文档内容
衡阳市一中 2023 级 2023-2024 学年下学期期末考试
高一数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1．考生你好，本场考试需要2小时，在本场考试中，钟表的时针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
2．定义在 上的函数 为偶函数， ， ，则（ ）
A． B． C． c D．
3．下表是某服装销售公司2021年度各类服装营业收入占比和净利润占比统计表：
衣服裤子 帽子围巾
鞋类 其他类
类 类
营业收入占比
净利润占比
下列判断中不正确的是（ ）
A．该公司2021年度鞋类销售亏损
B．该公司2021年度净利润主要由衣服裤子类销售提供
C．该公司2021年度帽子围巾类营业收入和净利润相同
D．清除鞋类销售数据后，该公司2021年度衣服裤子类销售净利润占比将会降低
4．已知甲袋中有4个白球､ 个红球，乙袋中有2个白球､4个红球，各个球的大小与质地相同.现从甲､乙两袋中依
次不放回地各取2个球，若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等，
则 （ ）
A．2 B．4 C．6或2 D．8或4
5．已知函数 的图象经过点 和 .若函数 在区间
上有唯一零点，则实数 的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
6．平面内有向量 满足 ， ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
7．在四棱锥 中，AD＝2， ， ，且 ， ，则直线 与平面
所成角的正弦值的最大值为（ ）A． B． C． D．
8．函数 ，已知 为 图象的一个对称中心，直线 为 图象的
一条对称轴，且 在 上单调递减．记满足条件的所有 的值的和为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．下列命题中，真命题是（ ）
A． ，使得
B．
C．幂函数 在 上为减函数，则m的值为
D． ， 是 的充分不必要条件
10．设正数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最大值为1
B． 的最小值为
C． 的最小值为
D． 的最小值为
11．已知棱长为2的正方体 的棱切球（与正方体的各条棱都相切）为球 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．球 的体积为
B．球 内接圆柱的侧面积的最大值为
C．球 在正方体外部的体积小于
D．球 在正方体外部的面积大于
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．若 ，则 ．13．已知某圆台的体积为 ，其上底面和下底面的面积分别为 ， ，且该圆台两个底面的圆周都在球
的球面上，则球 的表面积为 .
14．已知函数 若 在区间D上的最大值存在，记该最大值为 ，则满
足等式 的实数a的取值集合是 .
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15．已知向量 ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ， ，求 的值.
16．如图，在四棱台ABCD-ABC D 中，底面ABCD是菱形，∠ABC= ，∠BBD= ，
1 1 1 1 1
（1）求证：直线AC⊥平面BDB ；
1
（2）求直线AB 与平面ACC 所成角的正弦值.
1 1 1
17．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市"知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作
为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： ， ，…， ，
得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的上四分位数；
(3)已知落在 的平均成绩是54，方差是7，落在 的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
18．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ，且 ， 为线段 上的
动点.
(1)若 为 的中点，求三棱锥 的体积；
(2)若 ，问 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，请指明点 的位置；若不存在，请说明
理由；
(3)求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
19．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其
尺寸（单位： ）.下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得 ， ， ， 其中
为抽取的第 个零件的尺寸， .
(1)求 的相关系数 ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地
变大或变小（若 ，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）；
(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能
出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（i）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
（ii）请利用已经学过的方差公式： 来证明方差第二公式 .
（iii）在 之外的数据称为离群值，试剔除离群值，并利用（ii）中公式估计这条生产线当天生产的零
件尺寸的均值与标准差.（精确到0.01）
附：样本 的相关系数 ， .答案
1．B 2．C 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．CD 10．BCD 11．BCD
12．
13．
14．
15．(1) (2)
16.（1）连接 交于 ，
因为 ， ， ，
所以 ，故
又因为 为菱形对角线交点，即是线段 的中点，所以
又四边形 为菱形，故
而 ，所以 平面
方法二：因为 ，
所以点 在平面 内的射影 在为 的平分线，
又四边形 为菱形，故 为 的平分线，则 直线
故平面 平面 ，而平面 平面 ，
又四边形 为菱形，故
所以 平面
（2）延长 交于点 ，平面 即为平面 ，平面 即平面
由（1）得平面 平面 ， 平面 平面 ，
所以过 做 ，则 平面 ，故 即为直线 与平面 所成角（若研究直线 与平
学科网（北京）股份有限公司面 所成角的正弦值则线段等比例扩大2倍结果不变）
因为四棱台 中 ，所以 ，
由菱形有 ，且∠ABC= ，所以 ，
作 ，因为 ，则 ， ，所以 ，
则 ， ， ，
故 .
法二：延长 交于点 ，
平面 即为平面 ，平面 即平面 ，
设直线 与平面 所成角为
过 作 ，垂足为 ，因为 ，所以
建系，以 为 轴，作 轴 ，
设平面 的法向量为 ，则，
所以 ，
所以
17．（1） 每组小矩形的面积之和为1，
，
．
（2）成绩落在 ， 内的频率为 ，
落在 ， 内的频率为 ，
设第75百分位数为 ，
由 ，得 ，故第75百分位数为84；
（3）由图可知，成绩在 ， 的市民人数为 ，
成绩在 ， 的市民人数为 ，
故 ．
所以两组市民成绩的总平均数是62，
，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
18．（1）因为 为 的中点，所以点 与点 到平面 的距离之比为 ，
故 .
（2）
存在，取AB的中点 ，连接DM交AC于点 ，连接EG，
则EG为面AEC与面PMD的交线.
学科网（北京）股份有限公司易得 ，
在三角形 中， ，所以 ，所以 平面EAC，
即存在点 ，且当 为AB中点时， 平面 .
（3）过点P作 ，因为 ，
所以 ，面 面 ，
因为 面 ，所以 ，又 ， ，
所以 面 ，
又因为 ，所以 面 ， ， ，
所以 是面 与面 所成锐二面角的平面角，
因为 是等腰直角三角形，所以 .
19．（1）由题可得 ，
，
所以 ，
则 ，所以可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小
（2）（i）由题可得 ， ，
因为第13个零件的尺寸为 ， ，
所以从这一天抽检的结果看，需对当天的生产过程进行检查；
（ii）由于
，证毕.
（iii）剔除离群值后，剩下的数据平均值为 ，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为 ，
剔除离群值后， ，所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差 ，
所以剔除离群值后，这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为 ，
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