2024-2025 学年湖北省重点高中智学联盟高一上学期 12 月联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 { |x−2 }， ，则 ( )
A= x∈Z ≤0 B={x|log x<1} A∩B=
8−x 5
A. {2,3,4} B. ⌀ C. {1,2} D. {2,3}
2.已知a，b，c∈R，则下列结论中正确的有( )
1 1 a b
A. 若a>b且 > ，则ab>0 B. 若c>a>b>0，则 >
a b c−a c−b
a a+c
C. 若a>b>c>0，则 < D. 若a>b，则ac2>bc2
b b+c
3.已知a>1，则函数y=ax与函数y=log (−x)的图像在同一坐标系中可以是( )
a
A. B.
C. D.
4.若a>0，b>0，lga+lgb=lg(a+2b)，则2a+b的最小值为( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
5.函数 与指数函数 且 互为反函数，且 过点 ，则 ( )
f(x) g(x)=ax (a>0 a≠1) g(x) (−2,4) f(1)+f(2)=
1
A. −1 B. 0 C. 1 D.
4
6.已知a=2log 4 3，b=log 8，c=30.6，则( )
4
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1 1A. a<b<c B. b<c<a C. c<b<a D. b<a<c
{(1) x
7.已知函数 f(x)= 2
−1,x⩽0
，若 f(f(t))+3≥0 ，则实数 t 的取值范围是( )
−x2+2x,x>0
A. [3,+∞) B. (−∞,−2] C. (−∞,3] D. [−2,+∞)
8.已知定义在R上的奇函数y=f(x)，对于∀x∈R都有f(1+x)=f(1−x)，当−1≤x<0时，
f(x)=log (−x)，则函数g(x)=f(x)−2在(0,8)内所有的零点之和为( )
2
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中最小值为2的是( )
A. B.
f (x)=ex+2 f (x)=log (x2+4)
2
C. x2+2 D. 1
f (x)= f (x)=2x−√x−1+
x2+1 8
10.下列命题为真命题的是( )
A. 幂函数 的图象过点 (1 )，则
f (x) P ,2 f(x)=x−2
4
B. 函数f (x)的定义域为R，若f (x)是奇函数，f (x+1)是偶函数，则f (2024)=0
C. 函数 的零点是 ，
f (x)=x2+2x−3 (−3,0) (1,0)
3
D. 函数f (x)=lnx− 的零点所在区间可以是(2,3)
x
11.已知函数y=f(x)的定义域为D，区间I⊆D，若存在非零常数t，使得对任意x∈I，x+t∈D，都
有f(x+t)<f(x)，则称函数f(x)是区间I上的“t−衰减函数”.下列说法正确的有( )
1
A. 函数f(x)= 是(−2,−1)上的“1−衰减函数”
x
B. 若函数 是 上的“ 衰减函数”，则 的最大值为
f(x)=x2 (−2,−1) t− t 1
C. 已知函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)=|x−a|−a(a>0)，若f(x)是(−2,−1)上的“1−衰减
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2 11
函数”，则a的最大值为
2
D. 已知函数f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=|x−a|−a(a>0)，若f(x)是(−2,−1)上的“1−衰减
2
函数”，则a的最小值为
3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设lg2=a，lg3=b，则log 12=__________.(结果用a和b表示)
5
13.“4x+p<0”是“x2−x−2>0”的充分不必要条件，则实数p的取值范围是 ．
2
14.已知实数a，b满足4a+2a=3，log √33b+1+b= ，则2a+3b=__________．
2 3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知命题 ：函数 在区间(1 )上没有零点；命题 ： ，使得
p f(x)=log x−a ,9 q ∃x ∈[0,2]
3 9 0
成立．
x ❑ 2−3x +5−a>0
0 0
(1)若p和q均为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p和q其中有一个是真命题，另外一个是假命题，求实数a的取值范围．
16.(本小题15分)
某文旅企业准备开发一个新的旅游景区，前期投入200万元，若景区开业后的第一年接待游客x万人，则需
9,&0<x≤3,
{
另投入成本 万元，
x2+24x−60,&3<x<30,景区门票价格为
元 人．
P(x) P(x)= 64 /
900
65x+ −420,&x≥30,
x
(1)求该景区开业后的第一年的利润R(x)(万元)关于人数(万人)的函数解析式．
(2)当该景区开业后的第一年接待游客多少人时，获得的利润最大？最大利润是多少？
17.(本小题15分)
在 ①f(x)=a− 2 ， ②f(x)=log (√x2+a−x) ， ③f(x)= { log 3 (x+1),&x>0 这三个条件中任
2x+1 4 −log (ax+1),&x≤0
3
选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
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3 1已知__________，若函数f(x)为奇函数，且函数y=f(ax−m)的零点在区间(−2,3)内，求m的取值范围．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且∀x，y∈(−∞,0)∪(0,+∞)，都有
f(xy)=xf(y)+ yf(x)成立．
(1)求f(1)，f(−1)的值，并判断f(x)的奇偶性．
f(x)
(2)已知函数g(x)= ，当x>1时，g(x)<0．
x
(i)判断g(x)在(0,+∞)上的单调性；
若 均有 ，求满足条件的最小的正整数 ．
(ii) ∀x∈[0,1] g(a⋅2x+1)+g(2x)<g(2) a
19.(本小题17分)
当a>0且a≠1时，log (m×n)=log m+log n对一切m>0，n>0恒成立．学生小刚在研究对数运算时，
a a a
发现有这么一个等式log (1×1)=log 1×log 1，带着好奇，他进一步对log (m×n)=log m×log n进
2 2 2 2 2 2
行深入研究．
(1)若正数m，n满足log (m×n)=log m×log n，当m=8时，求n的值；
2 2 2
(2)除整数对(1,1)，请再举出一个整数对(m,n)满足log (m×n)=log m×log n；
2 2 2
(3)若m>1，求使得等式log (m×n)=log m×log n成立的正整数对(m,n).
2 2 2
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4 1参考答案
1.C
2.B
3.A
4.A
5.A
6.D
7.D
8.D
9.BD
10.BD
11.AC
2a+b
12.
1−a
13.{p丨p⩾4}
14.2
15.解： 函数 在区间(1 )上单调递增，
(1) f(x)=log x−a ,9
3 9
若 为真命题： 在区间(1 )上没有零点，
p ∴f(x)=log x−a ,9
3 9
1 1
∴f( )=log −a=−2−a≥0或者F(9)=log 9−a=2−a⩽0，
9 39 3
得a≤−2或a≥2；
若 为真命题：令 ， 有解，即 ，
q f(x)=x2−3x+5−a(0≤x≤2) ∴a<x2−3x+5 a<5
{a⩽−2或a⩾2
故p和q均为真命题，则
a<5
所以(1)p，q均为真命题，a的范围为：a≤−2或2≤a<5；
(2)p，q一真一假，
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5 1{a⩽−2或a⩾2
若p真，q假，则 ，解得a的取值范围是a≥5;
a⩾5
{−2<a<2
若p假，q真，则 ，即−2<a<2，
a<5
∴a的取值范围是a≥5或−2<a<2．
64x−200−9,0<x≤3,
{
16.解：
64x−200−(x2+24x−60),3<x<30,
(1)R(x)=
900
64x−200−(65x+ −420),x≥30,
x
64x−209,0<x≤3,
{
即
−x2+40x−140,3<x<30,
R(x)=
900
−x− +220,x≥30.
x
(2)当0<x≤3时，R(x)单调递增，R(x) =R(3)=−17(万元)．
max
当3<x<30时，R(x) =R(20)=260(万元)．
max
900 √ 900
当x≥30时，R(x)=−(x+ )+220≤−2 x⋅ +220=160，当且仅当x=30时，等号成立．
x x
综上，当该景区开业后的第一年接待游客20万人时，获得的利润最大，最大利润为260万元．
17.解：选①；
∵f(x)是奇函数，
2 2
∴f(−x)+f(x)=a− +a− =0，得a=1．
2x+1 2−x+1
2
∴f(x)=1− ，经检验，满足题意，
2x+1
易知f(x)在R上是增函数，且f(0)=0，
∴f(x)有唯一零点0，
∵函数y=f(x−m)的零点在区间(−2,3)内，
∴x−m=0在(−2,3)上有解，
∴m=x，即m∈(−2,3)．
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6 1选②；
∵f(x)是奇函数，
，
∴f(−x)+f(x)=log (√x2+a−x)+log (√x2+a+x)=0
4 4
得a=1，经检验，满足题意，
，易知 在 上是增函数，且 ，
∴f(x)=log (√x2+1+x) f(x) R f(0)=0
4
∴f(x)有唯一零点0，
∵函数y=f(x−m)的零点在区间(−2,3)内，
∴x−m=0在(−2,3)上有解，
故m∈(−2,3)．
选③；
当x<0时，−x>0，
∴f(−x)=log (−x+1)，
3
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，
∴−f(x)=log (−x+1)，
3
∴f(x)=−log (−x+1)(x<0)，
3
得a=−1，经检验，满足题意，
{ log (x+1),x>0, 易知 在 上是增函数，且 ，
∴f(x)= 3 f(x) R f(0)=0
−log (−x+1),x≤0,
3
∴f(x)有唯一零点0．
∵函数y=f(−x−m)的零点在区间(−2,3)内，
∴−x−m=0在(−2,3)上有解，
∴m=−x，即m∈(−3,2)．
18.解：(1)令x= y=1，得f(1)=2f(1)，解得f(1)=0，
令x= y=−1，得f(1)=−2f(−1)=0，故f(−1)=0．
令y=−1，得f(−x)=xf(−1)−f(x)，即f(−x)=−f(x)，
又f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，关于原点对称，所以f(x)是奇函数．
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7 1f(xy) f(y) f(x)
(2)(i)由f(xy)=xf(y)+ yf(x)，可得 = + ，
xy y x
即g(xy)=g(x)+g(y)．
∀x ，x ∈(0,+∞)且x <x ，
1 2 1 2
x x
有 g(x )=g ( x ⋅ 2 ) =g(x )+g ( 2 )，
2 1 x 1 x
1 1
因为 ，所以x ，
x >x >0 2>1
2 1 x
1
x
从而 g ( 2 ) <0 ，得 g(x )−g(x )<0 ，
x 2 1
1
因此g(x)在(0,+∞)上单调递减．
f(−x) f(x)
(ii)因为g(−x)= = =g(x)，x∈(−∞,0)∪(0,+∞)，所以g(x)是偶函数．
−x x
，而 在 上单调递减，
g(a⋅2x+1)+g(2x)=g(a⋅4x+2x)<g(2) g(x) (0,+∞)
则有a⋅4x+2x>2或a⋅4x+2x<−2，由题可知，只需考虑a⋅4x+2x>2成立，
从而有 2−2x ( 1 ) 2 1 ( 1 1) 2 1．
a> =2 − =2 − −
4x 2x 2x 2x 4 8
因为 ，所以 1 [1 ]，则 ( 1 1) 2 1的最大值在 处取到，
x∈[0,1] ∈ ,1 2 − − x=0
2x 2 2x 4 8
故只需 ( 1) 2 1 ．
a>2 1− − =1
4 8
综上，满足条件的最小的正整数a=2．
19.(1)解：∵log (8n)=log 8×log n=3log n，
2 2 2 2
∴log 8+log n=3log n，即2log n=3，
2 2 2 2
3 ．
∴n=22=2√2
(2)解：log (4×4)=log 4×log 4，
2 2 2
所以整数对(4,4)满足．
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8 1(3)证明：∵log (m×n)=log m×log n，
2 2 2
∴log m+log n=log m×log n，且m，n∈N∗．
2 2 2 2
当m=2时，1+log n=log n，显然无解．
2 2
当m=3时，log 3+log n=log 3×log n，
2 2 2 2
log 3
可得 ，无正整数解，
log n= 2 =log 3
2 log 3−1 3
2 2
同理，当n=2和n=3时，m也无正整数解．
当 ， 时， log m 1 ，
m≥4 n≥4 log n= 2 =1+
2 log m−1 log m−1
2 2
1
∵log m≥2，∴由复合函数单调性可得1+ ∈(1,2]，
2 log m−1
2
又∵log n≥2，∴当且仅当m=n=4时，原等式成立，
2
即若m>1，使得等式log (m×n)=log m×log n成立的正整数对仅(4,4)．
2 2 2
第 页，共 页
9 1
