文档内容
运城市 2024 年高三第二次模拟调研测试
数学
试卷类型：A
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题
区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：高考范围。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知圆锥的侧面积为 ，它的侧面展开图是圆心角为 的扇形，则此圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.已知向量 和 满足 ， ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.已知双曲线 的两条渐近线均和圆 ： 相切，且双曲线的左
焦点为圆 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
学科网（北京）股份有限公司5.将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，若函数
在区间 上恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6.“五一”假期将至，某旅行社适时推出了“晋祠”“五台山”“云冈石窟”“乔家大院”“王家大院”共
五条旅游线路可供旅客选择，其中“乔家大院”线路只剩下一个名额，其余线路名额充足.现有小张、小胡、
小李、小郭这四人前去报名，每人只选择其中一条线路，四人选完后，恰好选择了三条不同的线路.则不同
的报名情况总共有（ ）
A.360种 B.316种 C.288种 D.216种
7.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8.已知正方形 的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则 最小值为
（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.水稻产量是由单位面积上的穗数、每穗粒数（每穗颖花数）、成粒率和粒重四个基本因素构成.某实验基
地有两块面积相等的试验田，在种植环境相同的条件下，这两块试验田分别种植了甲、乙两种水稻，连续
试验5次，水稻的产量如下：
甲（单位：kg） 250 240 240 200 270
乙（单位：kg） 250 210 280 240 220
则下列说法正确的是（ ）
A.甲种水稻产量的极差为70
B.乙种水稻产量的中位数为240
学科网（北京）股份有限公司C.甲种水稻产量的平均数大于乙种水稻产量的平均数
D.甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差
10.已知函数 的定义域为 ，且对任意的 ，都有 ，若 ，
则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的图象关于y轴对称
C. D.
11.如图，在棱长为2的正方体 中，点 是侧面 内的一点，点 是线段 上
的一点，则下列说法正确的是（ ）
A.当点 是线段 的中点时，存在点 ，使得 平面
B.当点 为线段 的中点时，过点A， ， 的平面截该正方体所得的截面的面积为
C.点 到直线 的距离的最小值为
D.当点 为棱 的中点且 时，则点 的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合 ， ，若 ，则 的子集的个
数为__________.
13.已知 ， ，则 __________.
14.已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线与 交于A，B两点，
学科网（北京）股份有限公司且 ，若 的面积为 ，其中O为坐标原点，则 的值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， .
（1）求 的值；
（2）如图， ，点D为边 上一点，且 ， ，求 的面积.
16.（本小题满分15分）
长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧
气量若超过平时的7-8倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加
快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生
是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下2×2列联表：
喜欢 不喜欢 合计
男 120 80 200
生
女 100 100 200
生
合 220 180 400
计
（1）试根据小概率值 的独立性检验，能否认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联?
（2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9
人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量X表示抽到的3人中女生的人数，求X的分布列；
（3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为
Y，求Y的数学期望.
附： ，其中 .
0.10 0.050 0.025 0.01 0.001
0 0
2.70 3.841 5.024 6.63 10.828
6 5
17.（本小题满分15分）
学科网（北京）股份有限公司如图1，在 中， ， ，点 是线段 的中点，点E是线段 上的一点，
且 ，将 沿 翻折到 的位置，使得 ，连接 ， ，如图2所示，
点 是线段 上的一点.
图1 图2
（1）若 ，求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的长.
18.（本小题满分17分）
已知抛物线 ： 的准线与圆 ： 相切.
（1）求 的方程；
（2）设点P是 上的一点，点A，B是 的准线上两个不同的点，且圆 是 的内切圆.
①若 ，求点P的横坐标；
②求 面积的最小值.
19.（本小题满分17分）
已知函数 .
（1）若 ，求 的图象在 处的切线方程；
（2）若 对于任意的 恒成立，求 的取值范围；
（3）若数列 满足 且 ，记数列 的前 项和为 ，求证：
.
学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司运城市 2024 年高三第二次模拟调研测试·数学
参考答案、提示及评分细则
1.A 因 为 复 数 满 足 ， 所 以 ， 所 以
.故选A.
2.B设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则 ， ，解得 ， ，所以此圆锥的
高 ，所以此圆锥的体积 .故选B.
3.A 因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ，解得
，设 与 的夹角为 ，则 ，所以向量 在向量 上的投影向量为
.故选A.
4.D 双曲线的一条渐近线方程为 ，所以 .圆 ： 的标准方程为
，所以圆心为 ， ，所以 ，又 ，解得 ，
，所以双曲线的方程为 .故选D
5.C将函数 的图象向右平移 个单位长度，
得到 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
当 时， ，
又函数 在区间 上恰有两个零点，
所以 ，解得 ，
即 的取值范围是 .故选C.
6.C若小张、小胡、小李、小郭这四人中，没有人选择“乔家大院”线路，则报名情况有 种.
若小张、小胡、小李、小郭这四人中，恰有 1 人选择“乔家大院”线路，则报名情况有
种.
所以不同的报名的情况总共有144+144=288种.故选C.
7.B由题意知 ，所以 ，
又 ，
所以 ，所以 .
设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以 .所以 所以 ，
所以 ，即 的取值范围是 .故选B.
8.D以A为坐标原点， ， 所在的直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
学科网（北京）股份有限公司设 ，所以 ，又 ， ， ，
所以
，
令 ，即 ，所以直线 与圆 有公共点，所以 ，
解得 ，
所以 .故选D.
9.ABD由表中数据可知，甲种水稻产量的极差为270-200=70，故A正确；
由表中数据可知，乙种水稻产量从小到大排列为210，220，240，250，280，所以乙种水稻产量的中位数
为240，故B正确；
对于C，甲种水稻产量的平均数为 ，乙种水稻产量的平均数为
，所以甲种水稻产量的平均数等于乙种水稻产量的平均数，故C
错误；
甲种水稻产量的方差为
，
乙种水稻产量的方差为
，
所以甲种水稻产量的方差小于乙种水稻产量的方差，故D正确.
故选ABD.
学科网（北京）股份有限公司10.AC令 ， ，得 ，解得 ，故A正确；
令 ， ， 所 以 ， 解 得 ， 令 ， 所 以
，所以 是奇函数，所以 的图象关于原点对称，故B错误；
因为 ，令 ，
则 ，所以 ，
令 ，则 ，
又 ，所以 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ，所以 ，
令 ，
则 ，
所以
，
所以 ，
所以 ，故C正确，D错误.
故选AC.
11.ACD以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示.
学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ，
当点 是线段 的中点时， ，
设 ，
所以 ， ， ，
假设存在点 ，使得 平面 ，
则 ， ，
解得 ，
所以存在点 ，使得 平面 ，此时点E与点C重合，故A正确；
取 的中点F，连接 ， ， ， ， ，如图所示.
则 ， ，所以 ，
又易得 ， ， ，
所以梯形 的面积为
，
所以过A，E， 点的平面截该正方体所得的截面的面积为 ，故B错误；
又 ，设 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
所以点 到直线 的距离
，
所以 ，
此时 ，所以点E到直线 的距离的最小值为 ，故C正确；
取 的中点G，连接 ， ， ，
易得 平面 ，又 平面 ，
所以 ，所以 ，
则点 在侧面 内运动轨迹为以G为圆心，半径为2的劣弧，
分别交 ， 于 ， ，
则 ，则 ，
所以点P的轨迹长度为 ，故D正确.
故选ACD.
12.8由题意知 ，又 ，
所以 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，所以 的子集的个数为 .
13. 因为 ，即 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
因为 ，
所以 ，解得 ， ，
所以 .
14. 因为 的面积为 ，所以 ，
在 中，设 ， ，
由余弦定理可得 ，
即
，
则 ，
所以 的面积 ，
所以 ，
即 ，由于 ，所以 .
又 ，所以 是等边三角形，即 ，
学科网（北京）股份有限公司由椭圆的定义可得 ，所以 ，
则 ， ，所以 ，
则 .
15.解：（1）因为 ，
由正弦定理得
，
又 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，所以 ， ，
所以 .
（2）设 ，又 ，
所以 ， .
在 中，由余弦定理得 ，
解得 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
又 ，所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 的面积 .
16.解：（1）零假设为 ：学生对长跑的喜欢情况与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关
联，此推断犯错误的概率不大于0.050.
（2）从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取 9人，其中男生的人数为：
人，
女生人数为： 人.
的所有可能取值为0，1，2，3，
所以 ， ，
， ，
的分布列为：
0 1 2 3
（3）由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率 ，
所以 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司17.（1）证明：过点 作 ，垂足为 ，
在 上取一点 ，使得1 ，连接 ， ，
如图所示.
因为 ， ，所以 且 ，
因为 是 的中点，且 ，所以 且 ，
所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）解：因为 ， ， ， 平面 ，所以 平面
，
又 平面 ，所以 ， .
又 ，所以 ， ， 两两垂直，
故以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示.
所以 ， ， ， .
设平面 的一个法向量 ，
又 ， ，
所以
令 ，解得 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以平面 的一个法向量 .
设 ，
所以
，
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
所以
，
解得 或 ，所以 或 .
18.解：（1）由题意知 的准线为 ，又 的准线与圆 ： 相切，所以 ，
解得 ，所以 的方程为 .
（2）设点 ，点 ，点 ，直线 方程为 ，
化简得 .
又圆 是 的内切圆，
所以圆心 到直线 的距离为1，即 ，
故 ，
易知 ，上式化简得， ，
同理有 ，
所以m，n是关于t的方程 的两个不同的根，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， .
所以 ，
又点 是 上的一点，所以 ，
所以 .
①若 ，则 ，
解得 或 （舍），所以点P的横坐标为3.
②因为点 到直线 的距离 ，
所以 的面积
，
令 ，则 ，
因为 ， ，
当且仅当 时等号成立，所以 ，
即 面积的最小值为 .
19.（1）解：若 ，则 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 的图象在 处的切线方程为 ，即 .
（2）解： ，
学科网（北京）股份有限公司令 ，所以 ，
当 ，即 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，即 在 上单调递增，
所以 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，符合题意；
当 ，即 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，
所以存在 ，使得 ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，不符合题意.
综上， 的取值范围是 .
（3）证明：因为 ，所以 ，
即 ，所以 是公差为 的等差数列，
又 ，所以 ，所以 .
由（2）知当 时， ，
所以当 ， 时， ，
即 .
学科网（北京）股份有限公司所以
，
所以 ，
又 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司
