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高一第二学期期末数学试卷
一､选择题
1. 若 ，且 ，则角 的终边位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限或y轴的非负半轴，
∵由tanα＜0，
∴角α的终边位于二四象限，
∴角α的终边位于第二象限．
故选择B．
2. 函数 ， 的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用三角函数的周期公式求解即可.
【详解】解：函数 ， 的最小正周期为： .
故选：C.
【点睛】本题考查三角函数最小正周期的求法，属于基础题.
3. 要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（ ）
A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度
C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度
【答案】C
【解析】【分析】
利用函数 的图象变换规律，可得结论.
【 详 解 】 将 函 数 的 图 象 向 左 平 移 个 单 位 长 度 ， 可 得 ， 即
的图象.
故选：C.
【点睛】本题考查正弦型函数图象变换，属于基础题.
4. 在空间中，给出下列四个命题：
①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①②
B. ①③
C. ②④
D. ③④
【答案】D
【解析】
【分析】
通过线面平行的性质，线面垂直的性质，平行公理可以对四个命题进行判断，最后选出正确的答案.
【详解】命题①: 平行于同一个平面的两条直线可以平行、相交、异面，显然命题①是假命题；
命题②：垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以垂直，显然命题②是假命题；
命题③：这 是平行公理显然命题③是真命题；
命题④：根据平行线的性质和线面垂直的性质，可以知道这个真命题，故本题选D.
【点睛】本题考查了平行线的性质、线面垂直的性质、面面垂直的性质，考查了空间想象能力和对有关定
理的理解.
5. 已知向量 满足 ， ， ，则向量 的夹角为（ ）
A. B. C. D.【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面向量的夹角公式计算即可得到结果.
【详解】设向量 的夹角为 ，则 ，
由 ， ， 得： ，
向量 的夹角为 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积和模长求解向量夹角的问题，属于基础题.
6. 在 中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ， ， ，那么这个
三角形是（ ）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形
C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
由正弦定理求出 的值，可得 或 ，再根据三角形的内角和公式求出A的值，由此即可判
断三角形的形状.
【详解】∵ 中，已知 ， ， ，
由正弦定理 ，可得： ，
解得： ，可得： 或 .
当 时，∵ ，∴ ， 是直角三角形.
当 时，∵ ，
∴ ， 是等腰三角形.
故 是直角三角形或等腰三角形，
故选：D.
【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7. 如图，在长方体 中，若 分别是棱 的中点，则必有（
）
A.B.
C. 平面 平面
D. 平面 平面
【答案】D
【解析】
【分析】
根据“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”来判断AB选项的正确性，根据平行直线的性质
判断C选项的正确性，根据面面平行的判定定理判断D选项的正确性.
【详解】选项A:由中位线定理可知： ，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
所以 不可能互相平行，故A选项是错误的；
选项B: 由中位线定理可知： ，
因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
所以 不可能互相平行，故B选项是错误的；
选项C: 由中位线定理可知： ，
而直线 与平面 相交，
故直线 与平面 也相交，
故平面 与平面 相交，故C选项是错误的；
选项D:由三角形中位线定理可知： ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ,
所以有 平面 ， 平面 ，而 ，因此平面 平面 .所以D选项正确.
故本选：D
【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理，考查线线平行的性质，属于中档题.
8. 函数f(x) =A sinx(A>0)的图象如图所示，P，Q分别为图象的最高点和最低点，O为坐标原点，若
OP⊥OQ，则A=( )
A. 3 B.C. D. 1
【答案】B
【解析】
由题意函数 ，周期
由图像可知
连接 过 作 轴的垂线，可得：
由题意， 是直角三角形，
解得： .
故选B
二､填空题
9. 若角 的终边过点 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据三角函数 的定义可求出 的值.
【详解】由三角函数的定义得 .故答案为： .
【点睛】本题考查利用三角函数的定义求正弦值，考查计算能力，属于基础题.
10. 设向量 ､ 的长度分别为4和3，夹角为 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】
对要求 的向量的模平方，得到 ，然后再对求得的结果开方.
【详解】∵ ､ 的长度分别为4和3，夹角为 ，
∴
∵ ，
故答案为：
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
11. 函数 的最大值为______.
【答案】3
【解析】
【分析】
直接利用正弦型函数性质的应用求出结果.
【详解】解：当 ( )时，函数的最大值为3.
故答案为：3
【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，难度较易.形如 的函数， .
12. 设 是第一象限角， ，则 ______. ______.【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由 是第一象限角， ，利用平方关系求得 ，进而可求 ，根据二倍角的余弦函数公式
即可求得 的值.
【详解】∵ 是第一象限角， ，
∴ ，
∴ .
∴ .
故答案为： ， .
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系式和二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于基
础题.
13. 设向量 ， ，则 ______；向量 ， 的夹角等于______.
【答案】 (1). 2 (2).
【解析】
【分析】
直接根据数量积的定义以及夹角的计算公式即可求解结论.
【详解】解：因为向量 ， ，故 ， ，
故 ，
向量 ， 的夹角 满足 ；
因为 ，
故向量 ， 的夹角等于 .
故答案为：2， .
【点睛】本题考查数量积的计算和夹角的计算公式，属于基础题.
14. 在 中，三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 ， ， ，则 ______，
的面积是______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由已知利用正弦定理可求b的值，根据三角形内角和定理可求C的值，进而根据三角形的面积公式即可求
解.
【详解】因为 ， ， ，
由正弦定理 ，
得： ，
又 ，所以 的面积 ，
.
故答案为： ， .
【点睛】本题主要考查正弦定理和三角形面积公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
15. 在 中，三个内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，若 ， ， ，则
______.
【答案】
【解析】
【分析】
由余弦定理代入三角形的边长，可得出答案.
【详解】在 中， ，
故答案为： .
【点睛】本题考查利用余弦定理求角的余弦值，考查计算能力，属于基础题.
16. 已知函数 在区间 上单调递增，则实数m的最大值是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用辅助角公式进行化简，结合函数的单调性进行求解即可.
【详解】解： ，当 时， ，
∵ 在区间 上单调递增，
∴ ，
得 ，
即m的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查二倍角公式和辅助角公式化简，考查三角函数的单调性，属于基础题.
17. 已知点A(0，4)，B(2，0)，如果 ，那么点C的坐标为_____________；设点P(3，t)，且
∠APB是钝角，则t的取值范围是___________________ ．
【答案】 (1). (3,-2) (2). (1,3)
【解析】
根据题意，设 的坐标为 又由点 则
若 ，则有 则有 解可得 则 的
坐标为
又由 ，则
若 是钝角，则
且 解可得
即 的取值范围为
即答案为(1). (3,-2) (2). (1,3)
【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算公式，涉及向量平行的坐标表示方法，其中解题的关键是掌握向量坐标计算的公式．
18. 已知a，b是异面直线.给出下列结论：
①一定存在平面 ，使直线 平面 ，直线 平面 ；
②一定存在平面 ，使直线 平面 ，直线 平面 ；
③一定存在无数个平面 ，使直线b与平面 交于一个定点，且直线 平面 ；
④一定存在平面 ，使直线 平面 ，直线 平面 .
则所有正确结论的序号为______.
【答案】②③
【解析】
【分析】
①④用反证法判断，②③.利用线面位置的性质关系判断.
【详解】假设①正确，则存在直线 平面 ，使得 ，
又 ，故 ，
∴ ，
显然当异面直线a，b不垂直时，结论错误，故①错误；
设异面直线a，b的公垂线为m，平面 ，且a，b均不在 内，
则a，b均与平面 平行，故②正确；
在直线b上取点A，显然过点A有无数个平面均与直线a平行，故③正确；
假设④正确，则由 ， 可得 ，显然这与a，b是异面直线矛盾，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】本题主要考查与异面直线的有关的线面关系问题，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
三､解答题
19. 已知函数 .
（1）求 的值；（2）求 的最小正周期；
（3）求函数 的单调递增区间.
【答案】（1） ；（2）最小正周期 ；（3）单调递增区间为： ， .
【解析】
【分析】
（1）由已知可求 即可得解；
（2）利用正弦函数的周期公式即可求解；
（3）利用正弦函数的单调性即可求解.
【详解】解：（1）由于函数 ，可得 ；
（2） 的最小正周期 ；
（3）令 ， ，得 ， ，可得函数 的
单调递增区间为： ， .
【点睛】本题考查了正弦定理的周期性与单调性，属于基础题.
20. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 的对称中心的坐标；
（3）求函数 在的区间 上的最大值和最小值.
【答案】（1）最小正周期 ；（2）对称中心的坐标为 ， ；（3）最大值为 ，最小值为 .
【解析】
【分析】
（1）利用辅助角公式进行化简，结合周期公式进行计算即可
（2）根据三角函数的对称性进行求解
（3）求出角的范围，结合三角函数的有界性以及最值性质进行求解即可.
【详解】解：（1） ，
则 的最小正周期 ，
（2）由 ， ，得 ， ，
即 的对称中心的坐标为 ， .
（3）当 时， ，
则当 时，函数取得最大值，最大值为 ，
当 时，函数取得最小值，最小值为 .
【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数性质的综合运用，其中涉及辅助角公式、周期、三角函数对称
中心，主要考查学生的化简计算能力，难度一般.
21. 在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， .
（1）求 的值；
（2）如果 ，求c的值；
（3）如果 ，求 的值.【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）由同角三角函数公式以及C为三角形的内角，可得出 的值；
（2）由余弦定理可得c；
（3）由正弦定理求出 ，进而求出 ，根据大边对大角确定 的符号，再根据三角形内角和
为 ，以及两角和与差的正弦公式得出答案.
【详解】解：（1）在 中， ，且 ，
则 ，又 ，故 .
（2） ， ， ，
故 .
（3） ，
∴ ，解得 ，
又 ，则 ，
.
【点睛】本题考查同角三角函数的关系，考查余弦定理解三角形，考查正弦定理的应用，属于基础题.22. 如图，四棱锥 的底面是正方形，侧棱 底面 ，E是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求证： 平面 ；
（3）证明： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据底面是正方形，得到 ，再利用线面平行判定定理证明.
（2）连结 ， ，交于点O，连结 ，由中位线定理得到 ，再利用线面平行判定定理证
明.
（3）根据底面是正方形，得到 ，由侧棱 底面 ，得到 ，从而 平面
，由此能证明 .
【详解】（1）∵四棱锥 的底面是正方形，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）如图所示：连结 ， ，交于点O，连结 ，
∵四棱锥 的底面是正方形，
∴O是 中点，∵E是 的中点.
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（3）∵四棱锥 的底面是正方形，侧棱 底面 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴ .
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，还考查了转化化归的思想和逻辑推理
的能力，属于中档题.
23. 如图，在多面体 中，底面 为矩形，侧面 为梯形， ， ，
.（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求证： 平面 ；
（Ⅲ）判断线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ？并说明理由．
【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见解析
【解析】
【分析】
（I）由AD⊥DE，AD⊥CD可得AD⊥平面CDE，故而AD⊥CE；
（II）证明平面ABF∥平面CDE，故而BF∥平面CDE；
（III）取CE的中点P，BE的中点Q，证明CE⊥平面ADPQ即可得出平面ADQ⊥平面BCE．
【详解】（Ⅰ）由底面 为矩形，知 .
又因为 ， ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，
所以 .（Ⅱ）由底面 为矩形，知 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
同理 平面 ，
又因为 ，
所以平面 平面 .
又因为 平面 ，
所以 平面 .
（Ⅲ）结论：线段 上存在点 （即 的中点），使得平面 平面 .
证明如下：
取 的中点 ， 的中点 ，连接 ，则 .由 ，得 .
所以 四点共面.
由（Ⅰ），知 平面 ，
所以 ，故 .
在△ 中，由 ，可得 .
又因为 ，
所以 平面 .
又因为 平面
所以平面 平面 （即平面 平面 ）.
即线段 上存在点 （即 中点），使得平面 平面
【点睛】本题考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质定理的应用，线面平行的判定，熟练运用定理是解
题的关键，属于中档题．
24. 已知向量 ， ，设函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）求 的单调增区间；
（3）若函数 ， ，其中 ，试讨论函数 的零点个数.
【答案】（1）最小正周期为 ；（2）函数的单调增区间为： ( )；（3）答案
见解析.
【解析】
【分析】
（1）通过向量 的数量积求出函数的表达式，利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化为一个角的一个三
角函数的形式，即可求出函数的最小正周期.
（2）利用正弦函数的单调增区间，直接求出函数的单调增区间即可.（3）求出函数在 时函数的取值范围，即可根据函数的零点的判断方法推出函数零点的个数.
【详解】（1）函数 ，
.，
，
所以函数的最小正周期为： .
（2）因为函数 ，
由 ， ，
解得 ， ，
所以函数的单调增区间为： ( ).
（3） ，
因为 ，
所以 ，
，令 ，
得 ，
则函数 的零点个数等价于 与 的交点个数，
在同一坐标系中，作出两函数的图象，如图所示：
由图象可知：
当 或 时，零点为0个；
当 时函数有两个零点，
当 或 时，函数有一个零点；
【点睛】本题主要考查三角函数与平面向量以及三角函数的图象和性质的应用，还考查了数形结合的思想
方法，属于中档题.
