文档内容
湖北省部分省级示范高中2024～2025学年下学期期末测试
高 一 数 学 试 卷
命题人： 武汉经开区一中 符玉欣 审题人：武汉市第四中学 韩宜霏
考试时间：2025年6月25日 试卷满分：150分
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴
在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．若复数 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A．2 B．2或 C． D．
2．与向量 垂直的单位向量是（ ）
A． B． C． 和 D． 和
3．已知圆锥的母线长为 ，高为 ，则圆锥的全面积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量 ，则 的面积为（ ）
A． B．7 C．10 D． 14
5．正方体中， 分别是所在棱的中点，则下列图形中 与 是异面直线，且
所成的角为60°的是（ ）
A. B. C. D.
6．设 是同一个半径为2的球的球面上四点， 为等腰直角三角形且面积为
高一数学试卷 第 1 页 共 5 页3，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A．9 B．6 C． D．3
7．在 中， ， ， ， 为 的外心，则 的值为
（ ）
A． B． C． D．
8．已知向量 ， 满足： ， ．则 的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．5
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．若复数 （ 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．复数 的虚部为 B．
C．复数 对应的点在第一象限 D．复数 满足 ，则 的最大值为
10．一组样本有互不相等的5个数据，平均数记为 ，方差记为 ，下列说法错误的是
（ ）
A．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其平均数等于
B．去掉样本数据中的最大值和最小值后得到一组新数据，其方差小于
C．去掉样本数据中的最小值后得到一组新数据，其方差小于
D．去掉样本数据中的中位数后得到一组新数据，其方差小于
11．如图，四面体 中， 是棱 上的动点， 是棱 上的动点（ 、 不与四
面体的顶点重合）.记 与 所成的角为 ， 与平面 的所成的角为 ，平面
与平面 的夹角为 ，则 ， ， 的大小关系不可能是（ ）
（注：平面 与平面 相交形成的四个二面角中，不大于 的二面角称为平面 与平面
的夹角）
A． B．
C． D．
高一数学试卷 第 2 页 共 5 页三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．我市某所高中共有学生 人，其中一、二、三年级的人数比为 ，采用分层抽
样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为__________.
13．已知向量 满足 ， ， ．若 与 夹角是 ，则
__________.
14．设正方体 的棱长为1，点 在正方体的表面上运动，且满足 与平
面 成 的角，则点 轨迹的长度为__________.
四、解答题:本大題共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（本小题13分）
复数 的共轭复数为 为虚数单位.
（1）若 是关于 的实系数一元二次方程 的一根，求实数 的值.
（2）若 ，求复数 .
16．（本小题15分）
如图，在直三棱柱 中， ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
17．（本小题15分）
七彩联盟组织学生参加数学知识竞赛活动，现从中抽取 500名学生的竞赛成绩为样本，按
照 ， 分成6组，制作出如图所示数据不
完整的频率分布直方图，并计算出：成绩在 内的学生的平均成绩为 分，方差
为 ；成绩在 内的学生的平均成绩为 分，方差为 ；样本的学
生的平均成绩为 分.
高一数学试卷 第 3 页 共 5 页（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）成绩位列前60%的学生将获得优胜奖，以样本估计总体，估计获得优胜奖的成绩为多
少分？（取整数分）
（3）求样本的方差 .
18．（本小题17分）
在 中，角 所对的边分别为 ，若 的面积 ， ，且
有 .
（1）求角 和角 ；
（2）若 ，求 .
19．（本小题17分）
高一数学试卷 第 4 页 共 5 页（1）如图 1，直线 与 的三边所在直线分别相交于 三点.若 ，
， ，证明： .
（2）四面体 中， 分别为棱 的中点，经过 的平面 分别与棱
相交于点 （不与顶点重合），证明
：
①若 ，则 （如图2）；
②平面 始终平分四面体 的体积。请仅就 与平面 相交于点 时（如图3）证
明此结论.
高一数学试卷 第 5 页 共 5 页
