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昆明一中 2024 届高三第 7 次联考
数学参考答案
命题、审题组教师 杨昆华 彭力 李文清 李春宣 丁茵 王在方 张远雄 李露 陈泳序 杨耕耘
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B C D C D B
1．解析：因为 ， ，所以 ，选A．
2．解析：根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“ ， ”的否定为：“
， ”，选C．
3．解析：三人中恰有两人合格的概率 ，选B．
4．解析：连接 ，由△ 为等腰三角形且 为 的中点，得 垂直于 ，由 知
，由双曲线的定义知 ，在直角三角形 中， ，所以离心率
，选C．
5 ． 解 析 ： 对 于 A ， ， 设 关 于 点 的 对 称 点 为 ， 则
，因为 ， 不共线，所以 ，A错误；
对 于 B ， 因 为 ， 所 以
， 当 向 量 ，
是相互垂直的单位向量时， ， 两点间的距离为 ，否则距离不为
，B错误；
对于C，当 与 中至少一个是 时，结论成立；当 与 都不为 时，设 （ ），
有 ，即 ，所以 ，C错误；
对于D， ，
所以线段 中点 的广义坐标为 ，D正确
选D．
6．解析：因为 为 个 之积，其中有两个取 ，两个取 ，一个取 即可，所以
的系数为 ，选C．
7．解析：取 中点为 ，连接 ， ，因为 是圆 的一条动弦，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，又 ， ，即 ，因此 取最小值，
即是 取最小值，所以只需 取最小，又点 为直线 上的任意一点，所以原点 到直
线 的 距 离 即 是 的 最 小 值 ， 即 ， 即
，选D．
8．解析：由 得 ，由 得 ，设点 的坐标为
，点 的坐标为 ，又 与 的图象关于直线 对称，且 的图
象也关于直线 对称，则点 ， 关于直线 对称，即 ，得
，选B．
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 BCD CD AB BD
9．解析：若 为 上的单调函数，则 ， ，则 ，A
错 ； 当 时 ， ， 令 ， 得 ，
，则 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取最小值，无
最大值，B 对；由于 ，则 为奇函数时， ，C 对；当 时，
， ，则 ，切点为 ，切线方程为 ，D对，选BCD．
10．解析：对于A，若 ， ， ，但 ， ，A错误；
对于B，设 （ ， ）
当 ， 均不为0时， 为虚数，
而 为实数，所以 不成立，B错误；
对于C，复数 在复平面内对应的点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，而 的几
何意义为复数 对应的点 与 两点间的距离 ，所以当点 运动到 时， 最大，
取最大值，最大值为2，C正确；
对于D，设 （ ， ）， （ ， ），
由 ，则 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，D正确；
选CD．
11．解析：当截面平行于正方体的一个侧面时可得A；当截面过不平行于侧面可得B；但无论如何都不能
截得C和D，选AB．
12．解析： ，当 时， ， 在 上单
调递减，当 时， ， 在 上单调递增，； 在 上取极小值为
， ， ， 在 上有两个零点 ， ，所以A C错B D
对，选BD．
三、填空题
13．解析：由题意， ，则 ，联立得， ，则
．
14．解析：因为直线 过点 ，所以 ， ， 三点共线，
联立直线与抛物线方程， ，得 ，解得： ， ，
所 以 ， ， 因 为 ， 所 以
，又因为 ，所以 ．
15．解析：公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，底面是 为边长的正方形，
，其中一个正四棱锥的高为 ，则 ．
16．解析：设事件 ，事件 ， ， ， ，
题意可得， ， ，
由
0.36
，由全概率公式得
，所以飞机被击落的概率为 ．
四、解答题
17．解：（1）因为
（nN
）， 所以 （ ），
两式相减得 （ ）， 又因为 ，所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司a
所以数列 n 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以 ． ………5分
（2）由（1） ，所以 ，令 ，
则 ，所以，当 时， ，
故
（nN
， ）为减函数，而 ，又因为 恒成立，
所以 ，所以实数 的取值范围为 ． ………10分
18．解：（1）由余弦定理得， ，
又因为 的面积等于 ，所以 ，得 ．
联立方程组 ，解得 ，所以 的周长为 ． ………6分
（2） 因为 ，由正弦定理得： ，
联立方程组 ，解得 ， ，
所以
，
又因为 ，所以 ，所以 , 故 , ………12分
19．解：（1）设 同学答对的题数为 ，则随机变量 的所有可能取值为 ， .
则 ， ；
设 同学答对的题数为 ，则随机变量 的所有可能取值为 ， ， ， .
， ，
， .
所以 ， 两名同学恰好共答对 个问题的概率为 . ………6分
（2）由（1）知， ， ；
而 ，
.
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， < ．所以应该选择学生 ． ………12分
20．解：（1）证明：取 的中点 ，连接 ， ， ，
z
因为 ， ， P
所以△ 和△ 都是等边三角形， D
所以 ， ，
C
所以 平面 ，所以 ， O
y
因为 ，所以 ，所以 . ………6分
A
（2）由（1）知 ， ，则二面角 的平面角为 B
x
， ，
且 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，平面 平面 ，
在平面 内作 ，所以 平面 ，
建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 ………12分
.
21．解：（1）设动圆E圆心坐标 ，半径为 ，由题意可知， ， ，
当 与 相外切时，有 ；①
当 与 相内切时，有 ．②
将①②两式的两边分别相加，得 ，所以 的轨迹为椭圆，
所以 ，所以 ，
所以动圆圆心 的轨迹方程为 ． ………6分
（2）由（1）可知，圆心 的轨迹方程 ，设点 , ,
联立 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，即 ,
， .
因为 ，所以 ，所以 ，
即 ，
所以 ， ，所以点 在直线 上，
所以 ，即 ，因为 为△ 的一个外角，
所以 . ………12分
22．解：（1） 的定义域为 ，则 ，
所以 在区间 内单调递增； ………2分
令 ， ，
则 ，
当 时， ，则 ，故 在区间 内单调递增，
当 时， ，则 ，故 在区间 内单调递减，
注意到 ，故 ，
所以 在区间 内单调递减； ………6分
（2）构造函数 ， ，
当 时， ，
则 ，故此时 恒成立，
当 时，由（1）可知 在区间 内单调递增，
注意到 ，
故当 时， ，而当 时， ，
构造函数 ，则由上可知 对任意 恒成立，
而原不等式等价于 对任意 恒成立.
故满足条件的实数 的取值范围为 ． ………12分
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