．（1）证明： ；
（2）若平面 平面 ，求平面 与平面 的夹角的正弦值．
【解析】（1）如图，取AB中点E，连接DE，EP，取AE中点F，连接DF，FP，
由题意可知， 和 为全等的等边三角形．因为 ， ，且 ，所以
平面DFP，又因为 平面DFP，所以 ．
（2）因为平面 平面 ，且 ，所以 平面 ．以 为坐标原点， ， ，
的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
， ， ， ，平面 的一个法向量 ．
设平面 的一个法向量 ，则 ，即 ，可取 ，所以
，所以平面 与平面 的夹角的正弦值为 ．
38．（2022·海南·海口中学高二期末）如图，在四棱锥 中， ∥ ， ，， 为边 的中点，异面直线 与 所成的角为90°．
（1）在直线 上找一点 ，使得直线 平面PBE，并求 的值；
（2）若直线CD到平面PBE的距离为 ，求平面PBE与平面PBC夹角的余弦值．
【解析】（1） ∥ ， ， ， 为边 的中点，所以四边形
是正方形，
因为 ，异面直线 与 所成的角为90°，
所以 ，
又因为 在平面 内相交，
所以 平面 ，建立如图所示的坐标系：
设 ， ，则 ，
令 ，因为 ， ，
所以 是平面PBE的法向量．
要使 平面PBE，
只需 ，
解得： ；
（2） ，
因为 ∥ ，
又因为 平面PBE， 平面PBE，
所以 ∥平面PBE，
所以 到平面PBE的距离等于点 到平面PBE的距离，
于是 ，
解得： ，
所以 ， ，
令 ，
因为 ，
所以 是平面 的法向量，
由（1）可知平面 的法向量 ，
因为平面 与平面 的夹角为锐角，
所以平面PBE与平面PBC夹角的余弦值为： ．
39．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）如图，在几何体 中， 平面 ， 平面
， ， ，又 ， ．（1）求 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 的大小．
【解析】（1）以 为正交基底，建立空间直角坐标系，如图所示．
，
设 与 所成角为 ， ，∴ ；
（2） ，设平面 的法向量 所以 ，即
，解得 ，取 ，因为 ，设平面的法向量 ，所以 ，即 ，解得 ，取 ，设
平面 与平面 所成的二面角的平面角为 ，则 ，
又 ，所以 ．
40．（2022·全国·高考真题）如图，直三棱柱 的体积为4， 的面积为 ．
（1）求A到平面 的距离；
（2）设D为 的中点， ，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
【解析】（1）在直三棱柱 中，设点A到平面 的距离为h，则
，解得 ，所以点A到平面 的
距离为 ；
（2）取 的中点E，连接AE，如图，因为 ，所以 ，又平面 平面 ，平
面 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，在直三棱柱 中，平面 ，由 平面 ， 平面 可得 ， ，又 平面
且相交，所以 平面 ，所以 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，
如图，
由（1）得 ，所以 ， ，所以 ，则
，所以 的中点 ，则 ，
，设平面 的一个法向量 ，则 ，可取
，设平面 的一个法向量 ，则 ，可取 ，则
，所以二面角 的正弦值为 ．
核心知识9．用空间向量研究距离问题
41．（2022·广东茂名·高二期末）已知 为平面 的一个法向量， 为 内的一点，则点到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意， ，而 为平面 的一个法向量，
所以点 到平面 的距离 ．
故选：A
42．（2022·重庆长寿·高二期末）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，
，E、F分别是PC、AD中点．
（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；
（2）求点E到平面PBF的距离．
【解析】（1）因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，
如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则 ，
则直线DE的方向向量 ，直线PF的方向向量 ，
，
所以直线DE和PF夹角的余弦值为 ．
（2）由（1）知， ， ， ，
设平面PBF的法向量 ，则 ，令 ，得 ，
所以点E到平面PBF的距离为 ．
43．（2022·江苏宿迁·高二期末）如图，三棱柱 中，所有棱长都为2，且 ，平面
平面 ，点P，Q分别在 上，且 ．
（1）求证： 平面 ；
（2）当点P是边 的中点时，求点 到直线 的距离．
【解析】（1）作 ，交 于点 ，由 ，则 ，∵ ，
∴ ，即 ，
∴ 且 ，连接 ，
所以四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ 平面 ，且 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）取 中点 ，连接 、 ，
∵ ， ， ，
根据余弦定理得： ，
∴ ，
则 ，又平面 平面 ，平面 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，如图建立空间直角坐标系，
则 ，
∴ ，
∴ ，
∴点 到直线 的距离为 ．
