文档内容
2023－2024 学年海南省高考全真模拟卷（六）
数学
1．本试卷满分150分，测试时间120分钟，共4页．
2．考查范围：高考全部内容．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知复数 满足 ，则z的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知集合 ， ，若 中恰有两个元素，则实数m
的取值范围为（ ）
A．（－1，0） B．（0，1） C．[0，1] D．R
3．已知 ，则“ ”是“ 的二项展开式中常数项为60”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．如图，点P，A，B均在边长为1的小正方形组成的网格上，则 （ ）
A．－8 B．－4 C．0 D．4
5．等差数列 的前n项和为 ，已知 ，则 的前100项中， 为整数的各项之和为
（ ）
A．1089 B．1099 C．1156 D．1166
6．在一次立体几何模型的实践课上，老师要求学生将边长为4的正方形ABCD沿对角线AC进行翻折，使得
D到达 的位置，此时平面 平面BAC，连接 ，得到四面体 ，记四面体 的外接
球球心为O，则点O到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若 ，则△OBF的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列说法正确的是（ ）
A．68，60，62，78，70，84，74，46，73，81这组数据的第80百分位数是78
B．若一组数据 的方差为0.2，则 的方差为1
C．样本相关系数可以用来判断成对样本数据相关关系的正负性
D．若变量 ，则
10．已知函数 的部分图象如图所示，下列说法正确的是
（ ）
A．
B．直线 是函数 的一条对称轴
C．当 时，x的取值范围为D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则m的取值范围为
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线、卵形线、蔓叶线等，心形线也是其中一种，因其
形状像心形而得名，其平面直角坐标方程可表示为 ，图形如图所示．当
时，点 在这条心形线C上，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．
D．C上有4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数 ，过原点作曲线 的切线 ，则切线 的斜率为______．
13．设 分别为椭圆 的左、右焦点，O为坐标原点，点 P在C上，若 ，则
的内切圆的面积为______．
14．已知数列 是递减数列，且 ，则实数t的取值范围为______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13分）
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若点D在AC上，且AD＝BD＝2DC，求 ．
16．（15分）
2023年杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，亚洲45个国家和地区的奥委会代表参会．某校想
趁此机会带动学生的锻炼热情，准备开设羽毛球兴趣班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取
了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜欢羽毛球运动，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形
图．
（Ⅰ）根据等高堆积条形图，填写下列 列联表，并依据 的独立性检验，推断是否可以认为该
校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动有关联；
性别 是否喜欢羽毛球运动 合计
是 否
男生
女生
合计
（Ⅱ）已知该校男生与女生人数相同，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随机抽取 30名学生，设其中
喜欢羽毛球运动的学生人数为X，求P（X＝k）取得最大值时的 值．
附：
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：
，其中 ．
17．（15分）
如图，在四棱柱 中，四边形 为菱形，四边形ABCD为矩形，AB＝4，， ，二面角 的大小为60°，M，N分别为BC， 的中点．
（Ⅰ）求证：∠NMC＝90°；
（II）求直线 与平面BCN所成角的正弦值．
18．（17分）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，右焦点为 ．
（I）求C的标准方程；
（Ⅱ）过点F且相互垂直的两条直线 和 分别与C交于点A，B和点P，Q，记AB，PQ的中点分别为M，
N，求证：直线MN过定点．
19．（17分）
已知函数 ，且 的图象在 处的切线斜率为2．
（I）求m；
（Ⅱ）求 的单调区间；
（Ⅲ）若 有两个不等的实根 ，求证： ．
2023—2024学年海南省高考全真模拟卷（六）
数学·答案
1．D ∵ ，∴ ，∴ ，在复平面内对应的点位
于第四象限，故选D．
2．D 由 中恰有两个元素，可知 ，故 ，即 ．
又方程 的 ，故 在R上恒成立，故实数m的取值范围为R，故选D．3．B 的展开式的通项为 ．
令 ，得 ，则 的常数项为 ．
∴当 时，常数项为60；
当常数项为60时， ，
∴“ ”是“ 的二项展开式中常数项为60”的充分不必要条件，故选B．
4．A 如图，以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，则 ：，
，
，故选A．
5．C 设等差数列 的公差为d，
由 ， 解得 ，
所以 ．
要使 为整数，则 是3的倍数，又 ，
所以可令 ．
记 的前100项中的整数项构成的数列为 ，则 ，
所以 的前34项的和 ，故选C．
6．A根据题意作出图形如图所示，连接OB， ，
则 ，显然四面体 的外接球球心O为AC的中点．
．
设点O到平面 的距离为h，则由 ，
可得 ，解得 ，故选A．
7．B根据题意得直线 ，
由 得
设 ，则 ，
故 ，解得 ，代入（*）式，解得 ．
将 代入直线 的方程中，
解得 ，故 ，故选B．
8．C设 ，
则 ，
∴ 时， ， 在 上单调递增．
∴ ，即 ，
∴ ， ．
设 ：，则 ，
∴当 时， ，即 在 上单调递增．
∴ ， ，∴ ，即 ．
综上， 故选C．
9．CD 对于A，这组数据从小到大排列为：46，60，62，68，70，73，74，78，81，又 ，
第8位数字是78，第9位数字是81，故这组数据的第80百分位数是 ，故A错误；
对于B， 的方差为 ，故B错误；
对于C，样本相关系数r的符号反映了相关关系的正负性，当 时，成对样本数据正相关，当 时，
成对样本数据负相关，故C正确；对于D，∵ ，
∴ ，
故D正确，故选CD．
10．AD 对于A，由图可知 ，
∴ ，∴ ．
又 ，
即 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，∴ ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，即\ ，
∴ ，
解得－ ，故C错误；
对于D，当 时 ．
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增．
∵ ， ， ，
∴要使方程 在 上有两个不相等的实数根，
则 ，故D正确，故选AD．
11．ACD 依题意，心形线C的直角坐标方程为 ，过原点 ．
由 ，可知 三点共线，
可设直线 ，由
消去y，得 ．
不妨设 ，
则 ．
∴ ，故A正确；
，
当 时， ，故B错误；
设点 在心形线C上， ，角 以x轴非负半轴为起始边，
则心形线C的方程转化为 ，
即 ，
∴ ，又 ，∴ ，故C正确；
由 ，可知 ．
令 ，则心形线C的方程可
化为 ：，
∴ ，当 ，得 或0，
当 时，方程无整数解；
当 时，
∴C上有4个整点（－1，0），（1，0），（0，0），（0，－2），故D正确，故选ACD．
12． 根据题意得， ．设切点坐标为 ，则 ，
所以切线 的方程为 ，
将点（0，0）代入，可得 ，
整理得 ，故 ，解得 ，
故 ，即切线 的斜率为 ．
13． 不妨设 ， ，则 ．
在 中，由余弦定理得， ．
由 ，且 ，
可得 ，
即 ，所以 ，
所以内切圆半径为 ，
所以 的内切圆的面积为 ．
14． ∵数列 是递减数列，
∴ ，即 ，
化简得 ．
当 时， 的值有正有负，
∴ 不恒成立；
当 时， ， ，
∴ 不成立；
当 时，
由题意得， ，
∵当 时， 取得最小值，
即有 ，解得 ，
∴实数t的取值范围为 ．
15．解：（I）∵ ，
∴ ，∴ ，
由正弦定理得， ，
即 ，
故 ．
∵ ，
∴ ，∴ ，
故 ．
（Ⅱ）∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，
整理得 ，
∴ ，
即 ，∴ ．
16．解：（I）由题意，完成 列联表如下：
性别 是否喜欢羽毛球运动 合计
是 否
男生 75 25 100
女生 55 45 100合计 130 70 200
零假设为
：该校学生的性别与是否喜欢羽毛球运动没有关联．
，
∴依据小概率值 的独立性检验，
我们推断 不成立，即能认为该校学生喜欢羽毛球运动与性别有关联．
（Ⅱ）由列联表可知，该校学生喜欢羽毛球运动的频率为 ，
∴随机变量 ，
∴ ．
要使 取得最大值，
则需
解得 ，
∵ ，
∴当 时， 取得最大值．
17．解：（I）取AD的中点O，连接OM，ON，AN，DN．
在菱形 中，易知 ，且
又 ，故 即为二面角 的平面角，
故 ．所以 为等边三角形，所以 ．
显然 ，且 ，
所以 平面MON
又 平面MON，所以 ，
又 ，所以 ，
故 ．
（Ⅱ）由（I）可知， 平面ADN．
又 平面ABCD，，
所以平面 平面ABCD．
又平面 平面 ， 平面ADN，且 ，
故 平面ABCD，故OA，OM，ON两两相互垂直．
以O为原点，以OA，OM，ON所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，
故 ，
．
设平面BCN的法向量 ，则． ，
取 ，则 ．
记直线 与平面BCN所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面BCN所成角的正弦值为 ．
18．解：（I）设双曲线C的半焦距为c，根据题意
得 解得
∴C的标准方程为 ．
（II）当直线 和 斜率均存在时，
设直线 的方程为 ， ， ，中点
由 消去 ，得 ．
∴ ， ．
∴ ．
设直线 的方程为 ，
，中点 ．同理可得 ．
∵ ，∴ ， ．
当 时， ，此时 ，直线MN的方程为
当 时， ，此时直线MN的斜率 ，
直线MN的方程为 ，
即 ．
此时直线MN过定点 ．
当直线 和 其中一条直线的斜率不存在时，易知MN所在直线为x轴．
综上所述，直线MN过定点 ．
19．解：（I）因为 ，
所以 ，
根据题意得 ，
解得 ．
（II）由（I）可知 ，
，又 ，
所以 ，故 的单调递增区间为R，无单调递减区间
（Ш）由 有两个不等的根 （不妨设 ），可得，
整理得 ．
令 ，
则 ，
故 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
即 ，那么 ，
结合（*）式，可得 ．
下面证明 ，
等价于证明 ．
令 ，设 ，
，则 在（0，1）上单调递减，
所以 ，
故 ，
即 得证，
由不等式的传递性知 ，
即 ．
