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2024—2025 学年度上学期月考
高一数学
时间：120分钟 满分：150分
命题范围：必修一第一章，第二章2.2.3
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每题5分）
1. 已知集合 ， ， ，则 =（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用集合的运算求解即可.
【详解】 ，
故 .
故选：A
2. 已知命题 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论，直接得到 .
【详解】因为 ，所以 ，
故选：C.3. 设x∈R，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案.
【详解】因为 ，所以 或 ，所以 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：B.
4. 设集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】化简集合 ，再求 ，得到答案.
【详解】由题 ，B={x|x2>4} 或 ，
则 或 .
故选：D.
【点睛】本题考查了不等式的解法，集合的交集运算，属于基础题.
5. 已知 ， ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B【解析】
【分析】由 ，且 ，可得 ， 正负不确定.取特值可得AD错误；根据不
等式的基本性质可判定BC项.
【详解】因为 ， ，
则 ，所以 ， .
AD选项，令 ，满足条件 ， ，
但 ，则 ，故AD错误；
B选项，由 ，则 ，故B正确；
C选项，由 ，则 ，故C错误.
故选：B.
6. 已知命题 为真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】问题转化为不等式 的解集为 ，根据一元二次不等式解集的形式求参数的值.
【详解】因为命题 为真命题，所以不等式 的解集为 .
所以：若 ，则不等式 可化为 ，不等式解集不是 ；
若 ，则根据一元二次不等式解集的形式可知： .
综上可知：故选：D
7. 若不等式 ， ，则 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析： 用变量替换，再得出解集
详解：
点睛：不等式只能线性运算,．
8. 已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ，其中 ， ， 为常数，则不
等式 的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式与对应方程的关系，由韦达定理得到 的关系，再根据一元二次不等式的解法，
即可求解.
【详解】关于 的一元二次不等式 的解集为 ，
则 ，且 是一元二次方程 的两根，于是 ，解得 ，
则不等式 化为 ，即 ，解得 ，
所以不等式 的解集是 ．
故选：A
二、多选题（每题6分）
9. 已知全集 ，集合 ， ，则图中阴影部分所表示的
集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据集合的交并补运算，即可结合选项逐一求解.
【详解】由 可得 ，
故 ,故 ，故A正确，
，故B错误，
= ，C正确，，D错误，
故选：AC
10. 若 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式的性质判断ABC，利用特例判断D.
【详解】因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，即 ，故A正确；
因为 ， ，所以 ，故B错误；
因为 ，所以 ，故C正确；
当 时满足题设条件，但 不成立，故D错误.
故选：AC
的
11. 设 ， ，若 ，则实数 值可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解法、集合间的运算及关系运算分析即可得解.
【详解】解：由题意，集合 ，由 可得 ，
则 或 或 或 ，当 时，满足 即可；
当 时，需满足 ，解得： ；
当 时，需满足 ，解得： ；
因为 时 有且只有一个根，所以 .
所以 的值可以为 .
.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每题5分）
12. 集合 用列举法表示___________
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，求出集合 中的元素，即可求解.
【详解】由 且 ，得到 或 或 或 ，
所以集合 用列举法表示为 ，
故答案为： .
13. 不等式 的解集为______；
【答案】
【解析】【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】解：将不等式 变形为 ，
通分得： ，即： ，解得： 或
故答案为：
【点睛】本题考查分式不等式的解法，是基础题.
14. 已知集合 ， ，且 ，则实数a的最大值是________
【答案】1
【解析】
【分析】利用配方法求出函数 的值域 ，再求出集合 ，根据 画出数轴，求出
的范围，再求出实数 的最大值．
【详解】 得， , ，
, ，
又 ，
则画出数轴可知 ，即实数 的最大值是1，
故答案为：1．
四、解答题
15. 求下列方程或方程组的解集.
（1）
（2）【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）把 视为整体，转化为 ，十字相乘即得解；
（2） 即 代入 ，即得解.
【详解】（1）
或
或
.
解集为
（2） 即 代入
.
解集为:
【点睛】本题考查了二次方程和方程组的解法，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.16. 已知方程 ，且 ， 是方程的两个不同的实数根．
（1）若 ，求 的值；
（2）若 ，且 ，求 取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由根与系数的关系求出 ，代入 化简即可得出答案；
（2）由根与系数的关系求出 ，代入 结合题意解方程即可得出答案.
【小问1详解】
当 时，方程为 ，
则 ； ， ．
【小问2详解】
， ，∵ ，
∴ ，∴ ，解得 ．
又∵方程有两个不同的根，∴ ，
解得 或 ，∴ ．
17. 已知集合 ，集合 .
（1）当a=1时，求 ， ；（2）设a>0，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】（1） ， ；
.
（2）
【解析】
【分析】(1)化简集合A，B，再利用交集、并集的定义直接计算得解.
(2)由“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件可得集合BA，再利用集合的包含关系列出不等式组求解即得.
【小问1详解】
当a=1时， ， ，
所以 ， .
【小问2详解】
因为a>0，则 ，由(1)知， ，
因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得BA，则有 ，解得 ，
的
所以实数a 取值范围是 .
18. 已知关于 的一元二次不等式 ，其中 ．
（1）若不等式的解集是 ，求 ， 值．
（2）求不等式的解集．
【答案】（1） ， ；（2）当 时，不等式的解集为 ；当 时，不等式的解
集为 ，当 时，不等式的解集为 ．
【解析】【分析】（1）先将不等式左边含参部分利用因式分解变形，然后求得不等式解集与 作对比即可求
出 的值；
（2）根据 对 进行分类： ， ， ，对此三类进行讨论，分别求出解集.
【详解】（1） 不等式 的解集是 ， 解得 ， ；
（2） ， ， ，
当 ，即 时，不等式为 ，则不等式的解集是 ，
当 ，即 时，解不等式得 ；
当 ，即 ，解不等式得 ；
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式 的解集为 ，
当 时，不等式的解集为 ．
【点睛】解含参数的一元二次不等式需注意：
（1）不等式含参数部分是否可以进行因式分解；
（2）参数范围是否影响不等式解集求解，注意分类讨论的使用；
（3）最后对所有情况进行总结.
19. 中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合 由全体二元有序实数组组成，在 上定义一个运算，记为 ，对于 中的任意两个元素 ，
，规定： ．
（1）计算： ；
（2）请用数学符号语言表述运算 满足交换律，并给出证明；
（3）若“ 中的元素 ”是“对 ，都有 成立”的充要条件，试求出元素 ．
【答案】（1） （2）交换律： ，证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题中条件，直接计算，即可求出结果；
（2）直接得出 ，再证明，由题中规定，分别得到 与 ，即可证明结论成立；
（3）根据题意，由（2）的结果，得到只需 ，根据题中规定，得到只需
，分别讨论 和 两种情况，即可得出结果.
【详解】（1）因为对于 中的任意两个元素 ， ，
规定： ．
所以 ．
（2）交换律： ，证明如下：
由题知： ，
，
∴ ．
（3）若 中的元素 ，对 ，都有 成立，由（2）知只需 ．
故 ，即 ．
①若 ，显然有 成立；
②若 ，则 ，解得 ．
∴当对 ，都有 成立时，得 ，
易验证当 时，对 ，都有 成立，
∴ ．
【点睛】本题主要考查新定义下的运算，是类比推理的题型，解决此类问题的关键在于对新定义的理解，
属于常考题型.
