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!"!#!!"!$学年高三第二次模拟考试
高三数学试题参考答案
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所以,正确!
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3
所以/01!!+%)!1-7!!+ !
*
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3!6!一共有 5 #+%"种分组方案#,错误!
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每人有#种选择#所以一次游戏共有#5种手势结果#2错误!
要分出组#有两类情况!第一类情况#首先确定#个人出一样的手势#再确定另外!个人出其
他两种手势中的一种#最后%个人出剩下的手势#所以能分出组的手势结果有!’#4#"4!’!
5 #
4!"种!第二类情况#当其中#个人出同一种手势#另外#个人出剩余两种手势中的同一种
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时#能分出组的手势结果有 54,!+#’#种#所以一次游戏就分出组的概率为 5 # 5+
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#所以一次游戏分不出组的概率为 #’错误!
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两次游戏才分出组的概率为 4 + #6正确!
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*!2!如图#延长.%交/. 于点0#可知#/.#+#/0#+1##0.#+!# (
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)!1#所以#2%#+#)1+槡#-)1##+槡#-#所以,+ 3 +槡%) -! + 槡5 ! ’ %
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书书书!$9#最低气温的中位数为%39#它们的差为39#,正确!
对于2#这&天的最低气温的极差为59#2错误!
对于’#这&天的最高气温的众数为!59#’正确!
对于6#最低气温从小到大排列为%#9#%&9#%39#%*9#%89#且&4"!$+!#所以这&
天的最低气温的第$"百分位数是%59#6正确!
%"!,6!对于,#可知/的轨迹是以+为圆心#半径为%的圆#所以点/的轨迹与直四棱柱的
!! !!
交线为圆弧#圆弧长为 4%+ #故,正确!
# #
对于2#可知点/在线段%+上#所以当点/与点%重合时#三棱锥 $ ! # !
45/$+体积最大#且最大值为 % 4 % 4!4槡#4%+ 槡# #所以2错误! ! ! "
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对于’#可知该球的半径为%#球与直四棱柱的公共部分的体积为 !4
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对于6#如图#经过%#*#4三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形%*46#其中
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平面%27#所以%*(%7#求得%7+!#所以8
四边形%*46
+%*’%7+!4!+$#6正确!
%%!,’6!由)!"9"+9#)!""("#)!9"#取"+9+"#得)!""+"#,正确!
取"+9+%#得)!%"+!)!%"#解得)!%"+"!取"+9+)%#得)!%"+)!)!)%"+"#所以
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取9+)%#得)!)""+))!""("#)!)%"+))!""#所以)!""是奇函数#’正确!
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当"9)"时#在)!"9"+9#)!""("#)!9"两边同时除以"#9##得 + ( #令
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5
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以#46#+槡#!
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{#{QQABCYAAggggQJAAARhCAwmgCAIQkBGCCAoGQAAIMAIASAFABAA=}#}(/01$1-7%"#………………………………………………………………………………!分
化简得!1-7$/01%+)1-7$#……………………………………………………………#分
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因为1-7$*"#所以/01%+) !…………………………………………………………&分
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因为%+!"#!"#所以%+ !………………………………………………………………5分
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#
所以3!(!3)!$+"#解得3+$!……………………………………………………………*分
..- ..- ..-
因为%+为,$%*的中线#所以!%++%$(%*#……………………………………%"分
..- !!
所以$#%+#!+3!(#!(!#3’/01 !……………………………………………………%%分
#
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因为#+!#3+$#所以$#%+#!+%!#………………………………………………………%!分
..-
解得#%+#+槡#!……………………………………………………………………………%#分
%5!解)!%"强化训练后的平均成绩约为&&4"!"$(5&4"!%5(3&4"!!(*&4"!#!(8&4"!!*
+*%!$!………………………………………………………………………………………$分
由于前三列概率之和为"!"$("!%5("!!+"!$#设中位数为*"("#则"!"#!"+"!%#解得"
+#!%!&#所以中位数约为*#!%#!…………………………………………………………*分
!!"零假设为= )跳水运动员是否优秀与强化训练无关!
"
补充完整的表格为
优秀人数 非优秀人数 合计
强化训练前 $" 5" %""
强化训练后 5" $" %""
合计 %"" %"" !""
………………………………………………………………………………………………%%分
!""4!$"4$")5"45""!
则 " !+ %""4%""4%""4%"" +**3!*38+" "!""& #…………………………………%$分
根据小概率值!+"!""&的独立性检验#我们推断= 不成立#即认为跳水运动员是否优秀
"
与强化训练有关! …………………………………………………………………………%&分
%3!!%"证明)连接%+#0.!因为底面$%*+是菱形#0#.分别为$+#$%的中点#所以$*(
%+#0.&%+#所以$*(0.! ……………………………………………………………#分
又$*(/0#/0"0.+0#所以$*(平面/0.! ………………………………………&分
因为/./平面/0.#所以$*(/.!……………………………………………………5分
!!"解)因为/$+/+#0是$+的中点#所以/0($+! )
!
又$*(/0#$*"$++$#所以/0(平面$%*+!……3分
..- ..- ..-
连接0%#以0为坐标原点#0$#0%#0/的方向分别为"#9#&
"
轴的正方向建立空间直角坐标系#如图所示! #
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设/$+/++$%+!#则0%+/0+槡##
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..- ..-
/%+!"#槡##)槡#"#/*+!)!#槡##)槡#"!………………………………………………8分
设#+!"#9#&"是平面/+.的法向量#
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设#+!"#9#&"是平面/%*的法向量#
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取&+%#可得#+!"#%#%"# ……………………………………………………………%#分
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所以/01*###++ % ! + + #
% ! ## % ### ! # 槡%#4槡! %#
!槡!5
所以平面/%*与平面/+.夹角的余弦值为 ! …………………………………%&分
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%*!!%"解)当直线>的倾斜角等于$&;时#直线> 的倾斜角等于%#&;#直线$%的方程为9+"
% !
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) !…………………………………………………………………………………………%分
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由抛物线的对称性知#$%#+#+0##所以8
四边形$+%0
+
!
#$%##+0#+#!#得#$%#+*!……
……………………………………………………………………………………………#分
1 9+") ? # ?!
联立方程组0 ! 消去9得"!)#?"( +"!
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29!+!?"#
设$#%两点的横坐标分别为" #"#则"("+#?! …………………………………$分
$ % $ %
又#$%#+"("(?+$?+*#所以?+!#………………………………………………&分
$ %
所以*的方程为9!+$"! …………………………………………………………………5分
!!"证明)由!%"知.!%#""#依题意#可设直线>的方程为9+@!")%"#则直线>的方程为9
% !
%
+) !")%"!………………………………………………………………………………3分
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$9+@!")%"#
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联立方程组 消去"得9!) 9)$+"#设$!"#9"#%!"#9"#则9(9+
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#99+)$!………………………………………………………………………………8分
@ % !
设+!"#9"#0!"#9"#同理可得9(9+)$@#99+)$#…………………………%"分
# # $ $ # $ # $
9)9 9)9 $ $
所以@ + % #+ % #+ #同理可得@ + ! ………………………%!分
$+ ")" 9! 9! 9(9 %0 9(9
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$ $
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直线$+的方程为9)9+ !")""#
% 9(9 %
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即9+ !") %"(9+ "( % # ! ………………………………………%#分
9(9 $ % 9(9 9(9
% # % # % #
同理#直线%0的方程为
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$ 99 $ 99 99 $
9+ "( ! $ + "( % # +) % #") !………………%&分
9(9 9(9 $ $ $ $ 9(9 9(9
! $ ! $ ) ) ) ) % # % #
9 9 9 9
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$ 99 99 $
两直线方程联立得 "( % # +) % #") #解得"+)%#
9(9 9(9 9(9 9(9
% # % # % # % #
即直线$+与%0的交点7在定直线"+)%上!………………………………………%3分
%8!!%"解)):!""+#)%):7"!…………………………………………………………………!分
当"3"3.#)%时#):!""*"#)!""单调递增(
当"*.#)%时#):!""3"#)!""单调递减!…………………………………………………$分
所以)!"" +)!.#)%"+.#)%$%#…………………………………………………………5分
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解得#$%#即#的取值范围为!)?#%,!…………………………………………………3分
!!"证明)不妨设"3"#则"3"3.#)%3"3.##
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要证):!槡"""*"#即证槡""3.#)%#则证""3.!#)!#则证"3 3.#)%#
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所以只需证)!""3)! "#即)!""3)! "! ……………………………………8分
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令’!""+)!""))! "#"+!.#)%#.#"#则’!.#)%"+"# ……………………………%%分
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当"*.#)%时##)%):7"3"#"!).!#)!*"#则’:!""3"#
所以’!""在!.#)%#.#"上单调递减#则’!""3’!.#)%"+"!……………………………%$分
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所以)!""3)! "!……………………………………………………………………%&分
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由!%"知)!""在!"#.#)%"上单调递增#所以"3 #从而):!槡"""*"成立! …%3分
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