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决胜 2024 年高考数学押题预测卷 06
数 学
（新高考九省联考题型）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己
的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知样本数据为 、 、 、 、 、 、 ，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来
的数据相比，下列数字特征一定不变的是（ ）
A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差
【答案】C
【解析】样本数据为 、 、 、 、 、 、 ，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原
来的数据相比，假设从小到大就是从 到 ，极差可能变化，故A错；
平均数为 ，可能变，故B错；
中位数还是按从小到大排序中间位置的数，故C正确；
方差为 ，有可能变，故D错.
故选：C
2．已知全集 ，集合A，B满足 ，则下列关系一定正确的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】因为集合A，B满足 ，故可得 ，
对A：当 为 的真子集时，不成立；
对B：当 为 的真子集时，也不成立；
对C： ，恒成立；
对D：当 为 的真子集时，不成立；
故选：C.
3． ， 的展开式中 项的系数等于40，则 是 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】 的展开式中含 项为 ，
故 ，解得 ，
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故“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
4．若 ，则 （ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
即 ，即 ，
所以 ，所以 ，
则 .
故选：C.
5．在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足
的点A的轨迹为E，则（ ）
A. E是一条垂直于x轴的直线 B. E是一个半径为1的圆
C. E是两条平行直线 D. E 是椭圆
【答案】B
【解析】设 ，由题有 ， ，
所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以点 的集合是以 为圆心，1为半径的圆.
其轨迹 为半径为1的圆，
故选：B．
6．夹弹珠游戏是儿童特别喜欢的游戏，夹弹珠能有效提高参与者的注意力与协调性，调整逻辑思维判
断和空间控制平衡能力，锻炼小肌肉，增强手眼协调，培养敏捷的反应能力，从而提高参与者的适应
能力.如图，三个半径都是 的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器（不计厚度）中，每颗弹珠的
顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的表面积（包括容器的内部和外部两部分）是（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 在面 上的投影为 为大球球心， 为小球球心.
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，大球半径为 ，
，
，
故选：D.
7．已知函数 ， ， ，若
的最小值为 ，且 ，则 的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为 ，
又 ， ，且 的最小值为 ，
所以 ，即 ，又 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，令 ， ，
解得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 .
故选：B
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8．已知 ， 是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称，
若椭圆的离心率为 ，双曲线的离心率为 ，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，设椭圆的长半轴长为 ，双曲线的实半轴长为 ，
则根据椭圆及双曲线的定义得： ，
，设 ，
根据椭圆与双曲线的对称性知四边形 为平行四边形，则 ，
则在 中，由余弦定理得， ，
化简得 ，即 ，
则
，
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当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知复数z在复平面内对应的点为 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由题可知， ， ，故A正确；
， ，故B错误；
，所以 ，C正确；
，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
10．设 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】 ，故A对.
，故B错.
，故C对.
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，
，故D对.
故选：ACD.
11 ． 已 知 定 义 在 上 的 函 数 ， 其 导 函 数 分 别 为
，且 ，
则（ ）
A. 的图象关于点 中心对称 B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】由题意可得 ，两式相减可得 ①，
所以 的图象关于点 中心对称，A错误；
由 ②，②式两边对 求导可得 ，可知 是偶函数，
以 替换①中的 可得 ，
可得 ，所以 是周期为4的周期函数，B正确；
因为 ，可知 也是周期为4的周期函数，即 ，
两边求导可得 ，所以 ，C正确；
因为 ，令 ，则 ，即 ，
又因为 是偶函数，所以 ，
又因为 是周期为4的周期函数，则 ，
由 可得 ，
所以 ，D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．等差数列 的首项为 1，公差不为 0，若 成等比数列，则 的前 5 项的和为
__________.
【答案】
【解析】设等差数列 的公差为 且 ，且 ，
因为 成等比数列，可得 ，即 ，
即 或 （舍去），
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所以 .
故答案为：
13.已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为__________时，圆锥的体积最
大，最大值为__________.
【答案】 ；
【解析】设圆锥的底面半径r，母线为l，高为h，
设母线与底面所成的角为 ，
则 ，
则 ，
则 ，
则圆锥的体积为
，
令 ，则 ，
令 ，求导得 ，
令 ，则 或 舍去 ，
所以当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得极大值，也是最大值.
此时 最大， ，
即圆锥的母线与底面所成的角的余弦值 时，
圆锥的体积最大，最大值为
故答案为： ；
14.在 中，角 所对的边分别为 ，若 分别在边
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和 上，且 把 的面积分成相等的两部分，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
由 ，得 ，
即 ，解得 ，
，
，令 ，
令 ，得 ， ，
所以 ，当且仅当 即 时等号成立.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．为了开展“成功源自习惯，习惯来自日常”主题班会活动，引导学生养成良好的行为习惯，提高
学习积极性和主动性，在全校学生中随机调查了 名学生的某年度综合评价学习成绩，研究学习成
绩是否与行为习惯有关.已知在全部 人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为 ，现按“行
为习惯良好”和“行为习惯不够良好”分为两组，再将两组学生的学习成绩分成五组： 、
、 、 、 ，绘制得到如图所示的频率分布直方图.
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（1）若规定学习成绩不低于 分为“学习标兵”，请你根据已知条件填写下列 列联表，并判断
是否有 的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”；
行为习惯良好 行为习惯不够良好 总计
学习标兵
非学习标兵
总计
（2）现从样本中学习成绩低于 分的学生中随机抽取 人，记抽到的学生中“行为习惯不够良好”
的人数为 ，求 的分布列和期望.
参考公式与数据： ，其中 .
【答案】（1）列联表见解析，有 （2）分布列见解析，
【解析】（1）已知在全部 人中随机抽取一人，抽到行为习惯良好的概率为 ，
则 名学生中，行为习惯良好的有 人，行为习惯不够良好的有 人.
由频率分布直方图可知，行为习惯良好组中不低于 分的学生有 人，
行为习惯不够良好组中不低于 分的学生有 人
则 列联表为：
行为习惯良好 行 为习惯不够良好 总计
学习标兵
非学习标兵
总计
， ，
因为 ，所以有 的把握认为“学习标兵与行为习惯是否良好有关”.
（2）行为习惯良好组中低于 分的学生有 人，
行为习惯不够良好组中低于 分的学生有 人，则 的可能值为 、 、 ，
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， ， .
的分布列为：
期望 .
16．已知 ．
（1）若 在 恒成立，求a的范围；
（2）若 有两个极值点s，t，求 的取值范围．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由函数 ，因为 在 上恒成立，
即 在 恒成立，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以 在 单调递减，所以 ，
所以 恒成立，所以 在 单调递减，所以 ，
所以 ，所以实数 的取值范围为 .
（2）因为 有两个极值点 ，
可得 是 的两不等正根，
即 是 的两不等正根，则满足 ，解得 ，
则
，
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所以 的取值范围为 ．
17．如图，在三棱锥 中， 和 都是正三角形，E是 的中点，点F满足
．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，且 平面 ，求 的长．
【答案】（1）证明见解析 （2）6
【解析】（1）如图，连接 ，因为 ，所以 ．所以A，E，D，F四点共面．
因为在三棱锥 中， 和 都是正三角形，E是 的中点，
所以 ， ．因为 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）如图，记 的中心为O，连接 ，由（1）得 ．同理可证 ，
且 ,所以 平面 ，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为 是正三角形， ，所以 ， ， ．
所以 ， ， ， ， ．
所以 ， ．
设平面 的一个法向量为 ，则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ．
因为 ， ，
所以 ．
因为 平面 ，所以 ，
即 ，解得 ，
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此时 ．故DF的长为6．
18．已知抛物线 的焦点为 各顶点均在 上，且 ．
（1）证明： 是 的重心；
（2） 能否是等边三角形？并说明理由；
（3）若 均在第一象限，且直线 的斜率为 ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析 （2）不肯能，理由见解析 （3）
【解析】（1）设 的中点为 ， 的中点为 ，
因为 ，所以 ，
又 为公共端点，所以 三点共线，
同理可得 ，又 为公共端点，所以 三点共线，
所以 是 的两条中线，
所以 是 的重心；
（2）由题意 ，设 ，
则 ，
由 ，可得 ，
由抛物线的定义可得 ，
若 是等边三角形，则由（1）知 ，
由 ，可得 ，
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又因 不重合，所以 ，
所以 ，
所以 ， ，
故 ，这与 矛盾，
所以 不可能是等边三角形；
（3）设直线 的方程为 ，
联立 ，化简得 ，
，所以 ，
由韦达定理得 ，
由（2）有 ，
，所以 ，
由 得 ，解得 ，
所以 ，即 ，
直线 的方程为 ，
所以
，
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点 到直线 的距离 ，
所以 的面积为
19． 对于每项均是正整数的数列P： ，定义变换 ， 将数列P变换成数列 ：
．对于每项均是非负整数的数列 ，定义
，定义变换 ， 将数列Q各项从大到小排列，然后去
掉所有为零的项，得到数列 ．
（1）若数列 为2，4，3，7，求 的值；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列 ，令 ， ．
（i）探究 与 的关系；
（ii）证明： ．
【答案】（1）172； （2）（i） ；（ii）证明见解析.
【解析】（1）依题意， ， ，
.
（2）（i）记 ，
，
，
，
，所以 .
（ii）设 是每项均为非负整数的数列 ，
当存在 ，使得 时，交换数列 的第 项与第 项得到数列 ，
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则 ，
当存在 ，使得 时，若记数列 为 ，则 ，
因此 ，从而对于任意给定的数列 ，
由 ， ，由（i）知 ，
所以 .
15
