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第五章 一元函数的导数及其应用 单元过关检测
能力提升B 卷 解析版
题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟
一、单选题
1．如图中的阴影部分由直径为2的半圆和底为1，高为2，3的两矩形构成，设函数
S是图中阴影部分介于平行线 和 之间的那一部分的面积，那么函数
的图象大致为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据图象依次分析[0，1]、[1，2]和[2，3]上面积增长速度的变化情况，从而求得结果.
【详解】
根据图象可知在[0，1]上面积增长速度越来越慢，在图形上反映出切线的斜率在变小；在[1，2]上
面积增长速度恒定，在[2，3]上面积增长速度恒定，而在[1，2]上面积增长速度大于在[2，3]上面积
增长速度，在图形上反映出[1，2]上的切线的斜率大于在[2，3]上的切线的斜率，因此C项符合题
意.
【点睛】
本题考查函数图象的应用和判断，解题的关键在于得出面积变化速度与函数图像的切线斜率的关系，
属中档题.
2．函数 在定义域 内可导，其图像如图所示．记 的导函数为
，则不等式 的解集为( )A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
就是由函数 的减区间得 的解区间．
【详解】
由图象知 和 上 递减，因此 的解集为 ．
故选A．
【点睛】
本题考查导数与单调性的关系． 的解区间是 的减区间， 的解区间是
的增区间．
3．曲线 上的点到直线 的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设与直线 平行且与曲线 相切的直线方程为 .设切点为
，利用导数的几何意义求得切点 ，再利用点到直线的距离公式即可得出结果.
【详解】
设与直线 平行且与曲线 相切的直线方程为 .设切点为 ，对函数 求导得 ，
由 ，可得 ，则 ，所以，切点为 .
则点 到直线 的距离 .
曲线 上的点到直线 的最短距离是 .
故选：A.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义和两条平行线之间的距离、点到直线的距离公式，属于中档题.
4．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据函数单调性，将问题转化为 在区间 上恒成立求参数范围的问题；再分离参数，
则问题得解.
【详解】
因为 在区间 上单调递增，
故 在区间 上恒成立.
即 在区间 恒成立.
故 .
故选： .
【点睛】
本题考查利用导数由函数的单调性求参数的范围，属基础题.5．若函数 与函数 的图象存在公切线，则正实数 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别求出两个函数的导函数，设出切点，求得切线的斜率，进而求得切线方程，通过对比系数得出
等量关系式，也即原命题的等价命题，结合导数求得正实数 的取值范围.
【详解】
的导函数 ， 的导函数为 .设切线与 相切的切点为
，与 相切的切点为 ，所以切线方程为
、 ，即 、
.所以 ，所以 ，由于 ，所以
，即 有解即可.令 ，
，所以 在 上递增，在 上递减，最大值为 ，
而 时 ，当 时， ，所以 ，所以 .所以正实数
的取值范围是 .
故选：D【点睛】
本小题主要考查两条曲线公切线的问题的求解，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归
与转化的数学思想方法，属于中档题.
6．已知函数 .过点 引曲线 的两条切线，这两条切线与y
轴分别交于A，B两点，若 ，则 的极大值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设切点的横坐标为 ，利用切点与点 连线的斜率等于曲线 在切点处切线的斜率，利用导数建
立有关 的方程，得出 的值，再由 得出两切线的斜率之和为零，于此得出 的值，再
利用导数求出函数 的极大值点．
【详解】
设切点坐标为 ，∵ ，∴ ，即 ，
解得 或 .∵ ，∴ ，即 ，
则 ， .当 或 时， ；当
时， .故 的极大值点为 .
【点睛】
本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设
切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题．
7．已知函数 ，其中 为函数 的导数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将函数解析式变形为 ，求得 ，进而可求得所求代数式的值.
【详解】
，
所以， ，
，函数 的定义域为 ，
，
所以，函数 为偶函数，
因此， .
故选：B.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；
（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.
在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
8．已知函数 .则下列结论中错误的是（ ）A． 的极值点不止一个 B． 的最小值为
C． 的图象关于 轴对称 D． 在 上单调递减
【答案】A
【分析】
判断函数的值域以及函数的单调性，求解函数的极值，函数的奇偶性、对称性，即可得到结果.
【详解】
因为 ， ，
所以 ，
则当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 ，且 只有一个极值点.
因为 ，所以 是偶函数，其图象关于 轴对称.
所以选项BCD正确，选项A错误，
故选：A
【点睛】
本题主要考查了函数的图象和性质，函数的关系式，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能
力，属于中档题.
二、多选题
9．已知 是定义在 上的函数， 是 的导函数，给出如下四个结论，其中正确的
是（ ）
A．若 ，且 ，则 的解集为
B．若 ，且 ，则函数 有极小值0
C．若 ，且 ，则不等式 的解集为D．若 ，则
【答案】ABD
【分析】
根据各选项的条件分别构造出函数 ，再利用导数得到函数 的单调性，再根据单调性和
已知条件依次判断即可得到答案.
【详解】
对选项A：设 ，因为 ，且 ，
则 ，所以 在 上增函数，
又因为 ，
所以当 时， ，
即 的解集为 ，故A正确.
对选项B，设 ，
因为
所以当 时， ， 为减函数，
当 时， ， 为增函数，
故当 ， 取得极小值，极小值为 ，故B正确.
对选项C，设 ， .
因为 ， ，所以 ， 在 上增函数.
又因为 ，所以 .
所以当 时， ，故C错误.对选项D，设 ，
因为 ，所以 ， 在 上增函数.
所以 ， ，即 .
故D正确.
故选：ABD
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值，同时考查了构造函数，属于中档题.
10．若存在 ，使得 对任意 恒成立，则函数 在 上有下界，其中 为函数
的一个下界；若存在 ，使得 对任意 恒成立，则函数 在 上有上
界，其中 为函数 的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列说
法正确的是（ ）
A．2是函数 的一个下界B．函数 有下界，无上界
C．函数 有上界，无下界 D．函数 有界
【答案】ABD
【分析】
由基本不等式可判断A；利用导数可确定 ，即可判断B；由 恒成立即可
判断C；利用放缩法即可判断D.
【详解】
对于A，当 时， ,当且仅当 时取等号，
恒成立， 是 的一个下界，故A正确；对于B，因为 ，
当 时， ； 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， 有下界，
又 时， ， 无上界，故B正确；
对于C， ， ， 恒成立， 有下界，故C错误；
对于D， ， ，
又 ， ， ， 既有上界又有下界，
即 有界，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题考查了函数新定义的应用，关键是明确新定义运算实际考查了函数值域的求解问题，涉及到利
用导数来求解函数的单调区间和最值，属于中档题.
11．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导
数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，
且“拐点”就是对称中心，设函数 ，则以下说法正确的是（ ）
A．函数 对称中心B． 的值是99
C．函数 对称中心
D． 的值是1
【答案】BC
【分析】
根据题意求出函数 对称中心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可.
【详解】
,
令 ，解得 ， ，
由题意可知：函数 的对称中心为 ；
因为函数 的对称中心为 ，
所以有 ，
设 ，
所以有 ，
得， ，
即 的值是99.
故选：BC
【点睛】本题考查了利用导数求函数的对称中心，考查了利用函数的对称性求函数值之和问题，考查了数学
阅读能力和数学运算能力.
12．如图，在四面体 中，点 ， ， 分别在棱 ， ， 上，且平面
平面 ， 为 内一点，记三棱锥 的体积为 ，设 ，对于函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．当 时，函数 取到最大值
B．函数 在 上是减函数
C．函数 的图象关于直线 对称
D．不存在 ，使得 (其中 为四面体 的体积).
【答案】ABD
【分析】
由题意可知 ，设 ，则 .利用导数性质求
出当 时，函数 取到最大值.
【详解】
在四面体 中，点 ， ， 分别在棱 ， ， 上，且平面 平面 ，
由题意可知 ，
， .
棱锥 与棱锥 的高之比为 .设 ，
.
，
当 时， ，当 时， ，
当 时，函数 取到最大值.故 正确；
函数在函数 在 上是减函数，故 正确；
函数 的图像不关于直线 对称，故 错误；
，
不存在 ，使得 (其中 为四面体 的体积).故 正确.
故选： .
【点睛】
本题考查相似三角形性质的应用，利用导数研究几何体体积最值问题，属于中档题
三、填空题
13．设 为可导函数，且满足 ，则曲线 在点 处的
切线的斜率是______.【答案】
【分析】
首先根据极限的运算法则，对所给的极限进行整理，写成符合导数的定义的形式，写出导数的
值，即可得到函数在这一个点处的切线的斜率
【详解】
解：因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以曲线 在点 处的切线的斜率为 ，
故答案为：
【点睛】
此题考查导数的定义，切线的斜率，以及极限的运算，属于基础题
14．在 中， 分别为角 的对边，若函数
有极值点，则 的范围是__________．
【答案】
【详解】
由题意 有两个不等实根，
所以 ， ，
所以 ，所以 ．故答案为： .
【点睛】
对定义域内的可导函数来讲，导函数 的零点是函数极值点的必要条件，只有在 的两侧
的符号正好相反， 都是极值点．本题中导函数 是二次函数，因此要使得 的
零点为 的极值点，只要求相应二次方程有两个不等实根即可．
15．为迎接2020年奥运会，某商家计划设计一圆形图标，图标内部有一“杠铃形图案”（如图中
阴影部分），圆的半径为1米， ， 是圆的直径， ， 在弦 上， ， 在弦 上，
圆心 是矩形 的中心.若 米， ， ，则“杠铃形图案”面积
的最小值为______平方米.
【答案】
【分析】
先求出面积关于 的函数解析式，利用导数判断函数单调性，再计算函数最小值．
【详解】
设 中点为 ，连接 ，则 ， ，
则 ， ，
所以“杠铃形图案”的面积为 ，
则 .
因为 ，所以 ， ， 单调递增.
所以
当 时， 的最小值 .
则“杠铃形图案”面积的最小值为 平方米.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题主要考察实际问题中函数的应用，根据题意写出面积关于 的函数解析式，再利
用导数求函数的最大值，难点在于利用导数求极值，考查了运算能力，属于中档题.
16．若函数 ，对于任意的 ， （其中 ）不等式
恒成立，则 的取值范围为________．【答案】 ．
【分析】
转化条件为 在 上恒成立，求得 即可得解.
【详解】
由题意，函数 在 上是单调递增函数，
所以 即 在 上恒成立，
因为当 时， ，所以 ，
所以 的取值范围为 ．
故答案为： .
四、解答题
17．已知二次函数 .
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【分析】
（1）对函数 求导，根据导数的几何意义，先求出切线斜率，进而可得切线方程；
（2）先对 求导，分别讨论 ， 两种情况，根据导数的方法研究函数单调性，即可得
出结果.
【详解】
（1）由 得 ，
则 在点 处的切线斜率为 ，又 ，
所以 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为
所以
当 时， 在 上恒正；
所以 在 上单调递增
当 时，由 得 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
综上所述，
当 时， 在 上单调递增；
当 时，当 时， 单调递减； 当 时， 单调
递增.
【点睛】
本题主要考查求曲线在某点处的切线方程，考查导数的方法求函数单调性，属于常考题型.
18．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若对于任意的 ，当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围．【答案】（1） 在 递增，在 递减，在 递增（2）
【解析】
【分析】
（1）先求函数的定义域以及导数，然后根据导数的零点 与 的大小关系确定分类讨论的标
准，再结合 的符号讨论函数 的单调性.
（2）结合函数 的单调性，求出 ，则问题转化为
对于任意 恒成立问题，再求出 ，
的最大值，即可求出 的范围.
【详解】
解：（1） 的定义域是 ，
，
①当 时，令 ，解得： ，或 ，
令 ，解得： ，
故 在 递增，在 递减，在 递增，
②当 时， ， 在 递增，
③当 时，令 ，解得： ，或 ，令 ，解得： ；
故 在 递增，在 递减，在 递增；
（2）由（1）知 时， 在 递增，
故 在 递增，
故 ，
要使不等式 在 恒成立，
只需 ，
记 ，则 ，
故 在 递增， 的最大值是 ，
故 ，
故 的范围是 ．
【点睛】
主要考查了含参函数单调性的讨论，以及恒成立问题，属于难题.对于恒成立问题，关键是等价转
化为函数最值问题.而含参函数单调性的讨论的步骤：（1）确定函数的定义域；
（2）求出函数的导数；
（3）根据定义域以及函数导数的零点确定分类标准；
（4）根据导数的符号讨论函数的单调性.
19．如图，某市地铁施工队在自点M向点N直线掘进的过程中，因发现一地下古城(如图中正方形
所示区域)而被迫改道.原定的改道计划为：以M点向南，N点向西的交汇点 为圆心，
为半径做圆弧 ，将 作为新的线路，但由于弧线施工难度大，于是又决定自 点起，改为直道 .已知 千米，点A到OM，ON的距离分别为 千米和1千米，
，且 千米，记 .
（1）求 的取值范围；
（2）已知弧形线路 的造价与弧长成正比，比例系数为3a，直道PN的造价与长度的平方成正
比，比例系数为a，当θ为多少时，总造价最少？
【答案】（1） ；（2）当θ为 时，总造价最少.
【分析】
（1）以O为原点，ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意，求出直线CN的方程，
所在圆的方程，联立直线与圆的方程，求出交点C的坐标，当PN过点C时，求出 ，结
合图形，即可得出结果；
（2）先由题意，得到 的长为 ，设 ，得出
， ， ，用导数的方法求出其最小
值即可.
【详解】
（1）以O为原点，ON所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ，所以直线CN的方程为 ，
所在圆的方程为 ，
联立 解得 ，
当PN过点C时， ， ，
所以 的取值范围是 .
（2）由题意， 的长为 ，设 ，
则 ，
所以总造价
， ， ，
所以 ，
令 得， ，所以 ，列表如下：↘ 极小值 ↗
所以当 时， 有极小值，也是最小值.
答：当 为 时，总造价最少.
【点睛】
本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法求函数的最值即可，属于常考题型.
20．对于三次函数 ，给出定义：设 是函数 的导
数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐
点”就是对称中心.设函数 .
（1）当 时，求 的值；
（2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【分析】
（1）将 代入，结合定义可求得对称中心，进而可知 .结合所求式子特征
即可求解.
（2）将 代入不等式，结合定义域可分离参数 ，构造函数，求得 并令 ，求得极值点，即可由导函数符号判断函数的单
调性，进而求得 ，即可确定 的取值范围.
【详解】
（1）函数 ，
当 时，
因为 ，
∴ ，
令 ，解得 ，
则对称中心的纵坐标为 ，故对称中心为 ，
所以 ，
所以 ， ，…
则 .
（2）∵ ， ，
即 ，
又 ，
∴ 在 上恒成立.令 .
∴ .
∵ ，
令 ，得 或 （舍去）.
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.
∴ .
∴ ，
即 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查了函数新定义的应用，导函数的运算及中心对称性质的应用，分离参数并构造函数法求参
数的取值范围，由导数研究函数的单调性与最值，属于中档题.
21．已知函数
（1）若 存在极值点1，求 的值；
（2）若 存在两个不同的零点 ，求证：
【答案】(1) ；(2) 见解析.
【详解】
试题分析：（1）由 存在极值点为1，得 ，可解得a.
(2)是典型的极值点偏移问题，先证明 ,再利用 在 上的单
调性，即可得证.试题解析：(1) ，因为 存在极值点为1，所以 ，即
，经检验符合题意，所以 .
(2)
①当 时， 恒成立，所以 在 上为增函数，不符合题意；
②当 时，由 得 ，
当 时， ，所以 为增函数，
当 时， ，所 为减函数，
所以当 时， 取得极小值
又因为 存在两个不同零点 ，所以 ，即
整理得 ，
作 关于直线 的对称曲线 ，
令
所以 在 上单调递增，
不妨设 ，则 ，
即 ，
又因为 且 在 上为减函数，故 ，即 ，又 ，易知 成立，
故 .
点晴：本题主要考查导数在函数中的应用，具体涉及到函数的极值，函数的极值点偏移问题.
第一问中 存在极值点1，所以 ，解得 ;第二问处理极值点问题有两个关键步骤：
一是在 构造函数 证明其大于于0恒成立，二是利用 在
上为减函数 ，两者结合即可证明结论成立.
22．已知 ，函数 ，
（1）求 的最小值；
（2）若 在 上为单调增函数，求实数 的取值范围；
（3）证明： （ ）
【答案】(1)1.
(2) .
（3）证明见解析.
【解析】
分析：（1）先求 的极值，有唯一的极小值，极小值为最小值．
（2） 在 上恒成立，分离变量， 在 上恒成立，
求解函数 在 上的最大值．
（3）利用（2）问的结论进行放缩．详解：（1）函数 的定义域为 ， .
当 ， ，当 ， ，∴ 为极小值点，极小值 .
（2）∵ .
∴ 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
又 ，所以 ，所以，所求实数 的取值范围为 .
（3）由（2），取 ，设 ，
则 ，即 ，于是 .
.
所以 .
点睛：（1）函数极值与最值的性质：有唯一的极小值，极小值为最小值．
（2）对于任意性和存在性问题的处理，遵循以下规则：
1、 恒成立，等价于
2、 使得 成立，等价于
（3）利用导数证明不等式，再利用不等式对数列进行放缩，解决证明数列不等式很有效，
本题还可以采用数学归纳法证明．
