文档内容
2024 年邵阳市高三第二次联考试题卷
数学
本试卷共4页，19个小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡上“条形
码粘贴区”.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上
要求作答无效.
4.保持答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡，试题卷自行保存.
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.一组数据： 的第30百分位数为（ ）
A.30 B.31 C.25 D.20
2.若集合 ，集合 ，则 的真子集个数为（ ）
A.14 B.15 C.16 D.31
3.已知 为锐角，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4.某市举行乡村振兴汇报会，六个获奖单位的负责人甲､乙､丙等六人分别上台发言，其中负责人甲､乙发言顺
序必须相邻，丙不能在第一个与最后一个发言，则不同的安排方法共有（ ）
A.240种 B.120种 C.156种 D.144种
5.“四叶回旋镖”可看作是由四个相同的直角梯形围成的图形，如图所示， .点 在
线段 与线段 上运动，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D.
6.已知三棱锥 中， 平面 ，则此三棱锥外接球的表面积为（
）
A. B. C. D.
7.已知直线 与椭圆 相交于 两点.若弦 被直线
平分，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数 的定义域为 为 的导函数.若 ，且 在 上恒成立，
则不等式 的解集为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小正周期为 B. 关于点 对称
C. 关于直线 对称 D. 在区间 上单调递减
10.已知复数 满足： （其中 为虚数单位），则下列说法正确的有（ ）A. B.
C. 的最小值为 D. 的最大值为
11.已知函数 在 上可导，且 的导函数为 .若 为奇函数，则
下列说法正确的有（ ）
A. B.
C. D.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.已知等差数列 的前 项和为 .若 ，则 __________.
13.在 中， 边上的高为 ，则 __________.
14.已知 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是__________.
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）如图所示，在四棱台 中，底面 是菱形， 平面 .
（1）证明： ；
（2）若 ，棱 上是否存在一点 ，使得平面 与平面
的夹角余弦值为 .若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理由.
16.（15分）为了选拔创新型人才，某大学对高三年级学生的数学学科和物理学科进行了检测（检测分为初试
和复试），共有4万名学生参加初试.组织者随机抽取了200名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如
图所示.（1）根据频率分布直方图，求 的值及样本平均数的估计值；
（2）若所有学生的初试成绩 近似服从正态分布 ，其中 为样本平均数的估计值， .规
定初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数；
（3）复试笔试试题包括两道数学题和一道物理题，已知小明进入了复试，且在复试笔试中答对每一道数学题
的概率均为 ，答对物理题的概率为 .若小明全部答对的概率为 ，答对两道题的概率为 ，求概率 的
最小值.
附：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
.
17.（15分）设函数 .
（1）求 的极值；
（2）若对任意 ，有 恒成立，求 的最大值.
18.（17分）已知双曲线 的左焦点为 ，点 在双曲线上，直
线 与双曲线 交于 两点.
（1）若 经过点 ，且 ，求 ；
（2）若 经过点 ，且 两点在双曲线 的左支上，则在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值.
若存在，请求出 面积的最小值；若不存在，请说明理由.
19.（17分）给定整数 ，由 元实数集合 定义其随影数集 .若 ，
则称集合 为一个 元理想数集，并定义 的理数 为其中所有元素的绝对值之和.（1）分别判断集合 是不是理想数集；（结论不要求说明理由）
（2）任取一个5元理想数集 ，求证： ；
（3）当 取遍所有2024元理想数集时，求理数 的最小值.
注：由 个实数组成的集合叫做 元实数集合， 分别表示数集 中的最大数与最小数.
2024 年邵阳市高三第二次联考试题参考答案与评分标准
数学
一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D C B C D
8.D 解析：构造 在
上单调递减，由 得： ，即 .
，故选D.
二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
题号 9 10 11
答案 ACD BC ACD11.ACD 解析：由 ，知 的周期为4.且
，所以 ，
故D正确.由 为奇函数知 关于 对称，所以 .由 得
0，即 .故 的周期为4且 ，可得 ，
故 正确.由上知 的周期为4且 关于 对称，所以 关于 对称.则有
，即 .所以 ，令 ，得 .故
，所以 关于 对称.又 ，所以 ，故B错误.
又 ，所以 ，故C正确.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.9 13. 14.
14. 解析：原不等式等价于 ，令
.令 ，且 ，则
在 上单调递减， .故
的范围是 .
四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（13分）（1）证明：连接 底面 是菱形，
.
又 平面 平面 ，.
又 平面 .
四棱台 中， 延长线交于一点，
四点共面.
.
（2）由（1）知，建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ，
若存在点 满足题意，则设 .
易知平面 的一个法向量
设平面 的法向量 .
.
则 则
令 ，则 .
，解之得 .
故在棱 上存在点 满足题意，此时 或 .
16.（15分）（1） ，.
样本平均数的估计值为 .
（2） .
.
能参加复试的人数约为 （人）.
（3）由题意有 .
答对两道题的概率 .
而 .
令 ，则 ，
当 时， 在 内单调递减；
时， 在 内单调递增.
当 时， .
故概率 的最小值为 .
17.（15分）解：（1） .
令 ，得 ，令 ，得 .
故 在 单调递减，在 单调递增.
在 处取得极小值 ，无极大值.（2） 对 恒成立，即 对 恒成立.
令 ，则只需 即可.
.
在 上单调递增且 .
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增.
.
故 ，故 的最大值为 .
18.（17分）解：（1）把 代入 得：
，又 .
又 ，解得 .
双曲线方程为 .
若直线 的斜率不存在时， ，此时不妨设 .
，舍去.
若 的斜率存在，设 方程为 ，代入 ，化简得 .
设 ，则 ，
.，得 ，即 .则 .
.
（2）假设存在 ，使得 为定值.
设 方程为 ，代入 ，化简得 .
由题意 .
.
由题意 .
要使 为定值，则 ，解之得 .
存在 ，使得 为定值-1.
此时令 .
.
在 递减， 在 时取得最大值1.
的最小值为 .
19.（17分）解：（1）集合 是理想数集，集合 不是理想数集.
（2）不妨设集合 且 ，即 .
为理想数集， ，则 ，且 ，使得 .
当 时，
.
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
.
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
.
当且仅当 时，等号成立.
综上所述： .
（3）设 .
为理想数集.，且 ，使得 .
对于 ，同样有 .
下先证对 元理想数集 ，有 .
不妨设集合 中的元素满足 .即 .
为理想数集，
，且 ，使得 .
当 时，
，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时，
，
当且仅当 且 时，等号成立；
当 时， .
当且仅当 时，等号成立.
.
.当且仅当 时，等号成立.
.
理数 .
当且仅当 或 时，等号成立.
