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班级 姓名 学号 分数
第一章 空间向量与立体几何（B 卷·能力提升练）
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．（2022·上海市控江中学高二期中）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（
）
A． B．
C． D．
2．（2022·重庆南开中学高一期末）如图，在斜三棱柱 中，M为BC的中点，N为 靠近
的三等分点，设 ， ， ，则用 ， ， 表示 为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南许昌·高二期末（文））如图，在长方体 中，M，N分别为棱 ， 的
中点，下列判断中正确的个数为（ ）①直线 ；
② 平面 ；
③ 平面ADM．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·湖南·长沙一中高一期末）如图，四棱锥 中，底面 为矩形且 平面 ，
连接 与 ，下面各组向量中，数量积不一定为零的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
5．（2022·福建南平·高一期末）如图，正方体 中， ， ， ，
当直线 与平面 所成的角最大时， （ ）A． B． C． D．
6．（2022·安徽·安庆市第二中学高二期末）已知圆柱 的轴截面是边长为2的正方形， 为圆 的直
径， 为圆 上的点，则 的最大值为（ ）
A．4 B． C．5 D．
7．（2022·新疆·乌鲁木齐101中学高二期中（理））如图，在棱长为1的正方体中，下列结论不正确的是
（ ）
A．异面直线 与 所成的角为
B．二面角 的正切值为
C．直线 与平面 所成的角为
D．四面体 的外接球体积为
8．（2022·江苏徐州·高二期中）如图，正方体 的棱长为6，点 为 的中点，点 为底面 上的动点，满足 的点 的轨迹长度为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．（2022·湖南·长沙一中高一期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量 ，若 ，则
B．若空间四个点 ， ，则 三点共线
C．已知向量 ，若 ，则 为钝角
D．任意向量 满足
10．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知正方体 的棱长为1， 分别在 上，
并满足 ，设 ，设 的重心为G，下列说法正确的是
（ ）A．向量 可以构成一组基底
B．当 时，
C．当 时， 在平面 上的投影向量的模长为
D．对任意实数 ，总有
11．（2022·山东德州·高一期末）如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE
沿DE折起，使A到 ，连接 ， ，且 ，平面 与平面 的交线为l，则下列结论
中正确的是（ ）
A．平面 平面 B．
C．ВС与平面 所成角的余弦值为 D．二面角 的余弦值为
12．（2022·湖北武汉·高二期末）如图，直四棱柱 中，底面ABCD为平行四边形，
，点P是经过点 的半圆弧 上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧
上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（ ）A．四面体PBCQ的体积是定值
B． 的取值范围是
C．若 与平面ABCD所成的角为 ，则
D．若三棱锥 的外接球表面积为S，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（2022·江苏·常州市第一中学高二期中）已知四棱柱 的底面 是正方形，底面边
长和侧棱长均为2， ，则对角线 的长为________．
14．（2022·江苏泰州·高二期末）长方体 中， ， ，则点B到平面
的距离为________．
15．（2022·江苏泰州·高二期末）如图所示的木质正四棱锥模型 ，过点 作一个平面分别交 ，
， 于点E，F，G，若 ， ，则 的值为___________．16．（2022·浙江宁波·高二期末）如图，正四棱锥 的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点
M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
17．（10分）
（2022·山东青岛·高一期末）如图所示，三棱柱 中， ， ， ，
， ， ， 是 中点．
（1）用 ， ， 表示向量 ；
（2）在线段 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的位置，若不存在，说明理由．18．（12分）
（2022·黑龙江·双鸭山一中高二期末）如图，在四棱锥 中，底面 为等腰梯形， ，
， 面 ， ，点 为线段 中点
（1）求证： 面 ；
（2）求异面直线 与 所成角的大小．
19．（12分）
（2022·福建泉州·高二期末）在四棱锥 中，
，平面 平面 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值．20．（12分）
（2022·广东·高二期末）四边形ABCD是平行四边形， ，四边形ABEF是梯形， ，且
， ， ，平面 平面 ．
（1）求证： ；
（2）求直线EC与平面EFD所成角的正弦值．
21．（12分）
（2022·湖南师大附中高一期末）如图，在四棱锥P−ABCD中，AD BC，
E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为 ．（1）在平面PAB内是否存在一点M，使得直线CM 平面PBE，如果存在，请确定点M的位置，如果不
存在，请说明理由；
（2）若二面角P−CD−A的大小为 ，求P到直线CE的距离．
22．（12分）
（2022·河南南阳·高一期末）如图，在矩形ABCD中， ， ，E为边AD上的动点，将 沿
CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上．
（1）设 ，当 为何值时， 的面积最小？
（2）当 的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面 平面POF，若存在求出BF的
长，若不存在，请说明理由．
